Materi Pengantar Suku Banyak

Sudah lama rasanya tidak memposting materi matematika di blog ini. Kali ini saya akan coba memposting materi matematika tentang suku banyak. materi diawali dengan pengantar materi suku banyak. Semoga materi ini bisa dijadikan bahan referensi bagi sobat-sobat blogger pecinta matematika khususnya tingkat SMA dan SMK.




Standar Kompetensi


Menggunakan aturan suku banyak dalam penyelesaian masalah

Kompetensi Dasar


# Menggunakan algoritma pembagian suku banyak untuk menentukan hasil bagi dan sisa pembagian

# Menggunakan teorema sisa dan teorema faktor dalam pemecahan masalah

Prangky bermaksud membuat sebuah kotak dari kayu yang volumenya $270$ dm$^{3}$. Dengan ketentuan bahwa lebar kotak 3 dm lebih pendek dari panjangnya dan tingginya 1 dm lebih pendek dari lebarnya. Berapa ukuran balok yang di buat oleh Prangky ?


Untuk menyelesaikan permasalahan diatas, telebih dahulu kita harus melakukan analisis tentang masalah yang diberikan diatas. Kita mencoba dengan alur pemikiran sebaga berikut. Misalkan lebar kotak tersebut adalah $x$ dm, maka panjang kotak tersebut adalah $\left(x+3\right)$dm dan tinggi kotak tersebut adalah $\left(x-1\right)$ dm. Karena Prangky membatasi volume kotak tersebut adalah $270$ dm$^{3}$ maka dapat kita sajikan dalam bahasa matematika menjadi


$$\left(x+3\right)x\left(x-3\right)=270\hspace{2cm}\,\text{atau}\hspace{2cm}\, x^{3}+2x^{2}-3x-270=0$$


Dengan demikian, untuk menentukan ukuran kotak itu, Prangky harus mencari nilai $x$ tersebut. Terdapat dua teknik dasar dalam mencari nilai $x$ yaitu dengan melakukan substitusi terhadap nilai $x$ dan melakukan pemfaktoran terhadap persamaan tersebut. Namun, dengan besarnya pangkat yang diberikan, maka kita akan sedikit kesulitan dalam menentukan nilai $x$ tersebut.


Untuk menyelesaikan masalah diatas, kembali kita mengingat materi tentang operasi hitung bilangan real, sistem persamaan linear, persamaan kuadrat, pangkat, koefisien dan algoritma pembagian bilangan bulat.


Pada kelas X, tentunya kita telah mempelajari tentang materi persamaan kuadrat dan persamaan linear. Dalam persamaan kuadrat bentuk $ax^2+bx+c=0$ jika kita mencari nilai $x$ dapat menggunakan empat cara yaitu dengan cara Pemfaktoran, Melengkapkan kuadrat sempurna, Rumus Kuadrat (abc) dan Grafik. Akan tetapi dari ke empat cara diatas, yang sering digunakan adalah dengan rumus kuadrat. Bagaimanapun bentuk persamaan kuadrat tersebut dapat diselesaikan dengan rumus kuadrat.


Pertanyaannya sekarang adalah apakah rumus kuadrat tersebut dapat digunakan untuk persamaan dengan pangkat lebih dari dua ? Jawabannya adalah tidak bisa digunakan. Karena rumus kuadrat hanya dapat digunakan pada persamaan kuadrat (berpangkat dua). Untuk persamaan berpangkat tiga kita harus mencari dengan cara lain. Nah materi suku banyak berikut tentunya akan memberikan gambaran kepada anda tentang bagaimana menghitung nilai $x$ pada persamaan berpangkat banyak.


Dengan mempelajari materi suku banyak berikut, maka anda akan memecahkan masalah diatas dengan mudah. materi suku banyak ini sangat banyak dijumpai dalam olimpiade matematika. Oleh karena itu, bersemangatlah dalam belajar karena dengan penguasaan konsep yang kokoh maka akan menuntun anda untuk meraih kesuksesan.


Tes Kemampuan Awal


Sebelum anda melangkah lebih jauh, adakalanya anda harus menguji tingkat kemampuan awal anda sebelum mempelajari materi suku banyak ini. Mengingat materi ini sangat berkaitan dengan materi aljabar di SMP. Jadi asahlah kemampuan anda mulai dari sekarang. Jika kemampuan awal anda mantap, maka anda tidak akan mengalami kesulitan dalam mempelajari materi ini.


1.  Tentukan penyelesaian persamaan kuadrat berikut dengan cara pemfaktoran dan menggunakan rumus abc.

a.  $x^{2}-6x+8=0$

b.  $2x^{2}-4=3x$

2. Diketahui fungsi kuadrat $f\left(x\right)=4x-4x^{2}$. Tentukan nilai $f\left(-2\right), f\left(-1\right), f\left(a\right)$, dan $f\left(\frac{1}{x}\right)$

3. Hitunglah $\left(x-3\right)\left(x+1\right)\left(x+2\right)$

4. Hitunglah $\left(2x+3\right)\left(3x^{3}-x^{2}+5x-1\right)$

5. Selesaikan soal berikut dengan menggunakan cara pembagian bersusun. Jelaskan pula langkah-langkah yang Anda lakukan pada pembagian ini !

a. ${\displaystyle \frac{272}{18}}$

b. ${\displaystyle \frac{479}{26}}$

Algoritma Pembagian Suku Banyak


Pengertian dan Nilai Suku Banyak


Pengertian Suku Banyak

Suku banyak atau polinom adalah suatu bentuk yang memuat variabel berpangkat. Suku banyak dalam $x$ berderajat n dinyatakan dengan:

$${\displaystyle a_{n}x^{n}+a_{n-1}x^{n-1}+a_{n-2}x^{n-2}+\cdots+a_{2}x^{2}+a_{1}x+a_{0}}$$

Dengan

$a_{n},a_{n-1},a_{n-2},\cdots,a_{2},a_{1},a_{0}$ adalah bilangan-bilangan real dengan $a\neq0$. $a_{n}$ adalah koefisien dari $x^{n}$, $a_{n-1}$ adalah koefisien dari $x^{n-1}$, $a_{n-2}$ adalah koefisien dari $x^{n-2}$, ....., demikian seterusnya. $a_{0}$ disebut suku tetap (konstanta).

$n$ adalah bilangan cacah yang menyetakan derajat suku banyak

Derajat suku banyak dalam variabel $x$ ditentukan oleh pangkat yang paling tinggi bagi variabel $x$ yang ada dalam suku banyak itu. Suku banyak yang memiliki satu variabel disebut univariabel, dan suku banyak yang memiliki variabel lebih dari satu disebut multivariabel. Sebagai contoh suku banyak $x^{3}+x^{2}y^{5}-4x+3y^{2}-10$ merupakan suku banyak dengan dua variabel (variabel $x$ dan variabel $y$). Suku banyak ini berderajat 3 dalam variabel $x$ atau berderajat 5 dalam variabel $y$.


Untuk lebih jelasnya perhatikan contoh berikut.

CONTOH


Sebutkan nama variabel, derajat, dan koefisien-koefisien dari setiap suku banyak berikut ini.

1. $2x^{3}+5x^{2}-10x+7$

2. $x^{3}-4x+2$

3. $q^{12}+4q^{8}-q^{6}+q^{4}-5q^{2}+q+10$

4. $10-q+2q^{3}+4q^{5}-7q^{7}+10q^{9}+7q^{11}+q^{20}$

JAWAB

1. Suku banyak $2x^{3}+5x^{2}-10x+7$ adalah suku banyak dalam variabel $x$ berderajat $3$. Koefisien $x^{3}$ adalah 3, koefisien $x^{2}$ adalah 5, koefisien $x$ adalah $-10$ dan konstanta (suku tetap) adalah 7.

2. Suku banyak $x^{3}-4x+2$ adalah suku banyak dalam variabel $x$ berderajat $3$. Koefisien $x^{3}$ adalah 1, koefisien $x$ adalah $-4$ dan konstanta (suku tetap) adalah $2$


3. Suku banyak $q^{12}+4q^{8}-q^{6}+q^{4}-5q^{2}+q+10$ adalah suku banyak dalam variabel $q$ berderajat $12$.

Koefisien $q^{12}$ adalah $1$,

Koefisien $q^{8}$ adalah $4$,

Koefisien $q^{6}$ adalah $-1$,

Koefisien $q^{4}$ adalah $1$,

Koefisien $q^{2}$ adalah $-5$,

Koefisien $q$ adalah $1$,

Konstanta (suku tetap) adalah $10$

4. Silahkan dikerjakan sebagai bahan latihan $\square$

Untuk lebih memantapkan pemahaman anda mengenai materi diatas, silahkan kerjakan soal-soal latihan dibawah ini.


Sebutkan nama variabel, derajat, dan koefisien-koefisien dari setiap suku banyak berikut ini.

$q^{10}-q^{6}+6q^{3}-2q+1$

$y^{8}+y^{3}-6y^{2}+10y-1$

$x^{7}-3x^{5}+\sqrt{2}x^{2}+\frac{1}{2}x-1$

$z^{4}-2z^{3}+4z^{2}-3z+31$

$-t^{4}+\frac{1}{2}t^{3}-\sqrt{3}t^{2}-1$

$r^{3}-1$

Tentukan banyaknya variabel untuk setiap suku banyak berikut ini kemudian tentukan pula derajatnya (disesuaikan dengan variabelnya)

$p^{4}+q^{4}+r^{4}+3pq-5pr+6qr+4$

$x^{5}y+xy^{3}+4x-5y+12$

Jabarkan setiap hasil perkalian suku banyak berikut ini (nyatakan hasilnya sesuai dengan aturan pangkat turun). Kemudian tentukan derajat dan koefisien-koefisiennya.

$\left(x+2\right)\left(x+4\right)$

$\left(z-7\right)\left(z^{2}+2\right)$

$\left(y+3\right)\left(y-9\right)^{2}$

$\left(x^{2}-2\right)\left(x^{2}+3x+7\right)$

Carilah koefisien dalam setiap pernyataan berikut

$x^{2}$ pada suku banyak  $\left(x-1\right)^{2}\left(x+2\right)\left(x+1\right)$

$y^{3}$ pada suku banyak $\left(2y+y^{2}\right)\left(4y^{2}-2y+1\right)$

$z$ pada suku banyak $z\left(z-1\right)\left(z-2\right)\left(z+3\right)$

$t^{4}$ pada suku banyak $\left(t^{2}+2t-1\right)^{3}$

Sudah dulu yah. Sudah capek nulisnya. Semoga bisa bermanfaat untuk kita semua.