Panjang Cevian : Teorema Stewart

Kesempatan kali ini saya akan membahas tentang panjang Cevian yaitu teorema Stewart. Penting dalam Geometri Euclid dalam kaitan menyelesaikan soal olimpiade matematika bidang Geometri. Kita langsung saja membahasnya.

Teorema Stewart


Panjang cevian dapat dihitung dengan menggunakan teorema berikut:
Teorema Stewart. Misalkan $AX$ adalah sebuah cevian dengan panjang $p$ yang membagi sisi $BC$ menjadi dua segmen, yaitu $BX$ dengan panjang $m$ dan $XC$ dengan panjang $n$. Maka berlaku $$a\left( p^2+mn\right)=b^2m+c^2n $$

Bukti : 
HTML5

Dengan menggunakan aturan cosinus pada segitiga $ABX$ dan $ACX$, kita peroleh
$$\cos \angle AXB=\dfrac{p^2+m^2-c^2}{2pm} \,\,\, \text{dan}\,\,\, \cos \angle AXC=\dfrac{p^2+n^2-b^2}{2pn}$$

karena $\angle AXB=180^\circ - \angle AXC$, maka $\cos \angle AXB=-\cos \angle AXC$ atau setara dengan $\cos \angle AXB+\cos \angle AXC=0$ Dengan demikian kita punya $$\dfrac{p^2+m^2-c^2}{2pm}+\dfrac{p^2+n^2-b^2}{2pn}=0$$
yang setara dengan $$ n\left(p^2+m^2-c^2 \right)+m\left( p^2+n^2-b^2\right)=0$$ atau setara juga dengan $$\left( m+n\right)\left( p^2+mn\right)=b^2m+c^2n$$ dan setara dengan kesamaan yang diinginkan, karena $m + n = a$.

Dengan teorema diatas, panjang cevian $AX$ dapat dihitung secara langsung yaitu
$$p=\sqrt{\frac{b^2m+c^2n}{a}-mn}$$

Untuk Penerapan Teorema Stewart Akan saya berikan di lain kesempatan. Terima kasih.