Soal Latihan Barisan dan Deret (Aritmatika dan Geometri)

Pada kesempatan kali ini saya akan coba posting tentang barisan dan deret aritmatika serta barisan dan deret geometri. Postingan ini langsung saja pada pembahasan soal yah. Lagi males nulis soalnya. hehehe. Berikut rangkuman teori dari barisan dan deret tersebut.

• Barisan bilangan adalah sebuah fungsi dengan domainnya himpunan bilangan asli dan rangenya suatu himpunan bagian dari himpunan bilangan real.
• Barisan  aritmetika  adalah  barisan  bilangan  yang  memiliki  beda  dua  suku berurutan selalu tetap.
• Deret aritmetika adalah jumlah suku-suku barisan aritmetika.
• Barisan  geometri  adalah  barisan  bilangan  yang  memiliki  hasil  bagi  dua  suku berurutan adalah tetap. Hasil bagi dua suku berurutan disebut rasio.
• Deret geometri adalah jumlah suku-suku dari barisan geometri.

Kita langsung ke soal saja deh. ada 2 nomor soal nih yang lumayan menantang. Semoga bermanfaat bagi kita semua...

Soal Latihan

1. Tiga bilangan membentuk barisan aritmetika. Jika suku ketiga ditambah $3$   dan suku kedua dikurangi $1$, diperoleh barisan geometri. Jika suku ketiga barisan aritmetika ditambah $8$, maka hasilnya menjadi $5$ kali suku pertama. Tentukan beda dari barisan aritmetika tersebut!
2. Tiga bilangan positif membentuk barisan geometri dengan rasio $r>1$.
   Jika suku tengah ditambah $4$, maka terbentuk sebuah barisan aritmetika yang jumlahnya $30$. Tentukan Hasil kali dari ketiga bilangan tersebut!

Yah, 2 soal itu dulu yang akan kita bahas yah..... Mari kita mulai

#Untuk No. 1

Tiga bilangan membentuk barisan aritmetika. Jika suku ketiga ditambah $3$   dan suku kedua dikurangi $1$, diperoleh barisan geometri. Jika suku ketiga barisan aritmetika ditambah $8$, maka hasilnya menjadi $5$ kali suku pertama. Tentukan beda dari barisan aritmetika tersebut!

#Jawaban

Barisan Aritmatika 

$U_1=a$
$U_2=a+b$
$U_3=a+2b$

Barisan Geometri

$U_1=a$
$U_2=a+b-1$
$U_3=a+2b+3$

Dari keterangan soal dijelaskan bahwa \begin{eqnarray}{U_{3}+8} & = & 5a\nonumber\\a+2b+8 & = & 5a\nonumber\\4a & = & 2b+8\nonumber\\a & = & \frac{1}{2}b+2\\\end{eqnarray}

Perlu di perhatikan, dalam barisan aritmatika maupun geometri terdapat suku tengah yaitu

• Barisan aritmatika

\[U_{t}=\frac{U_{1}+U_{n}}{2}\]

• Barisan Geometri

\[U_{t}^{2}=U_{1}\times U_{n}\]
Sehingga
\begin{eqnarray} U_{1}\times U_{3} & = & \left(U_{2}\right)^{2}\nonumber \\ a\left(a+2b+3\right) & = & \left(a+b-1\right)^{2}\nonumber \\ a^{2}+2ab+3a & = & \left(a+b-1\right)\left(a+b-1\right)\nonumber \\ a^{2}+2ab+3a & = & a^{2}+b^{2}+2ab-2a-2b+1\nonumber \\ 5a & = & b^{2}-2b+1\nonumber \\ b^{2}-2b+1-5a & = & 0\label{eq:2}\end{eqnarray} Susbtitusikan nilai $a=\frac{1}{2}b+2$ kedalam $b^{2}-2b+1-5a=0$ \begin{eqnarray*}
b^{2}-2b+1-5a & = & 0\\
b^{2}-2b+1-5\left(\frac{1}{2}b+2\right) & = & 0\\
b^{2}-2b+1-\frac{5}{2}b-10 & = & 0\\
b^{2}-\frac{9}{2}b-9 & = & 0\\
2b^{2}-9b-18 & = & 0\\
\frac{\left(2b-12\right)\left(2b+3\right)}{2} & = & 0\\
2b-12=0 & \,\text{atau} \,& 2b+3=0\\
b=6 &\, \text{atau}\, & b=-\frac{3}{2}\end{eqnarray*}Jadi nilai $b=6$ atau $b=-\dfrac{3}{2}$

#Untuk No. 2

Tiga bilangan positif membentuk barisan geometri dengan rasio $r>1$. Jika suku tengah ditambah $4$, maka terbentuk sebuah barisan aritmetika yang jumlahnya $30$. Tentukan Hasil  kali dari ketiga bilangan tersebut!

Jawaban

Barisan Geometri 

$U_1=a$
$U_2=ar$
$U_3=ar^2$

Barisan Aritmatika

$U_1=a$

$U_2=ar+4$
$U_3=ar^2$

Menurut keterangan soal \[a+ar+4+ar^{2}=30\]

\begin{eqnarray*}
U_{2}-U_{1} & = & U_{3}-U_{2}\\
ar+4-a & = & ar^{2}-\left(ar+4\right)\\
ar+4-a & = & ar^{2}-ar-4\\
2ar+8 & = & ar^{2}+a\\
ar^{2}-2ar+a & = & 8\\
a\left(r^{2}-2r+1\right) & = & 8\\
a & = & \frac{8}{r^{2}-2r+1}\\
a & = & \frac{8}{\left(r-1\right)^{2}}\end{eqnarray*}
Substitusikan $a=\frac{8}{\left(r-1\right)^{2}}$ kedalam $a+ar+4+ar^{2}=30$
\begin{eqnarray*}
a+ar+4+ar^{2} & = & 30\\
a+ar+ar^{2} & = & 30-4\\
a+ar+ar^{2} & = & 26\\
a\left(1+r+r^{2}\right) & = & 26\\
\frac{8\left(1+r+r^{2}\right)}{\left(r-1\right)^{2}} & = & 26\\
8\left(1+r+r^{2}\right) & = & 26\left(r-1\right)^{2}\\
8\left(1+r+r^{2}\right) & = & 26\left(r^{2}-2r+1\right)\\
8+8r+8r^{2} & = & 26r^{2}-52r+26\\
26r^{2}-8r^{2}-52r-8r+26-8 & = & 0\\
18r^{2}-60r+18 & = & 0\\
3r^{2}-10r+3 & = & 0\\
\frac{\left(3r-9\right)\left(3r-1\right)}{3} & = & 0\\
\left(3r-9\right)=0 & \text{ atau } & \left(3r-1\right)=0\\
3r=9 & \text{ atau } & 3r=1\\
r=3 & \text{ atau } & r=\frac{1}{3}
\end{eqnarray*}
Karena $r>1$, ambil $r=3$\begin{eqnarray*}
{\displaystyle a} & = & \frac{8}{\left(r-1\right)^{2}}\\
a & = & \frac{8}{\left(3-1\right)^{2}}\\
& = & \frac{8}{2^{2}}\\
& = & \frac{8}{4}\\
a & = & 2
\end{eqnarray*}
Nilai $a=2$. Jadi bilangan itu adalah

1. $a=2$
2. $ar=2\times3=6$
3. $ar^{2}=2\times3^{2}=2\times9=18$

Hasil kali tiga bilangan tersebut adalah $2\times6\times18=216$

Sekian dulu yah. Kunjungi terus blog ini.....