Ketaksamaan Segitiga

Dalam Ketaksamaan Segitiga Jika $ a,b, \in \mathbb{R}$, maka $$ |a+b|\leqslant|a|+|b|$$.

Bukti :

Dari Teorema sebelumnya di katakan bahwa $ |a|\leqslant c$ maka $-c\leqslant a\leqslant c$. Sedangkan untuk $ |b| \leqslant c$ maka
diperoleh $ -c \leqslant b \leqslant c$. Sehingga kita mendapatkan $-|a|\leqslant a\leqslant |a|$ dan $ -|b|\leqslant b\leqslant |b|$. Dengan menjumlahkan kedua ketaksamaan diperoleh $ -(|a|+|b|)\leqslant a+b \leqslant |a|+|b|$. Dengan menggunakan teorema $ |a|\leqslant c =-c\leqslant a\leqslant c$ kita mendapatkan $ |a+b| \leqslant |a|+|b|$.
QED.

Akibat dari Ketaksamaan segitiga diatas kita mendapatkan :

$ a,b, \in \mathbb{R}$ maka ,

1. $ |a|-|b| \leqslant |a-b|$

2. $ |a-b| \leqslant|a|+|b|$

Bukti 1. $ |a|-|b| \leqslant |a-b|$

Kita tulis $ a=a-b+b$. Dengan ketaksamaan segitiga diperoleh  $ |a|=|(a-b)+b| \leqslant |a-b|+|b|$. Kemudian kita kurangi dengan $ |b|$ mendapatkan $ |a|-|b| \leqslant|a-b|$.

Dengan cara yang sama untuk $ b=b-a+a$. Dengan ketaksamaan segitiga kita peroleh $ b=-|a-b|\leqslant |a|=|b|$.  Kita Gabungkan menjadi $ -|a-b| \leqslant |a|-|b|\leqslant |a=b|$.

Berdasarkan teorema $ |a| \leqslant c$ kita dapatkan $ -c \leqslant a \leqslant c$. Sehingga kita dapatkan $ |a|-|b| \leqslant |a-b|$.

 Bukti 2. $ |a-b|\leqslant|a|+|b|$

Gantilah $ b$ pada Ketaksamaan Segitiga dengan –b, sehingga diperoleh $ |a-b| \leqslant |a|+|-b|$. Karena $ |-b|=b$ maka diperoleh bahwa $ |a-b|\leqslant |a|+|b|$.  Ketaksamaan segitiga di atas dapat diperluas sehingga berlaku untuk sebarang bilangan real yang banyaknya berhingga.

Untuk pertanyaan No. 3 yaitu
$ |a+b+c|\leqslant|a|+|b|+|c|$.

Jawaban :

Ada akibat dari Teorema diatas yaitu jika $ a_1,a_2,a_3,.........a_n$ adalah sembarang bilangan real, maka :

$ |a_1+a_2+a_3+.....+a_n|\leqslant |a_1|+|a_2|+|a_3|+........+|a_n|$. Silahkan anda buktikan sendiri... Gampang kok.... cma ikut akibat diatas...... OK...

Sumber : Robert Bartle dan Donal S. Introduction To Real Analysis $3^{ed}$. John Wiley & Sons