Logika Matematika : Pernyataan Majemuk

Postingan kali ini saya akan membahas materi Logika Matematika yang menurut para siswa adalah materi hapalan. Padahal sebenarnya, materi logika ini sangat mendasar dan paling penting dalam matematika. Logika merupakan dasar berpijak para matematikawan untuk berpikir dan membuktikan pernyataan matematika. Mulai dari yang sedang sampai level tinggi.

Pernyataan


Sebelum kita ke pernyataan majemuk mari kita cari tahu dulu definisi dari pernyataan/proposisi
Pernyataan  adalah kalimat deklaratif yang bernilai benar atau salah, tetapi tidak dapat bernilai benar dan salah sekaligus.

Contoh berikut ini dapat mengilustrasikan kalimat mana yang merupakan Pernyataan dan mana yang bukan.


  1. Palu adalah ibukota provinsi Sulawesi Tengah

  2. Jumlah tanggal pada bulan januari ada $30$

  3. $1+5=6$

  4. Jam berapakah sekarang

  5. Serahkan uangmu sekarang!

  6. $x+2=7$

  7. $x+y=10$

Perhatikan bahwa untuk kalimat (1) dan (3) adalah pernyataan yang bernilai bernilai benar, sedangkan untuk kalimat (2) adalah pernyataan  yang bernilai salah. Untuk kalimat (4) bukanlah pernyataan melainkan pertanyaan, begitu juga untuk kalimat (5) bukan pernyataan tetapi kalimat perintah. Kalimat (6) adalah pernyataan tetapi kebenarannya tidak pasti. Bila $x$ diganti $4$ maka ia menjadi benar, tetapi bila $x$ selain $4$ maka ia menjadi salah. Jadi kalimat ini bukan pernyataan. Kalimat (7) bukan pernyataan karena nilai kebenarannya tidak pasti.


Nilai kebenaran suatu proposisi adalah kebenaran atau kesalahan proposisi tersebut, dinyatakan dengan benar (B) dan salah (S), atau menggunakan simbol $1$ untuk benar dan $0$ untuk salah.


Biasanya digunakan huruf $p,q,r,s,\cdots$ sebagai variabel yang menyatakan pernyataan. Misalkan $p$ suatu pernyataan kita nyatakan nilai kebenaran $p$ dengan lambang $\tau\left(p\right)$. Bidang logika yang berkenaan dengan para pernyataan disebut kalkulus proposisi atau logika proposisi.

Negasi


Berikut ini adalah definisi dari Negasi/Ingkaran

Misalkan $p$ suatu pernyataan. Negasi $p$ dinyatakan $\neg p$ (kadang- kadang dengan notasi $\sim p$) adalah pernyataan yang berbentuk bukan $p$, atau ini bukanlah bersifat $p$. Nilai pernyataan $p$ dan $\neg p$ selalu bertolak belakang.

Tabel kebenaran pernyataan dan negasinya diberikan sebagai berikut:
HTML5

Pernyataan Majemuk


Kita dapat membentuk pernyataan baru dengan cara mengkombinasikan satu atau lebih pernyataan. Operator yang digunakan untuk mengkombinasikan pernyataan disebut operator logika.


Pernyataan majemuk adalah kalimat yang terdiri dari gabungan beberapa pernyataan. Penggabungan dua pernyataan menggunakan konektivitas. Ada 4 konektivitas, yaitu konjungsi $\left(\wedge\right)$, disjungsi $\left(\vee\right)$ , implikasi $\left(\Rightarrow\right)$, biimplikasi $\left(Left\rightarrow\right)$

Konjungsi


Misalkan $p$ dan $q$ dua pernyataan. Konjungsi dari $p$ dan $q$, ditulis $p\wedge q$ adalah pernyataan $p$ dan $q$, dimana ia bernilai benar jika kedua $p$ dan $q$ benar, dan salah untuk kasus lainnya. Konjungsi dapat pula didenisikan pada pernyataan yang bukan pernyataan. Bila minimal salah satu dari $p$ atau $q$ bukan pernyataan maka konjungsi $p\wedge q$ juga bukan pernyataan.

Karena ada 2 pernyataan dan ada 2 kemungkinan nilai kebenaran maka akan terdapat $2\times2=4$ kemungkinan nilai kebenaran konjungsi, seperti diberikan pada tabel kebenaran berikut.


Tabel Kebenaran Konjungsi


Sekian dulu postingan dari saya. Untuk materi selanjutnya tentang disjungsi, implikasi dan biimplikasi akan saya berikan pada postingan selanjutnya. Terus pantau blog ini yah...