Bahan Ajar ICT Matematika SMK Kelas X Tahun Pelajaran 2016/2017 Format PDF

8:15:00 AM 0
Halo sobat blogger semua, ketemu lagi di blogmatematika ini. Kali ini saya akan coba membagikan bahan ajar berbasis ICT (katanya) dalam bentuk PDF. Oh, PDF yang bagaimana dulu ? ini adalah PDF yang saya tulis dengan menggunakan typesseting $\LaTeX$ Beamer.

Penggunaan $\LaTeX$ Beamer memang masih jarang dan bahkan belum ada di Toili khusunya. Karena harus menguasai bahasa pemrograman $\LaTeX$. Tapi disini saya akan coba membuat slide beamer dengan kombinasi warna yang natural dan enak di pandang mata sehingga tidak membosankan dan tentunya tidak alay. hehe

Materi yang saya posting kali ini memang sangat padat isinya dan bisa di gunakan dalam proses pembelajaran matematika di SMK maupun di SMA. Tetapi mengingat kurikulum yang saya buat untuk di SMK jadi sangat cocok buat anda yang mengajar di SMK khususnya kelas X.

Penggunaan slide ini cukup di buka dengan program adobe reader versi 6 keatas. Saya sendiri menggunakan adobe reader versi 8 dan tampilannya sangat baik dan animasinya berjalan. jika anda menggunakan program foxit reader tentunya tidak akan berjalan animasinya dan kelihatan tidak keren.

Slide ini ketika di buka akan langsung full screen karena sudah saya buat dengan tampilan full screen. Jika anda kebingungan bisa langsung menekan esc pada keyboard.

Tanpa berlama-lama, ayo kita lihat tampilan slidenya.


beamer


oke. Silahkan download materinya disini. bagi anda yang ingin merubah nama pembuat bisa menghubungi saya di blog ini. File format PDF. Diperbolehkan menyalin ulang maupun mengcopy paste materi ini tanpa ada izin dari saya, dengan tujuan untuk pendidikan.


DOWNLOAD


Menemukan Bilangan Rasional dalam Bentuk Pecahan

Menemukan Bilangan Rasional dalam Bentuk Pecahan

7:45:00 AM 0
Melanjutkan postingan sebelumnya tentang bilangan real, kali ini saya akan sedikit membahas tentang Menemukan Bilangan Rasional dalam Bentuk Pecahan. Oke kita langsung saja mulai.

Seperti yang kita ketahui, bilangan rasional adalah bilangan yang dapat dinyatakan dalam bentuk $\dfrac{a}{b}$ dengan $a$ dan $b$ bilangan bulat dengan $b\neq0$.

Berdasarkan defenisi tersebut, bilangan rasional dapat dibedakan menjadi 2 macam yaitu bilangan bulat dan bilangan pecahan.

  • Bilangan Bulat,  Misalnya $-5,-4,-3,2,$ dan $10$. Mengapa demikian ? Perhatikan bilangan $-5$ dapat dinyatakan dalam bentuk $\dfrac{-5}{1},\dfrac{-10}{2},$ atau $\dfrac{-20}{4}$. Demikian juga bilangan $-4,-3,2,$ dan $10$. Bilangan tersebut dapat disajikan dalam bentuk $\dfrac{a}{b}$.
  • Bilangan Pecahan, Misalnya $-\dfrac{1}{2},-\dfrac{3}{4},\dfrac{9}{5}$ dan $-3\dfrac{2}{7}$.

Ciri-Ciri Bilangan Rasional



Apabila dituliskan dalam bentuk desimal, bilangan rasional memiliki ciri-ciri sebagai berikut.

  • Bilangan Desimalnya terbatas. Contoh $0,23;0,25;1,65$ dan seterusnya

  • Bilangan desimalnya tidak terbatas tetapi berulang. Contoh $0,33333.....,0,245245245.....,$, $0,121212,...$ dan seterusnya

Contoh
Tunjukkan bahwa bilangan-bilangan berikut adalah bilangan rasional.

  1. $0,2$

  2. $0,25$

  3. $0,243$

Penyelesaian

  1. $0,2=\dfrac{2}{10}=\dfrac{1}{5}$. Kita sudah tahu bahwa $\dfrac{1}{5}$ adalah bilangan rasional

  2. $0,25=\dfrac{25}{100}=\dfrac{1}{4}$. Ingat bahwa $\dfrac{1}{4}$ adalah bilangan rasional

  3. $0,243=\dfrac{243}{1000}.$ Ingat $\dfrac{243}{1000}$ adalah bilangan rasional


ContohTunjukkan bahwa bilangan-bilangan berikut adalah bilangan rasional.

a. $0,333333.....$
b. $0,24242424.....$
c. $0,162162162.....$

Penyelesaian

a. $0,33333333........$

  • Bilangan ini biasanya ditulis dengan $0,\bar{3}$}

  •  Kita misalkan $x=0,3333333.....$ maka $10x=3,3333333......$







 $10x$

$=$

$3,333333....$ 

 $x$

$=$

 $0,33333333$

 $9x$

$=$ 

$3$ 

 $x$

$=$ 

$\dfrac{3}{9}$ 

 $x$

$=$ 

$\dfrac{1}{3}$  


di kurangkan

Jelas Bahwa $\dfrac{1}{3}$ adalah bilangan rasional

b. dan c. Silahkan dicoba sebagai bahan latihan $\square$

Lembar Kerja Siswa



Setelah anda memahami apa yang sudah dijelaskan pada materi Operasi Bilangan Real silahkan kerjakan soal-soal berikut ini lengkap dengan penyelesaiannya !

1. Tentukan hasil operasi hitung berikut !

  •  $3-\dfrac{1}{2}+4\times5=.....$

  •  $6,25-\dfrac{3}{5}\times3+10=.....$

  •  $\left(2+0,71\right)\times5-3,31=.....$

  •  $\left(1+3,51\right)\times\left(2+4,71\right)+\dfrac{1}{2}-\dfrac{3}{7}:\dfrac{1}{3}=......$

2. Sebutkan Manakah diantara bilangan-bilangan berikut yang merupakan bilangan rasional !

  •  $0,51234137.....$

  •  $1,24351267.....$

  •  $0,7777777.......$

  •  $5,23232323.....$

  •  $37,1371371.....$

3. Tunjukkan bahwa bilangan-bilangan berikut adalah bilangan rasional !

  •  $4,5$

  •  $0,39$

  •  $4,531$

  •  $27,115$

  •  $0,2222.....$

  •  $4,321321......$

  •  $2,23232323....$

  •  $0,1428571428571........$

4. (Bonus) Tentukan pecahan biasa yang terletak antara

  •  $\dfrac{2}{7}$ dan $\dfrac{3}{7}$

  •  $\dfrac{4}{9}$ dan $\dfrac{4}{8}$

  •  $\dfrac{1}{5}$ dan $\dfrac{3}{7}$

  •  $\dfrac{1}{99}$ dan $\dfrac{1}{100}$

LKS dalam bentuk PDF silahkan download di sini



Selamat Mengerjakan 

Materi Ajar Pelajaran Matematika Kelas X SMK Tahun Pelajaran 2016/2017 Tentang Bilangan Real

7:17:00 AM 0
Semester ganjil tahun pelajaran 2016/2017 ini saya mengajar di kelas X SMK. Tidak seperti tahun-tahun sebelumnya, kali ini saya mencoba membuat pelajaran lebih berkesan sedikit. Saya mencoba menggunakan media pembelajaran dalam hal ini menggunakan presentasi yang biasanya hanya menulis di papan dan memberikan umpan balik. Tapi kali ini saya sedikit mengubah pembelejaran dengan menggunakan presentasi yang lebih sederhana dan tentunya memudahkan saya.

Pendahuluan


Penggunaan bahan ajar berbasis ICT memang sangat memudahkan guru dalam mengajar khususnya matematika. Guru tidak capek-capek harus terus menulis di papan tulis karena materi memang kita sudah tulis sebelumnya sehingga dapat kita langsung tampilkan.

Materi ini sebenarnya adalah materi yang sangat mudah. Mengingat materi ini masih berkaitan dengan materi SMP. Tetapi di bahas agak meng kompleks tentunya dengan materi tambahan logaritma di akhir bab. Berikut materi- tentang bilangan real yang saya sudah buat dalam bentuk slide presentasi beamer dengan menggunakan software $\LaTeX$.


Referensi


  • Buku Aktif Matematika Untuk kelas X SMK dan MAK Kelompok Sosial, Administrasi Perkantoran dan Akuntansi Karangan Siswanto dan Umi Supraptinah Penerbit Tiga Serangkai tahun 2008

  • Sumber Referensi Lain yang relefan

  • Internet

Standar Kompetensi :

  • Memecahkan masalah berkaitan dengan konsep operasi bilangan real.

Kompetensi Dasar :

  • Menerapkan operasi pada bilangan real.

Indikator

  1. Membedakan berbagai jenis bilangan yang ada.

  2. Mengoperasikan dua atau lebih bilangan bulat (dijumlah, dikurang, dikali, dibagi) sesuai dengan prosedur.

  3. Mengoperasikan dua atau lebih pecahan (dijumlah, dikurang, dikali, dibagi) sesuai dengan prosedur.

  4. Mengonversi pecahan ke bentuk desimal dan sebaliknya.

  5. Mengonversi desimal ke bentuk persen dan sebaliknya.

  6. Mengonversi pecahan ke bentuk persen dan sebaliknya.

  7. Mengaplikasikan persen pada bidang bisnis.

  8. Mengaplikasikan konsep perbandingan (senilai dan berbalik nilai) dan skala dalam penyelesaian masalah program keahlian

Tujuan Pembelajaran


  1. Peserta didik dapat membedakan berbagai jenis bilangan yang ada.

  2. Peserta didik dapat mengoperasikan dua atau lebih bilangan bulat (dijumlah, dikurang, dikali, dibagi) sesuai dengan prosedur.

  3. Peserta didik dapat mengoperasikan dua atau lebih pecahan (dijumlah, dikurang, dikali, dibagi) sesuai dengan prosedur.

  4. Peserta didik dapat mengonversi pecahan ke bentuk desimal dan sebaliknya.

  5. Peserta didik dapat mengonversi desimal ke bentuk persen dan sebaliknya.

  6. Peserta didik dapat mengonversi pecahan ke bentuk persen dan sebaliknya.

  7. Peserta didik dapat meng aplikasikan persen pada bidang bisnis.

  8. Peserta didik dapat mengaplikasikan konsep perbandingan (senilai dan berbalik nilai) dan skala dalam penyelesaian masalah program keahlian

Oke. Sekarang kita masuk ke materi tentang bilangan real. Silahkan di simak yah.


Macam-Macam Bilangan Real



Matematika erat sekali kaitannya dengan bilangan-bilangan. Bilangan-bilangan tersebut dapat dibedakan berdasarkan definisi tertentu sehingga bilangan-bilangan tersebut dapat dikelompokkan menjadi suatu himpunan bilangan tertentu pula.

Bilangan Asli dilambangkan dengan $\mathbb{N}=\left\{ 1,2,3,4,......\right\}$

Bilangan bulat dilambangkan dengan $\mathbb{Z}=\left\{ ...,-2,-1,0,1,2,...\right\}$

Bilangan rasional adalah bilangan yang dapat dinyatakan dengan $\dfrac{a}{b},$ dengan $b\neq0$ dan $a,b$ bilangan bulat. Bilangan rasional biasanya dinyatakan dengan simbol $\mathbb{Q}$ (hasil bagi bilangan bulat).

Anggota-anggota bilangan rasional adalah $$\mathbb{Q}=\left\{ \frac{a}{b},b\neq0,a,b\in\mathbb{Z}\right\}$$

Bilangan irasional adalah bilangan yang tidak dapat dinyatakan dalam bentuk $\dfrac{a}{b},b\neq0$. Bilangan irasional dinyatakan dengan
$\mathbb{IQ}.$ Anggota bilagan Irasional adalah $\mathbb{IQ=R\mbox{-}Q}$.
Contoh $\sqrt{2},\sqrt{3},\pi,e,\log3$ dan masih banyak lagi.

Bilangan Real sendiri dilambangkan dengan $\mathbb{R}$. Jika ditulis dengan notasi himpunan, sistem bilangan diatas dapat dituliskan sebagai berikut  \[
\mathbb{N}\subseteq\mathbb{Z}\subseteq\mathbb{Q}\subseteq\mathbb{R}\]

Jika bilangan real dinyatakan dalam garis bilangan, tampak sebagai kumpulan titik-titik yang membentuk garis


bilangan real

Catatan : Dalam bilangan real, tidak ditemukan bilangan yang terbesar dan terkecil.


Operasi Bilangan Real


Sifat-Sifat Operasi Bilangan Real



Pada bilangan real berlaku penjumlahan, pengurangan, perkalian, pembagian, perpangkatan, bentuk akar, dan penarikan logaritma suatu bilangan. Sifat-sifat operasi bilangan real dapat dijelaskan sebagai berikut.


Untuk setiap $a,b,c\in\mathbb{R}$ maka berlaku sebagai berikut.


Sifat Komutatif

 Komutatif Terhadap Penjumlahan $a+b=b+a$

 Komutatif terhadap perkalian $a\times b=b\times a$

Sifat Asosiatif

 Asosiatif terhadap penjumlahan $\left(a+b\right)+c=a+\left(b+c\right)$

 Asosiatif terhadap perkalian $\left(a\times b\right)\times c=a\times\left(b\times c\right)$

Sifat Distributif

Distributif Perkalian terhadap penjumlahan $a\times\left(b+c\right)=\left(b+c\right)\times a$ \[a\times\left(b+c\right)=\left(a\times b\right)+\left(a\times c\right)\,\text{distributif kiri}\] \[\left(b+c\right)\times a=\left(b\times a\right)+\left(c\times a\right)\, \text{distributif kanan}\]

Distributif Perkalian terhadap pengurangan $a\times\left(b-c\right)=\left(b-c\right)\times a$ \[a\times\left(b-c\right)=\left(a\times b\right)-\left(a\times c\right)\,\text{ distributif kiri }\] \[\left(b-c\right)\times a=\left(b\times a\right)-\left(c\times a\right)\, \text{distributif kanan}\]

Ketertutupan

Misalkan $a\in\mathbb{R}$ dan $b\in\mathbb{R}$ maka $a+b\in\mathbb{R}$

Misalkan $a\in\mathbb{R}$ dan $b\in\mathbb{R}$ maka pastilah $a\times b\in\mathbb{R}$ (berlaku juga untuk operasi pengurangan, perpangkatan, pembagian)

Memiliki Elemen Identitas

Elemen identitas terhadap penjumlahan yaitu $0$ \[a+0=0+a=a\,\,\text{dengan}\,a\in\mathbb{R}\]

Elemen identitas terhadap perkalian yaitu $1$ \[a\times1=1\times a=a\,\,\text{dengan}\, a\in\mathbb{R}\]

Mempunyai Invers.


Untuk sembarang $a$ bilangan real, $a$ pasti mempunyai invers.

Invers terhadap penjumlahan adalah $-a$ sehingga berlaku $a+\left(-a\right)=0$

Untuk sembarang $a$ bilangan real dengan $a\neq0$ invers terhadap perkaliannya adalah $\dfrac{1}{a}$ sehingga berlaku $a\times\dfrac{1}{a}=1$

Menerapkan Operasi-Operasi pada Bilangan Real


Operasi Campuran pada Bilangan Real

Tanda operasi kali $\left(\times\right)$ dan bagi $\left(:\right)$ mempunyai kekuatan yang sama. Cara mengerjakannya adalah kerjakan operasi dari kiri

Tanda operasi tambah $\left(+\right)$ dan kurang $\left(-\right)$mempunyai kekuatan yang sama. Cara mengerjakannya adalah kerjakan operasi dari kiri. Tanda $\left(+\right)$ dan $\left(-\right)$ lebih lemah dari tanda $\left(\times\right)$ dan $\left(:\right)$. Oleh karena itu pengerjaannya dimulai dari operasi yang mengandung operasi perkalian atau pembagian.

Tanda dalam tanda kurung $\left(\right)$ harus diprioritaskan terlebih dahulu.

Contoh 

Tentukan Nilai dari $4\times5-2:1+\left(3\dfrac{2}{5}\times5\right)$

Penyelesaian

Perhitungan yang salah \begin{eqnarray*}4\times5-2:1+\left(3\dfrac{2}{5}\times5\right) & = & 4\times3:1+\frac{17}{5}\times5\\& = & 12+17\\& = & 29\end{eqnarray*}

Perhitungan yang benar \begin{split}4\times5-2:1+\left(3\dfrac{2}{5}\times5\right) & = & 20-2+\frac{17}{5}\times5\\ & = & 18+17\\ & = & 35\end{split}


Lanjut dipostingan lainnya yah. Terus pantau blog ini. Oke.

Cara Praktis Menambahkan Widget Feed di Blog Kamu

5:36:00 AM 0
Halo sobat blogger sekalian. Kali ini saya akan sedikit membagi sebuah postingan tentang bagaimana cara menambahkan Widget Feed di blog kamu. Widget Feed adalah sebuah widget yang digunakan untuk menampilkan daftar postingan terbaru dari blog kita. Selain itu widget ini dapat juga digunakan untuk menampilkan daftar postingan terbaru berdasarkan kategori blog kita.

Pada postingan sebelumnya di blog ini tentang cara memasang widget postingan terbaru pada blog agaknya agak ragu mengingat adanya javascript yang ada dalam kode tersebut. Sehingga saya berikan alternatif yang paling baik yang sebenarnya disediakan oleh blogger itu sendiri.

Cara menambahkan widget ini sangat mudah dan gak perlu script yang aneh-aneh. Cukup menambahkan kode sederhana maka anda akan langsung dapat melihat widget anda muncul postingan terbaru tergantung dari jumlah yang anda inginkan.

Oke kita langsung mulai saja tutorialnya.


Menambahkan Widget Feed di Blog Kamu


Langkah pertama adalah silahkan sobat blogger login di akun blogger masing-masing. Kemudian masuk menu Tata Letak > Tambahkan Gadget.


Menambahkan Widget Feed bi Blog

Selanjutnya akan muncul halaman widget dan silahkan pilih widget Feed

Menambahkan Widget Feed di Blog

Langkah selanjutnya anda harus mengisi widget feed dengan kode sederhana berikut !




http://blogmatematika.net/feeds/posts/default


Selain itu,Sobat blogger juga dapat menambahkan widget berdasarkan kategori yaitu dengan menambahkan kode berikut !



http://blogmatematika.net/feeds/posts/default/-/Label



Menambahkan Widget Feed di Blog

Menambahkan Widget Feed di Blog


setelah itu silahkan anda klik lanjutkan dan akan mendapatkan tampilan berikut ini. Silahkan mengganti judul Widget menjadi apa saja. Contoh "Postingan Terbaru"


Menambahkan Widget Feed di Blog

Jangan Lupa klik Simpan dan lihatlah hasilnya. Jika ada yang ingin ditanyakan bisa coret-coret di kolom komentar di bawah ini. Terus pantau blog ini. Ada info-info terbaru seputar blog yang keren-keren lho.

Catatan : 

blogmatematika.net silahkan ganti dengan url blog sobat masing-masing yah.

Cara Ampuh Mengatasi NSIS ERROR Saat Menginstal Software di Windows

6:47:00 AM 0
Halo sobat blogger semua. kali ini saya akan membagikan artikel tentang bagaimana cara mengatasi NSIS ERROR saat kita menginstal aplikasi. Kejadian ini saya temui ketika saya akan menginstal sebuah software gratis yaitu photoscape. Ketika akan menginstal maka muncul peringatan NSIS ERROR. Saya pun bingung. Coba-coba aplikasi yang lainnya juga muncul NSIS Error salah satunya program $Lyx$, $TexMaker$ dan lain-lain.

Saya berpikir bahwa program tersebut error dan sudah tidak bisa di gunakan. Iseng-iseng buka google, ternyata aplikasi tersebut masih dapat kok digunakan. Berikut penjelasannya.


Apa Sih NSIS itu ?


NSIS adalah salah satu perangkat lunak pendukung pada sistem operasi terlaris saat ini yakni Windows. NSIS hampir sama fungsinya dengan perangkat lunak pendukung lainnya di Windows, seperti Direct,OpenGL,Microsoft .NET dll. Pada setiap windows yang melakukan Install update otomatis NSIS juga akan di update versinya dengan versi yang lebih baru dan Komplatibel.

Masalahnya adalah kebanyakan kita menggunakan Windows non ori yang diaktivasi dengan melewati Aktiv*t*r , sehingga ketika menginstall suatu software yang memerlukan beberapa program lainya secara online otomatis Windows Corp akan memblokir Software tersebut dan mengUnregister kembali windows anda .


Masalah yang terjadi


Kembali lagi pada permasalahan di awal, bahwa ketika saya akan menginstal photoscape ternyata muncul seperti ini.


NSIS ERROR


Solusinya adalah


Setelah mencari-cari lewat google, akhirnya saya menemukan solusi dari permasalahan tersebut. Yakni dengan sedikit mengubah pengaturan pada programnya dan sedikit bermain lewat CMD. Oke kita lihat dulu

Langkah Pertama adalah silahkan ada salin dan tempatkan aplikasi anda di tempat yang mudah di jangkau seperti drive D atau E. Saya contohkan disini aplikasi saya tempatkan di Drive D.

NSIS ERROR

Langkah selanjutnya silahkan klik kanan pada aplikasi tersebut kemudian Pilih Properties. Silahkan pilih tab Compability dan pada privilege Level silahkan centang Run This Program as an Administrator. Silahkan klik Apply dan Klik OK

NSIS ERROR

Kemudian silahkan masuk CMD dengan cara tekan di keyboard tombol Windows + R kemudian ketikkan CMD.

NSIS ERROR


Ketika sudah muncul jendela CMD silahkan pindah di drive D tempat meletakkan aplikasi tadi dengan cara ketikkan D: kemudian enter.

Dalam drive D silahkan anda ketikkan nama aplikasi anda tadi atau lebih enaknya silahkan tekan tombol tab di keyboard berulang-ulang sampai mendapatkan aplikasi yang akan diinstal tadi. Kemudian spasi /NCRC kemudian tekan Enter. Contoh :


NSIS ERROR


Setelah anda menekan enter, maka akan muncul jendela instal dan tentunya anda sudah bisa melakukan instal aplikasi tersebut hingga finish.


NSIS ERROR


Sebenarnya cara menginstalnya sama saja dengan saat software tersebut belum NSIS Error. namun hanya proses penginstalannya saja yang berbeda yakni dengan menggunakan CMD. Silahkan dilanjutkan prosesnya hingga finish instalasi. dan anda bisa menggunakan aplikasi tersebut tanpa hambatan.

Demikian tutorial tentang cara mengatasi NSIS Error. Mudah-mudahan bisa berguna bagi sobat-sobat blogger yang mengalami masalah yang sama. Semoga kedepannya blog ini akan memberikan yang lebih bermanfaat untuk kita semua. Bagi sobat-sobat blogger semua yang ingin memberikan pertanyaan maupun saran silahkan coret-coret pada kolom komentar dibawah ini.

Tutorial Cara Menambahkan Daftar Isi Otomatis di Blog

7:32:00 AM 2
Halo sobat blogger semua, Bagaimana kabarnya ? pasti anda saat ini sedang sehat-sehat saja. Bagi yang sedang sakit saya doakan cepat sembuh dan menjalankan aktivitas kita dengan lancar.

Oh iya. Pada postingan kali ini saya akan mencoba membuat postingan tentang Tutorial Cara Menambahkan Daftar Isi Otomatis di Blog. Nah kebayang tidak kalau blog tidak ada daftar isinya. Tentunya kita akan sangat kerepotan untuk menjelajahi blog tersebut. Mujur-mujur jika blog tersebut ada widget kategori atau arsip blog sehingga kita bisa langsung melihat blog tersebut isinya apa.

Nah, pada kesempatan ini saya ingin mencoba membuat halaman daftar isi yang tentunya dibuat secara otomatis yang hanya memanfaatkan script yang cukup sedikit. Mengingat penggunaan script yang sangat banyak akan memperlambat proses loading blog. Tapi kali ini hanya script biasa saja kok. Oke Kita langsung saja mulai tutorialnya.


Tutorial Cara Menambahkan Daftar Isi Otomatis di Blog


1. Buka blog sobat masing-masing kemudian masuk di menu Laman > Laman Baru


Tutorial Cara Menambahkan Daftar Isi (Sitemap) Otomatis di Blog


2. Buatlah judul Halaman sesuai dengan kesukaan sobat blogger semua. Misalkan saya membuat judul "Daftar Isi"


Cara Menambahkan Daftar Isi (Sitemap) Otomatis di Blog

3. Kemudian Masuk ke tab "HTML" kemudian salin kode script berikut ini !



<style type="text/css">#toc{width:99%;margin:5px auto;border:1px solid #2D96DF;-webkit-box-shadow:4px 4px 8px 2px rgba(0,0,0, 0.2);-moz-box-shadow:4px 4px 8px 2px rgba(0,0,0, 0.2);
box-shadow:4px 4px 8px 2px rgba(0,0,0, 0.2);}
.labl{color:#FF5F00;font-weight:bold;margin:0 -5px;padding:1px 0 2px 11px;background:-moz-linear-gradient(right,#C2EAFE 0%,#055A85 40%);background:-webkit-gradient(linear,left 10,right 80,color-stop(0.20,#055A85),color-stop(1,#C2EAFE));border:1px solid #2D96DF;
border-radius:4px;-moz-border-radius:4px;-webkit-border-radius:4px;box-shadow:3px 3px 1px #bbb;-moz-box-shadow:3px 3px 1px #bbb;-webkit-box-shadow:3px 3px 1px #bbb;display:block;}
.labl a{color:#fff;}.labl:first-letter{text-transform:uppercase;}.new{color:#FF5F00;font-weight:bold;font-style:italic;}
.postname{font-weight:normal;background:-moz-linear-gradient(right,#C2EAFE 0%,#fff 40%);
background:-webkit-gradient(linear,center 60,right 10,color-stop(0.60,#fff),color-stop(1,#C2EAFE));}
.postname li{border-bottom: #ddd 1px dotted;margin-right:5px}</style>
 <br />
<div id="toc"><script src="https://googledrive.com/host/0ByNodV_m9cVLR0pmWFgwZ1NmdW8/" type="text/javascript"></script><script src="http://blogmatematika.net/feeds/posts/default?max-results=9999&amp;alt=json-in-script&amp;callback=loadtoc"></script></div></div></div>



3. kemudian silahkan anda klik publikasikan dan lihatlah hasilnya.

Cara Menambahkan Daftar Isi (Sitemap) Otomatis di Blog

sekian tutorial dari saya mengenai Tutorial cara menambahkan daftar isi otomatis di blog. Jika ada yang ingin ditanyakan silahkan coret-coret pada kolom komentar. Terus pantau blog ini yah.

Catatan :


Ganti http://blogmatematika.net dengan blog anda masing-masing

Fungsi Invers dan Beberapa Soal-Soal Beserta Penyelesaian tentangDiferensial

8:44:00 AM 0
Sudah lama sekali rasanya saya tidak memposting tentang soal-soal dan pembahasannya. Kali ini saya berikan sedikit teori tentang fungsi invers yang masih erat kaitannya dengan postingan saya yang kemarin. Perlu sobat blogger ketahui bahwa tulisan ini adalah hasil dari catatan kuliah analisis real dahulu dan beberapa referensi yang saya dapatkan di internet. Kritik dan saran sangat saya harapkan demi kesempurnaan tulisan dan blog ini.


Fungsi invers


Pada Postingan ini dibahas hubungan derivatif fungsi dan derivatif inversnya, seperti diungkapkan pada teorema berikut.




Misalkan $I \subset \mathbb{R}$ suatu interval, dan $f:I \longrightarrow \mathbb{R}$ fungsi monoton tegas dan kontinu pada $I$. Bila $J=f(I)$ dan $g:J \longrightarrow \mathbb{R}$ monoton tegas dan kontinu, invers fungsi $f$. Bila $f$ terdiferensial di $c \in I$ dan $f'(c) \neq 0$, maka $g$ terdiferensial di $d:=f(c)$, dimana
\begin{eqnarray}g'(d)=\frac{1}{f'(c)}=\frac{1}{f'(g(d))}\end{eqnarray}




Untuk pembuktiannya silahkan anda lihat pada buku teks Introduction to real analysis edisi 3 karangan Robert Bartle dan Donal Sherbert halaman 165.

invers


Untuk sementara dilewatkan dulu memahami buktinya, tapi pahami dulu maksud teoremanya. Untuk memahami teorema ini, beberapa istilah: fungsi kontinu, monoton tegas, fungsi invers harus dipahami kembali.



Misalkan $n \in \mathbb{N}, I:=[0,\infty)$ dan misalkan $f(x)=x^n$. Dengan mudah dapat dimengerti bahwa $f$ monoton tegas dan kontinu pada $I$, sehingga inversnya ada yaitu $g(y)=y^{1/n}$ untuk $y\in J :=[0,\infty)$ juga monoton tegas, kontinu. Diketahui pula $f'(x)=nx^{n-1}$ untuk semua $x\in I$. Jadi berdasarkan hal ini, jika $y>0$ maka $g'(y)$ ada, yaitu:
$$g'(y)=\frac{1}{f'(g(y))}=\frac{1}{n(g(y))^{n-1}}=\frac{1}{n(y^{1/n})^{n-1}}=\frac{1}{ny^{(n-1)/n}}$$
Akhirnya disimpulkan $g'(y)=\frac{1}{n}y^{(1/n)-1},y>0$.


Soal-soal dan penyelesaiannya


Gunakan defenisi untuk menentukan derivatif fungsi berikut.
a. $f(x):=x^3,\, x \in \mathbb{R}$
b. $k(x):=\frac{1}{\sqrt{x}},\,x>0$

Penyelesaian
Untuk (a), ambil sebarang $c \in \mathbb{R}$. Diperoleh
\begin{eqnarray*}
f'(c):=\lim_{x \to c}\frac{f(x)-f(c)}{x-c}&=&\lim_{x \to c}\frac{x^3-c^3}{x-c}\\
&=&\lim_{x \to c}\frac{(x-c)(x^2+xc+c^2)}{x-c}\\
&=&c^2+c\cdot c+c^2\\
&=&3c^2
\end{eqnarray*}
Jadi, $f(x)=3x^2$ untuk setiap $x \in \mathbb{R}$.


Untuk bagian (b) diambil sembarang $c>0$ didapat:
\begin{eqnarray*}
k'(c):=\lim_{x \to c} \frac{k(x)-k(c)}{x-c}&=&\lim_{x \to c}\frac{\frac{1}{\sqrt{x}}-\frac{1}{\sqrt{c}}}{x-c}\\
&=&\lim_{x \to c} \frac{(\sqrt{c}-\sqrt{x})}{(x-c)(\sqrt{xc})}\\
&=&\lim_{x \to c} \frac{(\sqrt{c}-\sqrt{x})}{\sqrt{xc}(\sqrt{x}-\sqrt{c})(\sqrt{x}+\sqrt{c})}\\
&=&\lim_{x \to c} \frac{-1}{\sqrt{xc}(\sqrt{x}+\sqrt{c})}\\
&=&-\frac{1}{c \cdot 2 \sqrt{2}}\\
&=&-\frac{1}{2c \sqrt{c}}
\end{eqnarray*}
Karena bentuk ini terdefenisi untuk setiap $c > 0$ maka diperoleh $k'(x) =-\frac{1}{2x\sqrt{x}},\,\,x>0$


Tunjukkan fungsi $f(x):=x^{1/3},\,\, x \in \mathbb{R}$ tidak terdiferensial di $x=0$.


Penyelesaian
Dibentuk pecahan yang mengarah pada $f'(0)$, yaitu
$$\frac{f(x)-f(0)}{x-0}=\frac{x^{1/3}-0}{x}=\frac{1}{x^{2/3}}$$
Selanjutnya tunjukkan bahwa $\lim_{x \to 0} \frac{1}{x^{2/3}}$ tidak ada. (Petunjuk : Gunakan kriteria barisan untuk limit).
Karena $\lim_{x \to 0}\frac{f(x)-f(0)}{x-0}$ tidak ada maka disimpulkan bahwa $f'(x)$ tidak ada.


Misalkan fungsi $f$ terdefenisi pada $\mathbb{R}$ dengan
$$f(x):=\begin{cases}
x^2 & \mbox{Jika}\,\, x\,\, \mbox{rasional}\\
0 & \mbox{Jika}\,\, x \,\, \mbox{irrasional}
\end{cases}$$
Buktikan $f$ terdiferensial di $0$, dan tentukan $f'(0)$ !


Penyelesaian
Berdasarkan defenisi fungsi ini diperoleh $f(0)=0$. Diperhatikan bentuk $\frac{f(x)-f(0)}{x-0}=\frac{f(x)}{x}$, diperoleh:
Misalkan fungsi $f$ terdefenisi pada $\mathbb{R}$ dengan
$$\frac{f(x)}{x}=\begin{cases}
x & \mbox{Jika}\,\, x\,\, \mbox{rasional}\\
0 & \mbox{Jika}\,\, x\,\, \mbox{irrasional}
\end{cases}$$
Selanjutnya ditunjukkan $\lim_{x\to 0} \frac{f(x)}{x}$. Misalkan $(x_n)$ barisan yang konvergen ke $0$, maka
diperoleh barisan $\left(\frac{f(x_n)}{x_n}\right)$ sebagai berikut:
$$\frac{f(x_n)}{x_n}=\begin{cases}
x_n & \mbox{Jika}\,\, x_n \,\,\mbox{rasional}\\
0 & \mbox{Jika}\,\, x_n \,\,\mbox{irrasional}
\end{cases}$$
Jadi apapun kasusnya barisan $\left(\frac{f(x_n)}{x_n}\right)$ konvergen ke $0$. Terbukti limitnya ada dan $f'(0)=0$


Tentukan turunan berikut ini dan sederhanakanlah !
a. $f(x):=\frac{x}{1+x^2}$
b. $h(x):=(\sin(x^k))^m,m,k \in \mathbb{N}$


Penyelesaian
Untuk bagian (a) dapat anda kerjakan sendiri dengan menggunakan aturan turunan hasil bagi. Untuk (b) gunakan aturan rantai sebagai berikut:
\begin{eqnarray*}
h'(x)&=&m(\sin(x^k))^{m-1} \cdot \frac{d}{dx}\left(\sin (x^k) \right)\\
&=&m(\sin(x^k))^{m-1} \cdot \cos(x^k) \cdot \frac{d}{dx} \left(x^k\right)\\
&=&m(\sin(x^k))^{m-1} \cdot \cos(x^k) \cdot kx^{k-1}\\
&=&kmx^{k-1} (\sin(x^k))^{m-1} \cdot \cos(x^k)
\end{eqnarray*}


Misalkan $n \in \mathbb{N}$ dan $f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ didefenisikan sebagai berikut
$$f(x):=\begin{cases}
x^n & \text{untuk} \,\, x \geq 0\\
0 & \text{untuk} \,\, x<0
\end{cases}$$
Tentukan nilai $n$ apa saja yang membuat fungsi ini kontinu di $0$. Pertanyaan yang sama yang membuat fungsi ini terdiferensial di $0$.


Penyelesaian
Syarat kontinu di $0$ : $\lim_{x \to 0}f(x)=f(0)=0$. Agar syarat ini dipenuhi maka haruslah $\lim_{x \to 0}x^n=0$. Syarat ini otomatis dipenuhi untuk setiap bilangan asli $n$.


Jadi fungsi ini kontinu untuk setiap $n\in \mathbb{N}$. Untuk keterdiferensialan di $0$, diperhatikan bentuk berikut:

$$\frac{f(x)-f(0)}{x-0}=\frac{f(x)}{x}=\begin{cases}
x^{n-1} & \text{jika}\,\, x \geq 0\\
0 & \text{jika}\,\, x <0
\end{cases}$$
Agar $f'(0)$ ada, maka haruslah $\lim_{x\to 0}\frac{f(x)-f(0)}{x-0}$ ada. Agar limit ini ada maka nilainya haruslah $0$. Jadi harus dipenuhi $$\lim_{x \to 0}x^{n-1}=0$$ Keadaan ini hanya dipenuhi oleh $n=2,3,4, \cdots$


Sudah dulu yah. Capek nulis equationnya. Hehehehe. Kalau ada pertanyaan bisa coret-coret di kolom komentar dibawah.

Rumus-Rumus Pembuktian Turunan dan Aturan Rantai

8:16:00 AM 0

Halo sobat blogger sekalian. Kali ini BLOGMATEMATIKA akan membagikan postingan waktu saya kuliah dulu pada mata kuliah kalkulus dan analisis real. Postingan kali ini membahas tentang diferensial atau lebih sederhananya dalam matematika SMA disebut dengan turunan. Sebenarnya sebelum membahas konsep turunan alangkah baiknya sobat mengerti konsep tentang limit fungsi kemudian diterapkan dalam konsep turunan.



Weierrstrass plot

 


Pernahkan anda mendengar fungsi $f\left(x\right)=ax^n$ dan ketika diturunkan menjadi $f'\left(x\right)=anx^{n-1}$. Dari manakah rumus itu berasal ? Sebenarnya rumus itu adalah akibat dari turunan rumus-rumus sebelumnya yang membahas tentang aturan penjumlahan, pengurangan, perkalian dan pembagian yang sudah saya posting dahulu.

Oke kita mulai saja pembahasannya.
Jika fungsi $f_1,f_2, \cdots, f_n$ terdiferensial di $c \in \mathbb{I}$ maka $f_1+f_2+ \cdots+f_n$
dan $f_1 \cdot f_2, \cdots, f_n$ terdiferensial di $c$, dimana
\begin{eqnarray*}
(f_1+f_2+\cdots + f_n)'(c)&=&f_1'(c)+f_2'(c)+\cdots + f_n'(c)\\
(f_1f_2\cdots f_n)'(c)&=&f_1'(c)f_2(c)\cdots f_n(c)+f_1(c)f_2'(c)\cdots f_n(c)\nonumber \\
&&+\cdots + f_1(c)f_2(c)\cdots f_n'(c)
\end{eqnarray*}

Suatu kejadian khusus pada sifat diferensial perkalian adalah bilamana $f_1=f_2=\cdots =f_n:=f$ maka berlaku
\begin{eqnarray*}(f^n)'(c)&=&n(f(c))^{n-1}f'(c)\end{eqnarray*}
Lebih khusus lagi jika $f(x):=x$ maka $f^n(x)=x^n$. Kemudian kita akan mencari turunan dari $g(x):=x^n$ yaitu:

\begin{eqnarray*}g'(x)=n(f(x))^{n-1}f'(x)=nx^{n-1} \cdot 1=nx^{n-1}\end{eqnarray*}


Fakta ini sudah kita kenal dengan baik pada kalkulus, yaitu bila $y=x^n$ maka $y'=nx^{n-1}$

 
Notasi lain yang digunakan untuk $f'$ adalah $Df$ dan $\frac{df}{dx}$ bila $x$ variabel bebas pada fungsi $f$, yaitu $f=f(x)$. Notasi $\frac{df}{dx}$ dikenal dengan notasi Leibniz salah seorang bapak penemu kalkulus diferensial.


Aturan Rantai (Chain Rule)


 
Ketika kita di SMA atau pada kuliah kalkulus dasar tentunya tidak asing lagi proses menentukan turunan fungsi $y=\sin\left(\sqrt{1+x^2}\right)$ seperti berikut:
\begin{eqnarray*}
y'&=&\cos\left(\sqrt{1+x^2}\right) \cdot \frac{d}{dx} \left(\sqrt{1+x^2}\right)\\
&=&\cos\left(\sqrt{1+x^2}\right) \cdot \frac{1}{2\sqrt{1+x^2}} \cdot \frac{d}{dx} \left(1+x^2\right)\\
&=&\cos\left(\sqrt{1+x^2}\right) \cdot \frac{1}{2\sqrt{1+x^2}} \cdot 2x\\
&=&\cos\left(\sqrt{1+x^2}\right) \cdot \frac{x}{\sqrt{1+x^2}}
\end{eqnarray*}

Kita tentunya sudah cukup faham dengan prosedur menyelesaikan turunan fungsi $y=\sin\left(\sqrt{1+x^2}\right)$. Bagi anda yang belum faham tentang prosedur pengerjaan diatas silahkan membuka kembali buku kalkulus. Pertanyaan sekarang adalah apa dasar kita melakukan langkah-langkah ini ? Bagaimana pembenarannya ?

Pada bagian ini kita membahas turunan fungsi komposisi $g\circ f$

Aturan Rantai Misalkan $I$ dan $J$ interval pada $\mathbb{R}$, dan misalkan $g:I \rightarrow \mathbb{R}, f:J \rightarrow \mathbb{R}$ adalah fungsi-fungsi dimana $f(J) \subseteq I$, dan misalkan $c \in J$. Bila $f$ terdiferensial di $c$ dan $g$ terdiferensial di $f(c)$ maka fungsi komposisi $g \circ f$ terdiferensial di $c$ dimana\begin{eqnarray*}(g\circ f)'(c)=g'(f(c)) \cdot f'(c)\end{eqnarray*}


Bukti. Fakta yang diketahui pada teorema ini adalah $c \in J, f(J) \subseteq I,f$ terdiferensial di $c$ dan $g$ terdiferensial di $f(c)$. Tulis $d:=f(c)$ dan defenisikan $G:I \rightarrow \mathbb{R}$ sebagai berikut:$$G(y):=\begin{cases}\frac{g(y)-g(d)}{y-d} & \mbox{jika} \,\,y \in I, y \neq d,\\g'(d) & \mbox{jika} \,\, y = d\end{cases}$$

Karena $g$ terdiferensial di $d$, yaitu $g'(d)$ ada dan berlaku $\lim_{y \to d} G(y)=g'(d)=G(d)$ maka diperoleh bahwa $G$ kontinu di $d$. Karena $f$ kontinu di $c$ dan $f(J) \subseteq I$ maka disimpulkan $G \circ f$ juga kontinu di $c$, sehingga berlaku
\begin{eqnarray*}
\lim_{x \to c}(G\circ f)(x)=(G \circ f)(c)=G(f(c))=G(d)=\lim_{y \to d} G(y)=g'(d)=g'(f(c))
\end{eqnarray*}
ditulis $\lim_{x \to c}(G \circ f)(x) = g'(f(c))$. Menurut defenisi fungsi $G$ maka diperoleh
$$g(y)-g(d)=G(y)(y-d)$$
untuk setiap $y \in I$. Jadi, untuk $x \in J$ dan misalkan $y=f(x)$ maka berlaku
\begin{eqnarray*}
g \circ f(x)-g \circ f(c)&=&g(f(x))-g(f(c))\\
&=&g(y)-g(d)\\
&=&G(y)(y-d)\\
&=&G(f(x))(y-d)\\
&=&G\circ f(x)(f(x)-f(c))
\end{eqnarray*}

Untuk $x \neq c$, kita bagi kedua ruas persamaan yang baru diperoleh dengan $x-c$, diperoleh $$\frac{g \circ f(x)-g \circ f(c)}{x-c}=G\circ f(x)\frac{f(x)-f(c)}{x-c}$$

Diambil limit mendekati $c$ pada kedua ruas maka diperoleh,
\begin{eqnarray*}
\lim_{x\to c} \frac{g\circ f(x)-g \circ f(c)}{x-c}&=&\lim_{x\to c} G \circ f(x) \frac{f(x)-f(c)}{x-c}\\
&=&\lim_{x\to c} G \circ f(x) \cdot \lim_{x\to c} \frac{f(x)-f(c)}{x-c}\\
(f\circ g)'(c)&=&g'(f(c)) \cdot f'(c)\end{eqnarray*}Pada ilustrasi awal  bahasan ini, fungsi $h(x)=\sin\left(\sqrt{1+x^2}\right)$ dapat dipandang sebagai komposisi fungsi $h=g \circ f$ dimana $g(x)=\sin(x)$ dan $f(x)=\sqrt{1+x^2}$. Kemudian fungsi $f(x)=\sqrt{1+x^2}$ suatu komposisi fungsi $f=g_1 \circ f_1$ dimana $g_1(x)=\sqrt{x}$ dan $f_1(x)=1+x^2$.
Untuk fungsi komposisi yang terdiri dari tiga fungsi seperti ini, aturan rantai dapat diperumum sebagai
$$(g\circ g_1 \circ f_1)'(c)=g'(g_1 \circ f_1(c)) \cdot g_1'(f_1(c)) \cdot f'(c)$$
Contoh berikut adalah cara lain membuktikan turunan fungsi $f:=\underset{n\, faktor}{\underbrace{f\, f\cdots f}}$
Misalkan $f:I \rightarrow \mathbb{R}$ terdiferensial pada $I$ dan $g(y) = y^n$. Karena $g'(y)=ny^{n-1}$ dan $f^n=g\circ f$, maka berdasarkan aturan rantai diperoleh $$(g \circ f)'(x)=g'(f(x)) \cdot f'(x)$$ yaitu $(f^n)'(x)=n(f(x))^{n-1}f'(x)$ untuk setiap $x \in I$.

Contoh berikut ini menentukan derivatif fungsi dengan menggunakan aturan rantai dan defenisi derivatif
Misalkan fungsi $f$ didefenisikan sebagai berikut $$f(x):=\begin{cases} x^2\sin(1/x) & Jika \,\, x \neq 0\\ 0 & Jika \,\, x=0 \end{cases}$$ Tentukan $f'(x)$ !

Penyelesaian

Untuk $x \neq 0$ kita dapat menggunakan aturan rantai bersamaan dengan formula turunan hasil kali, yaitu diperoleh
$$f'(x)=2x \sin (1/x)-\cos(1/x), \,\, untuk\, x \neq 0$$
Untuk $x = 0$ tidak ada aturan yang dapat digunakan. Oleh karena itu dikembalikan ke defenisi originalnya, yaitu
$$f'(x)=\lim_{x \to 0} \frac{f(x)-f(0)}{x-0}=\lim_{x \to 0} \frac{x^2\sin(1/x)}{x}=\lim_{x \to 0} x\sin(1/x)=0$$
Langkah terakhir menggunakan hasil yang pernah dipelajari pada pokok bahasan limit, ingatkah?...lihat lagi. Jadi fungsi $f$ terdiferensial pada $\mathbb{R}$ dengan derivatif
$$f'(x):=\begin{cases}
2x\sin(1/x)-\cos(1/x) & Jika \,\, x \neq 0\\
0 & Jika \,\, x=0
\end{cases}$$
Ingat nilai $0$ pada derivatif $f'$ (cabang bawah) tidak diperoleh dari $f(0) = 0$.

Diperhatikan bahwa fungsi $f$ kontinu di $x = 0$ tetapi fungsi $f'$ tidak mempunyai limit di $x = 0$ (mengapa ?), $f'$ tidak kontinu di $0$.

Materi Pengantar Suku Banyak

7:51:00 AM 0
Sudah lama rasanya tidak memposting materi matematika di blog ini. Kali ini saya akan coba memposting materi matematika tentang suku banyak. materi diawali dengan pengantar materi suku banyak. Semoga materi ini bisa dijadikan bahan referensi bagi sobat-sobat blogger pecinta matematika khususnya tingkat SMA dan SMK.


suku banyak


Standar Kompetensi


Menggunakan aturan suku banyak dalam penyelesaian masalah

Kompetensi Dasar


# Menggunakan algoritma pembagian suku banyak untuk menentukan hasil bagi dan sisa pembagian

# Menggunakan teorema sisa dan teorema faktor dalam pemecahan masalah

Prangky bermaksud membuat sebuah kotak dari kayu yang volumenya $270$ dm$^{3}$. Dengan ketentuan bahwa lebar kotak 3 dm lebih pendek dari panjangnya dan tingginya 1 dm lebih pendek dari lebarnya. Berapa ukuran balok yang di buat oleh Prangky ?


Untuk menyelesaikan permasalahan diatas, telebih dahulu kita harus melakukan analisis tentang masalah yang diberikan diatas. Kita mencoba dengan alur pemikiran sebaga berikut. Misalkan lebar kotak tersebut adalah $x$ dm, maka panjang kotak tersebut adalah $\left(x+3\right)$dm dan tinggi kotak tersebut adalah $\left(x-1\right)$ dm. Karena Prangky membatasi volume kotak tersebut adalah $270$ dm$^{3}$ maka dapat kita sajikan dalam bahasa matematika menjadi


$$\left(x+3\right)x\left(x-3\right)=270\hspace{2cm}\,\text{atau}\hspace{2cm}\, x^{3}+2x^{2}-3x-270=0$$


Dengan demikian, untuk menentukan ukuran kotak itu, Prangky harus mencari nilai $x$ tersebut. Terdapat dua teknik dasar dalam mencari nilai $x$ yaitu dengan melakukan substitusi terhadap nilai $x$ dan melakukan pemfaktoran terhadap persamaan tersebut. Namun, dengan besarnya pangkat yang diberikan, maka kita akan sedikit kesulitan dalam menentukan nilai $x$ tersebut.


Untuk menyelesaikan masalah diatas, kembali kita mengingat materi tentang operasi hitung bilangan real, sistem persamaan linear, persamaan kuadrat, pangkat, koefisien dan algoritma pembagian bilangan bulat.


Pada kelas X, tentunya kita telah mempelajari tentang materi persamaan kuadrat dan persamaan linear. Dalam persamaan kuadrat bentuk $ax^2+bx+c=0$ jika kita mencari nilai $x$ dapat menggunakan empat cara yaitu dengan cara Pemfaktoran, Melengkapkan kuadrat sempurna, Rumus Kuadrat (abc) dan Grafik. Akan tetapi dari ke empat cara diatas, yang sering digunakan adalah dengan rumus kuadrat. Bagaimanapun bentuk persamaan kuadrat tersebut dapat diselesaikan dengan rumus kuadrat.


Pertanyaannya sekarang adalah apakah rumus kuadrat tersebut dapat digunakan untuk persamaan dengan pangkat lebih dari dua ? Jawabannya adalah tidak bisa digunakan. Karena rumus kuadrat hanya dapat digunakan pada persamaan kuadrat (berpangkat dua). Untuk persamaan berpangkat tiga kita harus mencari dengan cara lain. Nah materi suku banyak berikut tentunya akan memberikan gambaran kepada anda tentang bagaimana menghitung nilai $x$ pada persamaan berpangkat banyak.


Dengan mempelajari materi suku banyak berikut, maka anda akan memecahkan masalah diatas dengan mudah. materi suku banyak ini sangat banyak dijumpai dalam olimpiade matematika. Oleh karena itu, bersemangatlah dalam belajar karena dengan penguasaan konsep yang kokoh maka akan menuntun anda untuk meraih kesuksesan.


Tes Kemampuan Awal


Sebelum anda melangkah lebih jauh, adakalanya anda harus menguji tingkat kemampuan awal anda sebelum mempelajari materi suku banyak ini. Mengingat materi ini sangat berkaitan dengan materi aljabar di SMP. Jadi asahlah kemampuan anda mulai dari sekarang. Jika kemampuan awal anda mantap, maka anda tidak akan mengalami kesulitan dalam mempelajari materi ini.


1.  Tentukan penyelesaian persamaan kuadrat berikut dengan cara pemfaktoran dan menggunakan rumus abc.

a.  $x^{2}-6x+8=0$

b.  $2x^{2}-4=3x$

2. Diketahui fungsi kuadrat $f\left(x\right)=4x-4x^{2}$. Tentukan nilai $f\left(-2\right), f\left(-1\right), f\left(a\right)$, dan $f\left(\frac{1}{x}\right)$

3. Hitunglah $\left(x-3\right)\left(x+1\right)\left(x+2\right)$

4. Hitunglah $\left(2x+3\right)\left(3x^{3}-x^{2}+5x-1\right)$

5. Selesaikan soal berikut dengan menggunakan cara pembagian bersusun. Jelaskan pula langkah-langkah yang Anda lakukan pada pembagian ini !

a. ${\displaystyle \frac{272}{18}}$

b. ${\displaystyle \frac{479}{26}}$

Algoritma Pembagian Suku Banyak


Pengertian dan Nilai Suku Banyak


Pengertian Suku Banyak

Suku banyak atau polinom adalah suatu bentuk yang memuat variabel berpangkat. Suku banyak dalam $x$ berderajat n dinyatakan dengan:

$${\displaystyle a_{n}x^{n}+a_{n-1}x^{n-1}+a_{n-2}x^{n-2}+\cdots+a_{2}x^{2}+a_{1}x+a_{0}}$$

Dengan

$a_{n},a_{n-1},a_{n-2},\cdots,a_{2},a_{1},a_{0}$ adalah bilangan-bilangan real dengan $a\neq0$. $a_{n}$ adalah koefisien dari $x^{n}$, $a_{n-1}$ adalah koefisien dari $x^{n-1}$, $a_{n-2}$ adalah koefisien dari $x^{n-2}$, ....., demikian seterusnya. $a_{0}$ disebut suku tetap (konstanta).

$n$ adalah bilangan cacah yang menyetakan derajat suku banyak

Derajat suku banyak dalam variabel $x$ ditentukan oleh pangkat yang paling tinggi bagi variabel $x$ yang ada dalam suku banyak itu. Suku banyak yang memiliki satu variabel disebut univariabel, dan suku banyak yang memiliki variabel lebih dari satu disebut multivariabel. Sebagai contoh suku banyak $x^{3}+x^{2}y^{5}-4x+3y^{2}-10$ merupakan suku banyak dengan dua variabel (variabel $x$ dan variabel $y$). Suku banyak ini berderajat 3 dalam variabel $x$ atau berderajat 5 dalam variabel $y$.


Untuk lebih jelasnya perhatikan contoh berikut.

CONTOH

Sebutkan nama variabel, derajat, dan koefisien-koefisien dari setiap suku banyak berikut ini.

1. $2x^{3}+5x^{2}-10x+7$

2. $x^{3}-4x+2$

3. $q^{12}+4q^{8}-q^{6}+q^{4}-5q^{2}+q+10$

4. $10-q+2q^{3}+4q^{5}-7q^{7}+10q^{9}+7q^{11}+q^{20}$

JAWAB

1. Suku banyak $2x^{3}+5x^{2}-10x+7$ adalah suku banyak dalam variabel $x$ berderajat $3$. Koefisien $x^{3}$ adalah 3, koefisien $x^{2}$ adalah 5, koefisien $x$ adalah $-10$ dan konstanta (suku tetap) adalah 7.

2. Suku banyak $x^{3}-4x+2$ adalah suku banyak dalam variabel $x$ berderajat $3$. Koefisien $x^{3}$ adalah 1, koefisien $x$ adalah $-4$ dan konstanta (suku tetap) adalah $2$


3. Suku banyak $q^{12}+4q^{8}-q^{6}+q^{4}-5q^{2}+q+10$ adalah suku banyak dalam variabel $q$ berderajat $12$.

Koefisien $q^{12}$ adalah $1$,

Koefisien $q^{8}$ adalah $4$,

Koefisien $q^{6}$ adalah $-1$,

Koefisien $q^{4}$ adalah $1$,

Koefisien $q^{2}$ adalah $-5$,

Koefisien $q$ adalah $1$,

Konstanta (suku tetap) adalah $10$

4. Silahkan dikerjakan sebagai bahan latihan $\square$

Untuk lebih memantapkan pemahaman anda mengenai materi diatas, silahkan kerjakan soal-soal latihan dibawah ini.


Sebutkan nama variabel, derajat, dan koefisien-koefisien dari setiap suku banyak berikut ini.

$q^{10}-q^{6}+6q^{3}-2q+1$

$y^{8}+y^{3}-6y^{2}+10y-1$

$x^{7}-3x^{5}+\sqrt{2}x^{2}+\frac{1}{2}x-1$

$z^{4}-2z^{3}+4z^{2}-3z+31$

$-t^{4}+\frac{1}{2}t^{3}-\sqrt{3}t^{2}-1$

$r^{3}-1$

Tentukan banyaknya variabel untuk setiap suku banyak berikut ini kemudian tentukan pula derajatnya (disesuaikan dengan variabelnya)

$p^{4}+q^{4}+r^{4}+3pq-5pr+6qr+4$

$x^{5}y+xy^{3}+4x-5y+12$

Jabarkan setiap hasil perkalian suku banyak berikut ini (nyatakan hasilnya sesuai dengan aturan pangkat turun). Kemudian tentukan derajat dan koefisien-koefisiennya.

$\left(x+2\right)\left(x+4\right)$

$\left(z-7\right)\left(z^{2}+2\right)$

$\left(y+3\right)\left(y-9\right)^{2}$

$\left(x^{2}-2\right)\left(x^{2}+3x+7\right)$

Carilah koefisien dalam setiap pernyataan berikut

$x^{2}$ pada suku banyak  $\left(x-1\right)^{2}\left(x+2\right)\left(x+1\right)$

$y^{3}$ pada suku banyak $\left(2y+y^{2}\right)\left(4y^{2}-2y+1\right)$

$z$ pada suku banyak $z\left(z-1\right)\left(z-2\right)\left(z+3\right)$

$t^{4}$ pada suku banyak $\left(t^{2}+2t-1\right)^{3}$

Sudah dulu yah. Sudah capek nulisnya. Semoga bisa bermanfaat untuk kita semua.