Teorema Ceva Trigonometri

Pada kasus-kasus tertentu, teorema Ceva di atas lebih mudah digunakan dalam bentuk trigonometri berikut
(Teorema Ceva Trigonometri). Pada segitiga $ABC$, titik $D,E$ dan $F$ berturut-turut terletak pada sisi $BC,CA$ dan $AB$. Garis-garis $AD,BE,CF$ bertemu di satu titik (konkuren) jika dan hanya jika
\begin{eqnarray*}
\frac{\sin \angle CAD}{\sin \angle BAD}\cdot\frac{\sin \angle ABE}{\sin \angle CBE}\cdot\frac{\sin \angle BCF}{\sin \angle ACF}=1
\end{eqnarray*}

Akibat di atas dapat dibuktikan dengan mudah dengan menggunakan aturan sinus dan teorema Ceva atau secara langsung dengan menggunakan aturan sinus pada beberapa segitiga. Perhatikan Bukti Berikut ini

Bukti


Perhatikan gambar berikut !
HTML5


Pada $\triangle CAD$ dan $\triangle BAD$ berdasarkan aturan sinus diperoleh

\begin{eqnarray*}
\frac{DC}{\sin\angle CAD}=\frac{AC}{\sin\angle CDA}\quad\text{dan}\quad\frac{BD}{\sin\angle BAD}=\frac{AB}{\sin\angle BDA}
\end{eqnarray*}
karena $\sin\angle CDA=\sin\angle BDA$ berakibat $$\frac{\sin \angle CAD}{\sin \angle BAD}=\frac{DC\cdot AB}{BD\cdot AC}$$ dengan cara yang sama dapat kita peroleh pula $$ \frac{\sin \angle ABE}{\sin \angle CBE}=\frac{EA\cdot BC}{CE\cdot AB}$$ dan $$\frac{\sin \angle BCF}{\sin \angle ACF}=\frac{FB\cdot AC}{AF\cdot BC}$$

Oleh karena itu
\begin{eqnarray*}\frac{\sin \angle CAD}{\sin \angle BAD}\cdot\frac{\sin \angle ABE}{\sin \angle CBE}\cdot\frac{\sin \angle BCF}{\sin \angle ACF}&=&\frac{DC\cdot AB}{BD\cdot AC}\cdot\frac{EA\cdot BC}{CE\cdot AB}\cdot\frac{FB\cdot AC}{AF\cdot BC}\\&=&\frac{AF}{FB}\cdot\frac{BD}{DC}\cdot\frac{CE}{EA}\end{eqnarray*}


Jelas dari teorema Ceva yang pertama bahwa $$\frac{BD}{DC}\cdot \frac{CE}{EA} \cdot\frac{AF}{FB}=1$$
Sekian penjelasan dari saya mengenai Teorema Ceva dan Ceva Trigonometri. Mari sama-sama Belajar