Pada saat SMP, anda pernah belajar tentang persamaan linear dua variabel atau lebih di kenal dengan SPLDV. Saat ini kita akan perdalam kajian, pemahaman, dan jangkauan pemikiran tentang konsep sistem persamaan linear dari apa yang kamu sudah pelajari sebelumnya. Pola pikir dan cara belajar yang dituntut dalam mempelajari materi ini adalah upayamu untuk menemukan ide-ide, berpikir kritis dan kreatif dalam mencari strategi penyelesaian masalah dan mengungkapkannya, serta berdiskusi dengan teman, mengajukan pertanyaan kepada guru dan teman kelompok.
Kompetensi dasar dan Indikator Pencapaian Kompetensi
3.3 Menyusun sistem persamaan linear tiga variabel dari masalah kontekstual
3.3.1 Menyusun konsep sistem persamaan linear tiga variabel
3.3.2 Menemukan syarat sistem persamaan linear tiga variabel.
4.3 Menyelesaikan masalah kontekstual yang berkaitan dengan sistem persamaan linear tiga variabel.
4.3.1 Menyelesaikan masalah kontekstual sistem persamaan linear tiga variabel dengan metode eliminasi dan subtitusi
4.3.2 Menyelesaikan masalah kontekstual sistem persamaan linear tiga variabel dengan metode determinan.
Diagram Alir
Banyak permasalahan dalam kehidupan nyata yang menyatu dengan fakta dan lingkungan budaya kita terkait dengan sistem persamaan linear. Permasalahan-permasalahan tersebut akan menjadi bahan inspirasi menyusun model-model matematika yang ditemukan dari proses penyelesaiannya. Model matematika tersebut, akan dijadikan bahan abstraksi untuk membangun konsep sistem persamaan linear dan konsep sistem persamaan linear tiga variabel.
Cermatilah masalah Sistem Persamaan Linear Tiga Variabel berikut!
Petani di Daerah Tapanuli (Sumatera Utara)
Mata pencaharian rakyat di Daerah Tapanuli pada umumnya bekerja sebagai petani padi dan palawija, karyawan perkebunan sawit, karet, dan cokelat. Walaupun ada juga yang bekerja sebagai pedagang (khususnya yang tinggal di daerah wisata Danau Toba).
Namun sekarang, ada permasalahan yang dihadapi para petani padi di Kecamatan Porsea Kabupaten Toba Samosir. Hal ini terkait pemakaian pupuk yang harganya cukup mahal. Contoh permasalahannya adalah sebagai berikut.
Pak Eko memiliki dua hektar sawah yang ditanami padi dan sudah saatnya diberi pupuk. Ada tiga (3) jenis pupuk yang harus disediakan, yaitu
Urea, SS, TSP. Ketiga jenis pupuk inilah yang harus digunakan para petani agar hasil panen padi maksimal. Harga tiap-tiap karung pupuk berturut-turut adalah Rp75.000,00; Rp120.000,00; dan Rp150.000,00. Pak Eko membutuhkan sebanyak 40 karung untuk sawah yang ditanami padi.
Pemakaian pupuk Urea 2 kali banyaknya dari pupuk SS. Sementara dana yang disediakan Pak Eko untuk membeli pupuk adalah Rp4.020.000,00. Berapa karung untuk setiap jenis pupuk yang harus dibeli Pak Eko?
Menurut anda, kira-kira apa tujuan masalah ini dipecahkan? Strategi apa yang dapat digunakan untuk menyelesaikan masalah tersebut? Jika anda mengalami kesulitan silakan berdiskusi dengan teman atau bertanya kepada guru. Sebagai arahan/petunjuk pengerjaan masalah, ikuti pertanyaan-pertanyaan berikut.
1. Bagaimana anda menggunakan variabel untuk menyatakan banyak pupuk yang digunakan untuk setiap jenisnya dan hubungan pemakaian
antarjenis pupuk?
2. Bagaimana anda menggunakan variabel untuk menyatakan hubungan harga setiap jenis pupuk dengan dana yang tersedia?
3. Apa yang anda temukan dari hubungan-hubungan tersebut? Adakah kaitannya dengan pengetahuan yang anda miliki dengan melakukan
manipulasi aljabar?
4. Adakah kesulitan yang harus anda diskusikan dengan teman atau bertanya kepada guru untuk menentukan hubungan antarvariabel, melakukan manipulasi aljabar, dan kepastian strategi yang anda pilih?
5. Adakah variabel yang harus anda tentukan nilainya? Bagaimana caranya, apakah prinsip analogi (cara yang mirip) dapat digunakan ketika anda menentukan nilai variabel pada sistem persamaan dua variabel?
5. Berapa karung pupuk yang harus dibeli Pak Eko untuk setiap jenisnya?
Ayok kita bantu pak Eko menyelesaikan masalah diatas.
Penyelesaian :
Diketahui :
# Tiga jenis pupuk yaitu Urea, SS, TSP. Harga per karung setiap jenis pupuk Rp 75.000,00; Rp 120.000,00; dan Rp 150.000,00.
# Banyak pupuk yang dibutuhkan 40 karung.
# Pemakaian pupuk Urea 2 kali lebih banyak dari pupuk SS.
# Dana yang tersedia Rp 4.020.000,00.
Ditanyakan :
Banyaknya pupuk (karung) yang diperlukan untuk tiap-tiap jenis pupuk yang harus dibeli Pak Eko.
Jawaban :
# $x$ adalah banyak jenis pupuk Urea yang dibutuhkan (karung)
# $y$ adalah banyak jenis pupuk SS yang dibutuhkan (karung)
# $z$ adalah banyak jenis pupuk TSP yang dibutuhkan (karung)
Berdasarkan informasi di atas diperoleh hubungan-hubungan sebagai berikut.
\begin{equation}x+y+z=40\end{equation}
\begin{equation}x=2y\end{equation}
\[75.000x+120.000y+150.000z=4.020.000\]
disederhanakan menjadi\begin{equation}75x+120y+150z=4.020\end{equation}
# Langkah 1
Substitusikan Persamaan $x=2y$ ke dalam Persamaan $x+y+z=40$ sehingga
diperoleh
\begin{eqnarray*}
x+y+z & = & 40\\
2y+y+z & = & 40\\
3y+z & = & 40
\end{eqnarray*}
Kita dapatkan
\begin{equation}3y+z=40\end{equation}
# Langkah 2
Substitusikan Persamaan $x=2y$ ke dalam Persamaan $75x+120y+150z=4.020$ sehingga diperoleh
\begin{eqnarray*}
75x+120y+150z & = & 4.020\\
75\left(2y\right)+120y+150z & = & 4.020\\
150y+120y+150z & = & 4.020\\
270y+150z & = & 4.020
\end{eqnarray*}
Kita sederhanakan menjadi \begin{equation}27y+15z=402\end{equation}
Gunakan metode eliminasi terhadap Persamaan $3y+z=40$ dan Persamaan $27y+15z=402$
Diperoleh $y=11$. Substitusikan $y=11$ kedalam $3y+z=40$ menjadi
\begin{eqnarray*}3y+z & = & 40\\3\left(11\right)+z & = & 40\\33+z & = & 40\\z & = & 40-33\\z & = & 7\end{eqnarray*}
Kita mendapatkan $z=7$. Perhatikan Kembali persamaan (2) $x=2y$. Substitusikan nilai $y=11$ kedalam persamaan tersebut menjadi
\begin{eqnarray*}
x & = & 2y\\
x & = & 2\left(11\right)\\
x & = & 22
\end{eqnarray*}
Jadi, kita dapatkan nilai $x=22$, $y=11$, dan $z=7$
Jadi pupuk yang harus disediakan oleh pak Eko adalah
# Pupuk Urea sebanyak 22 Karung
# Pupuk SS sebanyak 11 Karung
# Pupuk TSP sebanyak 7 Karung
Nah dari contoh permasalahan diatas kita dapat menyimpulkan bahwa
Definisi :
Sistem persamaan linear tiga variabel adalah suatu sistem persamaan linear dengan tiga variabel.
Notasi Sistem persamaan linear tiga variabel
Perhatikan persamaan linear berikut !
\begin{eqnarray*}
a_{1}x+b_{1}y+c_{1}z & = & d_{1}\\
a_{2}x+b_{2}y+c_{2}z & = & d_{2}\\
a_{3}x+b_{3}y+c_{3}z & = & d_{3}\end{eqnarray*}
Bentuk umum sistem persamaan linear dengan tiga variabel $x,y,$ dan $z$ adalah
\begin{equation*}\begin{cases}
a_{1}x+b_{1}y+c_{1}z & =d_{1}\\
a_{2}x+b_{2}y+c_{2}z & =d_{2}\\
a_{3}x+b_{3}y+c_{3}z & =d_{3}
\end{cases}\end{equation*}
Dengan $a_{1},a_{2},a_{3},b_{1},b_{2},b_{3},c_{1},c_{2},c_{3},d_{1},d_{2},d_{3},x,y,$ dan $z\in\mathbb{R}$, dan $a_{1},b_{1},$ dan $c_{1}$ tidak sekaligus ketiganya $0$ dan $a_{2},b_{2},$ dan $c_{2}$ tidak sekaligus ketiganya $0$, dan $a_{3},b_{3},$ dan $c_{3}$ tidak sekaligus ketiganya $0$.
# $x,y,$ dan $z$ adalah variabel
# $a_{1},a_{2},a_{3}$ adalah koefisien variabel $x$.
# $b_{1},b_{2},b_{3}$ adalah koefisien variabel $y$.
# $c_{1},c_{2},c_{3}$ adalah koefisien variabel $z$.
# $d_{1},d_{2},d_{3}$ adalah konstanta persamaan.
Materi di sadur dari :
Buku matematika SMA/MA/SMK/MAK Kelas X Kurikulum 2013 Edisi Revisi 2017 Kemdikbud RI 2017
