Pembahasan Kompetensi Modul F Matematika SMK tentang Kalkulus dan Geometri Analitis

12:39:00 AM
Hallow sobat blogger semua. Sudah lama setelah ganti domain dan hosting malah jarang update artikel. Mengingat koneksi internet dan kesibukan di dunia nyata sampai-sampai terlupakan aktivitas di dunia maya. Janji tinggal janji dan ternyata gak sempat posting artikel setiap hari. Mudah-mudahan kedepannya akan coba posting artikel yang berlanjut.

Pada kesempatan kali ini blogmatematika akan coba memposting artikel tentang Pembahasan Kompetensi Modul F Matematika SMK tentang Kalkulus dan Geometri Analitis. Pada Postingan sebelumnya saya sudah membahas tentang Modul H tentang Trigonometri yang sudah saya selesaikan semuanya. Namun pada pembahasan kali ini tersisa 1 soal yang belum sempat saya jawab. Mudah-mudahan kalau sudah dapat ide langsung saya update pembahasannya. Ayok kita mulai saja yah....

Soal dan Pembahasan


1.   Pisau pemotong kayu dapat bergerak mengikuti persamaan $s\left(t\right)=\dfrac{t^{2}+4t-12}{t-2}$ cm. Posisi pisau pemotong ketika mendekati dua detik adalah $\ldots$ cm.

a. 6
b. 8
c. 10
d. 12

Jawaban : B
\begin{eqnarray*}
s\left(t\right) & = & \dfrac{t^{2}+4t-12}{t-2}\\
& = & \lim_{t\to2}\dfrac{t^{2}+4t-12}{t-2}\\
& = & \lim_{t\to2}\dfrac{\left(t+6\right)\left(t-2\right)}{t-2}\\
& = & \lim_{t\to2}\left(t+6\right)\\
& = & 2+6\\
& = & 8
\end{eqnarray*}Posisi pisau pemotong ketika mendekati dua detik adalah $8$ cm

2.  Sebuah perusahaan tekstil memproduksi $x$ unit pakaian per hari dengan biaya $2x^{3}-150x^{2}+3.600x$ rupiah. Banyaknya barang yang harus diproduksi setiap harinya supaya biaya produksi menjadi minimal adalah ...unit

a. 20
b. 25
c. 30
d. 35

Jawaban : B
\begin{eqnarray*}
f\left(x\right) & = & 2x^{3}-150x^{2}+3.600x\\
f'\left(x\right) & = & 6x^{2}-300x+3.600\\
f''\left(x\right) & = & 12x-300
\end{eqnarray*}Minimum terjadi jika $f''\left(x\right)=0$ Sehingga
\begin{eqnarray*}
12x-300 & = & 0\\
12x & = & 300\\
x & = & \frac{300}{12}\\
x & = & 25
\end{eqnarray*}Banyaknya barang yang harus diproduksi setiap harinya supaya biaya produksi menjadi minimal adalah 25 unit

3.  Sebuah mobil bergerak dengan persamaan $V\left(t\right)=4t^{3}+6t-5$ dengan $V$ dalam satuan meter per sekon dan $t$ dalam satuan sekon. Perpindahan mobil setelah menempuh waktu $t=2$ sekon adalah...meter

a. 10
b. 12
c. 14
d. 18

Jawaban : D
\begin{eqnarray*}
V\left(t\right) & = & 4t^{3}+6t-5\\
a\left(t\right) & = & \int\left(4t^{3}+6t-5\right)dt\\
a\left(t\right) & = & t^{4}+3t^{2}-5t
\end{eqnarray*}
}Perpindahan mobil saat $t=2$ adalah
\begin{eqnarray*}
a\left(2\right) & = & 2^{4}+3\left(2^{2}\right)-5\left(2\right)\\
& = & 16+12-10\\
a\left(2\right) & = & 18
\end{eqnarray*}Perpindahan mobil setelah menempuh waktu $t=2$ sekon adalah 18 meter

4.  Pilar sebuah jembatan tampak seperti gambar berikut.



Luas daerah yang diarsir adalah...satuan luas

a. $84\dfrac{1}{3}$
b. $84\dfrac{2}{3}$
c. $85\dfrac{1}{3}$
d. $85\dfrac{2}{3}$

Jawaban : C

Dari grafik diatas, terlihat bahwa fungsi $f\left(x\right)=16-x^{2}$ memiliki titik potong sebagai berikut
\begin{eqnarray*}
16-x^{2} & = & 0\\
\left(4-x\right)\left(4+x\right) & = & 0\\
x=4 & \text{atau} & x=-4
\end{eqnarray*}

Titik potongnya adalah $\left(-4,4\right)$ Sehingga luasnya adalah

\begin{eqnarray*}
L & = & \int_{-4}^{4}\left(16-x^{2}\right)dx\\
& = & \left[16x-\frac{1}{3}x^{3}\right]_{-4}^{4}\\
& = & \left[\left(16\left(4\right)-\frac{1}{3}\left(4\right)^{3}\right)-\left(16\left(-4\right)-\frac{1}{3}\left(-4\right)^{3}\right)\right]\\
& = & \left[\left(64-\frac{64}{3}\right)-\left(\left(-64\right)+\frac{64}{3}\right)\right]\\
& = & \left[64-\frac{64}{3}+64-\frac{64}{3}\right]\\
& = & 128-\frac{128}{3}\\
& = & \frac{384-128}{3}\\
& = & \frac{256}{3}\\
L & = & 85\frac{1}{3}
\end{eqnarray*} luas daerah yang diarsir adalah ${\displaystyle 85\frac{1}{3}}$ satuan luas

5. Gambar berikut menunjukkan penampang dari piringan antena radio.



Seorang teknisi telah menempatkan suatu titik pada penampang antena yang terletak $0,75$ meter di atas dan $6$ meter di kanan dari titik pusatnya. Seharusnya teknisi menempatkan fokus antena sebesar $\ldots{}$ meter dari titik pusat

a. 3
b. 6
c. 9
d. 12

Jawaban : D

Perhatikan untuk titik pusat $P\left(0,0\right)$ maka persamaan parabola adalah $x^{2}=4py$. Karena titik $\left(6,0.75\right)$ maka
\begin{eqnarray*}
x^{2} & = & 4py\\
6^{2} & = & 4p\left(0,75\right)\\
36 & = & 3p\\
p & = & \frac{36}{3}\\
p & = & 12
\end{eqnarray*}
Seharusnya teknisi menempatkan fokus antena sebesar $12$ meter dari titik pusat. Artinya Fokus parabola tersebut $\left(0,12\right)$ atau dengan kata lain, fokus seharusnya ditempatkan $12$ meter diatas titik pusatnya.

6. Komet-komet akan mengitari matahari dengan lintasn berbentuk hiperbola dengan matahari sebagai alah satu titik fokusnya.



Lintasan komet yang diilustrasikan oleh gambar di atas dimodelkan dengan persamaan $8.100x^{2}-14.400y^{2}=116.640.000$. Jarak komet tersebut dengan matahari adalah...juta mil

a. 30
b. 50
c. 100
d. 150

Jawaban : A

Perhatikan Persamaan Hiperbola adalah
\[
\frac{x^{2}}{a}-\frac{y^{2}}{b}=1
\]
Sementara Persamaan Komet adalah $8.100x^{2}-14.400y^{2}=116.640.000$. Akan kita sederhanakan menjadi
\begin{eqnarray*}
8.100x^{2}-14.400y^{2} & = & 116.640.000\\
\frac{x^{2}}{14.400}-\frac{y^{2}}{8.100} & = & 1\\
\frac{x^{2}}{120^{2}}-\frac{y^{2}}{90^{2}} & = & 1
\end{eqnarray*}
Kita dapatkan $a=120$ dan $b=90$. Karena Jarak di definisikan dengan $f^{2}=a^{2}+b^{2}$ maka
\begin{eqnarray*}
f^{2} & = & a^{2}+b^{2}\\
f^{2} & = & 120^{2}+90^{2}\\
f^{2} & = & 14.400+8.100\\
f^{2} & = & 22.500\\
f & = & \sqrt{22.500}\\
f & = & 150
\end{eqnarray*}Karena $a=120$ dan $|f|=150$, jarak komet tersebut dengan matahari adalah \begin{eqnarray*} r&=&f-a\\r&=&150-120\\r&=&30\end{eqnarray*}
Jarak komet tersebut dengan matahari adalah 30 juta mil

7. Sebuah perahu menyeberangi sungai yang lebarnya $120$ m dan kecepatan airnya $4$ $m/s$. Bila perahu diarahkan menyilang tegak lurus dengan kecepatan $3\,\, m/s$, maka panjang lintasan yang ditempuh perahu
hingga sampai ke seberang sungai adalah ...$m$

a. 200
b. 225
c. 250
d. 275

Jawaban : A

Dari keterangan soal kita dapatkan
\begin{eqnarray*}
t & = & \frac{s}{v}\\
& = & \frac{120}{3}\\
t & = & 40\,\, s
\end{eqnarray*}
Perhatikan bahwa
\begin{eqnarray*}
V & = & \sqrt{3^{2}+4^{2}}\\
& = & \sqrt{9+16}\\
& = & \sqrt{25}\\
V & = & 5
\end{eqnarray*}
Sehingga
\begin{eqnarray*}
S & = & V\times t\\
& = & 5\times40\\
S & = & 200
\end{eqnarray*}
panjang lintasan yang ditempuh perahu hingga sampai ke seberang sungai adalah 200 $m$

8. Sebuah pesawat terbang $200$ mil dalam arah membentuk sudut $30^{\circ}$ diukur dari selatan ke barat. Maka komponen perpindahan pesawat dalam arah Barat adalah ...mil

a. 100
b. 150
c. $100\sqrt{2}$
d. $100\sqrt{3}$

Jawaban : A

Dari keterangan soal kita dapatkan $\theta=30^{\circ}$ dan $r=200$ Sehingga
\begin{eqnarray*}
\text{Arah Barat } & = & r\sin\theta\\
& = & 200\cdot\sin30^{\circ}\\
& = & 200\cdot\frac{1}{2}\\
\text{Arah Barat } & = & 100
\end{eqnarray*}
Catatan : jika yang ditanyakan adalah arah selatan maka kita
menggunakan $r\cos\theta$}

9. Pada perhitungan gaya-gaya reaksi dan bidang momen terhadap perletakan jepit diperoleh persamaan berikut :
\[
\begin{cases}
2H+2V+M & =4\\
2H+4V+2M & =10\\
2H+3V+2M & =6
\end{cases}
\]

Nilai determinan $V$ (gaya vertikal) sebesar ......

a. 6
b. 7
c. 8
d. 9

10. Hubungan antara Roda gigi $A$ dan Roda Gigi $B$ tampak seperti gambar berikut.


Jari-jari masing-masing roda jika dinyatakan dengan matriks adalah
$\left[\begin{array}{c}
r_{A}\\
r_{B}
\end{array}\right]=......$

a. $-\dfrac{1}{3}\left[\begin{array}{cc}
1 & -2\\
-2 & 1
\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}
20\\
22
\end{array}\right]$
b. $-\dfrac{1}{3}\left[\begin{array}{cc}
1 & 2\\
2 & 1
\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}
20\\
22
\end{array}\right]$
c. $\dfrac{1}{3}\left[\begin{array}{cc}
1 & 2\\
2 & 1
\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}
20\\
22
\end{array}\right]$
d. $-\dfrac{1}{3}\left[\begin{array}{cc}
-1 & 2\\
2 & -1
\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}
20\\
22
\end{array}\right]$

Jawaban : A

Perhatikan gambar pada soal ! Kita mendapatkan
\[
\begin{cases}
r_{A}+2r_{B} & =20\\
2r_{A}+r_{B} & =22
\end{cases}
\]
Dari sistem persamaan linear diatas dapat kita bentuk matriks ber ordo $2\times2$ yaitu
\begin{eqnarray*}
\left(\begin{array}{cc}
1 & 2\\
2 & 1
\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}
r_{A}\\
r_{B}
\end{array}\right) & = & \left(\begin{array}{c}
20\\
22
\end{array}\right)\\
\left(\begin{array}{c}
r_{A}\\
r_{B}
\end{array}\right) & = & \left(\begin{array}{cc}
1 & 2\\
2 & 1
\end{array}\right)^{-1}\left(\begin{array}{c}
20\\
22
\end{array}\right)\\
& = & \frac{1}{1-4}\left(\begin{array}{cc}
1 & -2\\
-2 & 1
\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}
20\\
22
\end{array}\right)\\
& = & \frac{1}{-3}\left(\begin{array}{cc}
1 & -2\\
-2 & 1
\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}
20\\
22
\end{array}\right)\\
\left(\begin{array}{c}
r_{A}\\
r_{B}
\end{array}\right) & = & -\frac{1}{3}\left(\begin{array}{cc}
1 & -2\\
-2 & 1
\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}
20\\
22
\end{array}\right)
\end{eqnarray*}

Penutup


Sekian dulu pembahasan tentang kalkulus dan geometri analitis kali ini. Lain kali kita sambung lagi. untuk Format PDF nya saya upload di postingan selanjutnya

Artikel Terkait

Next Article
« Prev Post
Previous Article
Next Post »