Rumus-Rumus Pembuktian Turunan dan Aturan Rantai

Halo sobat blogger sekalian. Kali ini BLOGMATEMATIKA akan membagikan postingan waktu saya kuliah dulu pada mata kuliah kalkulus dan analisis real. Postingan kali ini membahas tentang diferensial atau lebih sederhananya dalam matematika SMA disebut dengan turunan. Sebenarnya sebelum membahas konsep turunan alangkah baiknya sobat mengerti konsep tentang limit fungsi kemudian diterapkan dalam konsep turunan.

Pernahkan anda mendengar fungsi $f\left(x\right)=ax^n$ dan ketika diturunkan menjadi $f'\left(x\right)=anx^{n-1}$. Dari manakah rumus itu berasal ? Sebenarnya rumus itu adalah akibat dari turunan rumus-rumus sebelumnya yang membahas tentang aturan penjumlahan, pengurangan, perkalian dan pembagian yang sudah saya posting dahulu.

Oke kita mulai saja pembahasannya.

Jika fungsi $f_1,f_2, \cdots, f_n$ terdiferensial di $c \in \mathbb{I}$ maka $f_1+f_2+ \cdots+f_n$
dan $f_1 \cdot f_2, \cdots, f_n$ terdiferensial di $c$, dimana
\begin{eqnarray*} (f_1+f_2+\cdots + f_n)'(c)&=&f_1'(c)+f_2'(c)+\cdots + f_n'(c)\\ (f_1f_2\cdots f_n)'(c)&=&f_1'(c)f_2(c)\cdots f_n(c)+f_1(c)f_2'(c)\cdots f_n(c)\nonumber \\ &&+\cdots + f_1(c)f_2(c)\cdots f_n'(c) \end{eqnarray*}

Suatu kejadian khusus pada sifat diferensial perkalian adalah bilamana $f_1=f_2=\cdots =f_n:=f$ maka berlaku
\begin{eqnarray*}(f^n)'(c)&=&n(f(c))^{n-1}f'(c)\end{eqnarray*}
Lebih khusus lagi jika $f(x):=x$ maka $f^n(x)=x^n$. Kemudian kita akan mencari turunan dari $g(x):=x^n$ yaitu:

\begin{eqnarray*}g'(x)=n(f(x))^{n-1}f'(x)=nx^{n-1} \cdot 1=nx^{n-1}\end{eqnarray*}

Fakta ini sudah kita kenal dengan baik pada kalkulus, yaitu bila $y=x^n$ maka $y'=nx^{n-1}$

Notasi lain yang digunakan untuk $f'$ adalah $Df$ dan $\frac{df}{dx}$ bila $x$ variabel bebas pada fungsi $f$, yaitu $f=f(x)$. Notasi $\frac{df}{dx}$ dikenal dengan notasi Leibniz salah seorang bapak penemu kalkulus diferensial.

Aturan Rantai (Chain Rule)

Ketika kita di SMA atau pada kuliah kalkulus dasar tentunya tidak asing lagi proses menentukan turunan fungsi $y=\sin\left(\sqrt{1+x^2}\right)$ seperti berikut:
\begin{eqnarray*} y'&=&\cos\left(\sqrt{1+x^2}\right) \cdot \frac{d}{dx} \left(\sqrt{1+x^2}\right)\\ &=&\cos\left(\sqrt{1+x^2}\right) \cdot \frac{1}{2\sqrt{1+x^2}} \cdot \frac{d}{dx} \left(1+x^2\right)\\ &=&\cos\left(\sqrt{1+x^2}\right) \cdot \frac{1}{2\sqrt{1+x^2}} \cdot 2x\\ &=&\cos\left(\sqrt{1+x^2}\right) \cdot \frac{x}{\sqrt{1+x^2}}
\end{eqnarray*}

Kita tentunya sudah cukup faham dengan prosedur menyelesaikan turunan fungsi $y=\sin\left(\sqrt{1+x^2}\right)$. Bagi anda yang belum faham tentang prosedur pengerjaan diatas silahkan membuka kembali buku kalkulus. Pertanyaan sekarang adalah apa dasar kita melakukan langkah-langkah ini ? Bagaimana pembenarannya ?

Pada bagian ini kita membahas turunan fungsi komposisi $g\circ f$

Aturan Rantai Misalkan $I$ dan $J$ interval pada $\mathbb{R}$, dan misalkan $g:I \rightarrow \mathbb{R}, f:J \rightarrow \mathbb{R}$ adalah fungsi-fungsi dimana $f(J) \subseteq I$, dan misalkan $c \in J$. Bila $f$ terdiferensial di $c$ dan $g$ terdiferensial di $f(c)$ maka fungsi komposisi $g \circ f$ terdiferensial di $c$ dimana\begin{eqnarray*}(g\circ f)'(c)=g'(f(c)) \cdot f'(c)\end{eqnarray*}

Bukti. Fakta yang diketahui pada teorema ini adalah $c \in J, f(J) \subseteq I,f$ terdiferensial di $c$ dan $g$ terdiferensial di $f(c)$. Tulis $d:=f(c)$ dan defenisikan $G:I \rightarrow \mathbb{R}$ sebagai berikut:$$G(y):=\begin{cases}\frac{g(y)-g(d)}{y-d} & \mbox{jika} \,\,y \in I, y \neq d,\\g'(d) & \mbox{jika} \,\, y = d\end{cases}$$

Karena $g$ terdiferensial di $d$, yaitu $g'(d)$ ada dan berlaku $\lim_{y \to d} G(y)=g'(d)=G(d)$ maka diperoleh bahwa $G$ kontinu di $d$. Karena $f$ kontinu di $c$ dan $f(J) \subseteq I$ maka disimpulkan $G \circ f$ juga kontinu di $c$, sehingga berlaku
\begin{eqnarray*} \lim_{x \to c}(G\circ f)(x)=(G \circ f)(c)=G(f(c))=G(d)=\lim_{y \to d} G(y)=g'(d)=g'(f(c))
\end{eqnarray*}
ditulis $\lim_{x \to c}(G \circ f)(x) = g'(f(c))$. Menurut defenisi fungsi $G$ maka diperoleh
$$g(y)-g(d)=G(y)(y-d)$$
untuk setiap $y \in I$. Jadi, untuk $x \in J$ dan misalkan $y=f(x)$ maka berlaku
\begin{eqnarray*} g \circ f(x)-g \circ f(c)&=&g(f(x))-g(f(c))\\ &=&g(y)-g(d)\\ &=&G(y)(y-d)\\ &=&G(f(x))(y-d)\\ &=&G\circ f(x)(f(x)-f(c))
\end{eqnarray*}

Untuk $x \neq c$, kita bagi kedua ruas persamaan yang baru diperoleh dengan $x-c$, diperoleh $$\frac{g \circ f(x)-g \circ f(c)}{x-c}=G\circ f(x)\frac{f(x)-f(c)}{x-c}$$

Diambil limit mendekati $c$ pada kedua ruas maka diperoleh,
\begin{eqnarray*} \lim_{x\to c} \frac{g\circ f(x)-g \circ f(c)}{x-c}&=&\lim_{x\to c} G \circ f(x) \frac{f(x)-f(c)}{x-c}\\ &=&\lim_{x\to c} G \circ f(x) \cdot \lim_{x\to c} \frac{f(x)-f(c)}{x-c}\\ (f\circ g)'(c)&=&g'(f(c)) \cdot f'(c)\end{eqnarray*}Pada ilustrasi awal  bahasan ini, fungsi $h(x)=\sin\left(\sqrt{1+x^2}\right)$ dapat dipandang sebagai komposisi fungsi $h=g \circ f$ dimana $g(x)=\sin(x)$ dan $f(x)=\sqrt{1+x^2}$. Kemudian fungsi $f(x)=\sqrt{1+x^2}$ suatu komposisi fungsi $f=g_1 \circ f_1$ dimana $g_1(x)=\sqrt{x}$ dan $f_1(x)=1+x^2$.
Untuk fungsi komposisi yang terdiri dari tiga fungsi seperti ini, aturan rantai dapat diperumum sebagai
$$(g\circ g_1 \circ f_1)'(c)=g'(g_1 \circ f_1(c)) \cdot g_1'(f_1(c)) \cdot f'(c)$$
Contoh berikut adalah cara lain membuktikan turunan fungsi $f:=\underset{n\, faktor}{\underbrace{f\, f\cdots f}}$

Misalkan $f:I \rightarrow \mathbb{R}$ terdiferensial pada $I$ dan $g(y) = y^n$. Karena $g'(y)=ny^{n-1}$ dan $f^n=g\circ f$, maka berdasarkan aturan rantai diperoleh $$(g \circ f)'(x)=g'(f(x)) \cdot f'(x)$$ yaitu $(f^n)'(x)=n(f(x))^{n-1}f'(x)$ untuk setiap $x \in I$.

Contoh berikut ini menentukan derivatif fungsi dengan menggunakan aturan rantai dan defenisi derivatif

Misalkan fungsi $f$ didefenisikan sebagai berikut $$f(x):=\begin{cases} x^2\sin(1/x) & Jika \,\, x \neq 0\\ 0 & Jika \,\, x=0 \end{cases}$$ Tentukan $f'(x)$ !

Penyelesaian

Untuk $x \neq 0$ kita dapat menggunakan aturan rantai bersamaan dengan formula turunan hasil kali, yaitu diperoleh
$$f'(x)=2x \sin (1/x)-\cos(1/x), \,\, untuk\, x \neq 0$$
Untuk $x = 0$ tidak ada aturan yang dapat digunakan. Oleh karena itu dikembalikan ke defenisi originalnya, yaitu
$$f'(x)=\lim_{x \to 0} \frac{f(x)-f(0)}{x-0}=\lim_{x \to 0} \frac{x^2\sin(1/x)}{x}=\lim_{x \to 0} x\sin(1/x)=0$$
Langkah terakhir menggunakan hasil yang pernah dipelajari pada pokok bahasan limit, ingatkah?...lihat lagi. Jadi fungsi $f$ terdiferensial pada $\mathbb{R}$ dengan derivatif
$$f'(x):=\begin{cases}
2x\sin(1/x)-\cos(1/x) & Jika \,\, x \neq 0\\ 0 & Jika \,\, x=0
\end{cases}$$
Ingat nilai $0$ pada derivatif $f'$ (cabang bawah) tidak diperoleh dari $f(0) = 0$.

Diperhatikan bahwa fungsi $f$ kontinu di $x = 0$ tetapi fungsi $f'$ tidak mempunyai limit di $x = 0$ (mengapa ?), $f'$ tidak kontinu di $0$.