Latihan Soal-Soal Matematika Tentang Logaritma

Halo sobat blogger semua. Kali ini saya akan memposting tentang latihan soal-soal tentang logaritma. Seperti yang sudah kita ketahui bahwa logaritma adalah invers dari perpangkatan dan memiliki sifat-sifat unik yang bisa dibuktikan dengan teorema-teorema dalam matematika. Kali ini saya akan mencoba membahas soal-soal tentang logaritma dari tingkatan yang mudah sampai tingkatan advance. Oke

Definisi Logaritma

Misalkan $a$ adalah bilangan positif $\left(a>0\right)$ dan $g$ adalah bilangan positif yang tidak sama dengan $1$  $\left(0<g<1\,\,\text{atau}\,\, g>1\right)$
\[^{g}\log a=x\,\,\,\text{jika dan hanya jika }\,\,\, g^{x}=a\]catatan :

$g$ disebut bilangan pokok atau basis logarima

$a$ disebut numerus, yaitu bilangan yang dicari logarimanya dengan ketentuan $a>0$

$x$ disebut hasil logarima, nilainya dapat positif, negatif atau nol

Sifat-sifat Logaritma

beberapa sifat logaritma antara lain:

$^{a}\log1=0$

$^{a}\log a=1$

$^{a}\log a^{p}=p$

$^{a}\log\left(p\times q\right)=^{a}\log p+^{a}\log q$

$^{a}\log\left(\dfrac{p}{q}\right)=^{a}\log p-^{a}\log q$

$^{a}\log p^{m}=m\times^{a}\log p$

$^{a^{n}}\log p^{m}=\dfrac{m}{n}\times^{a}\log p$

$^{a}\log p\times^{p}\log q=^{a}\log q$

$^{a}\log p=\dfrac{^{m}\log p}{^{m}\log a}$

jika terdapat logaritma dengan bilangan pokok 10, maka bilangan pokok tidak perlu dituliskan .

Contoh 

$\log a$ sama artinya dengan $^{10}\log a$

Soal-Soal Latihan dan Pembahasan

Nilai dari $^{3}\log4+^{3}\log54-^{3}\log8$ adalah...

Perhatikan bahwa
\begin{eqnarray*}^{3}\log4+^{3}\log54-^{3}\log8 & = & ^{3}\log\left(\frac{4\times54}{8}\right)\\
& = & ^{3}\log\left(\frac{216}{8}\right)\\& = & ^{3}\log\left(27\right)\\& = & ^{3}\log3^{3}\\& = & 3\times^{3}\log3\\& = & 3\times1\\& = & 3\end{eqnarray*}Nilai dari $^{3}\log4+^{3}\log54-^{3}\log8$ adalah $3$

Jika $^{7}\log5=a$ dan $^{5}\log4=b$, maka $^{4}\log35=.....$

 $^{7}\log5=a$ maka $\dfrac{\log5}{\log7}=a$ atau $\log7=\dfrac{1}{a}\log5$
 $^{5}\log4=b$ maka $\dfrac{\log4}{\log5}=b$ atau $\log4=b\log5$

 \begin{eqnarray*}^{4}\log35 & = & \frac{\log35}{\log4}\\& = & \frac{\log\left(5\times7\right)}{\log4}\\& = & \frac{\log5+\log7}{\log4}\\& = & \frac{\log5+\dfrac{1}{a}\log5}{b\log5}\\& = & \frac{\log5\left(1+\dfrac{1}{a}\right)}{b\log5}\\& = & \frac{\left(1+\dfrac{1}{a}\right)}{b}\\& = & \frac{\dfrac{a+1}{a}}{b}\\& = & \frac{a+1}{ab}\end{eqnarray*}$^{4}\log35=\dfrac{a+1}{ab}$

Tentukan nilai $x$ yang memenuhi persamaan berikut !

$\log\left(x^{2}-3x+7\right)=\log\left(3x+2\right)$
$^{6}\log\left(x-3\right)+^{6}\log\left(x+7\right)=^{6}\log\left(3x-1\right)$

a. $\log\left(x^{2}-3x+7\right)=\log\left(3x+2\right)$\begin{eqnarray*}\log\left(x^{2}-3x+7\right) & = & \log\left(3x+2\right)\\\left(x^{2}-3x+7\right) & = & \left(3x+2\right)\\x^{2}-3x-3x+7-2 & = & 0\\
x^{2}-6x+5 & = & 0\\\left(x-5\right)\left(x-1\right) & = & 0\\\left(x-5\right)=0 & \text{atau} & \left(x-1\right)=0\\x=5 & \text{atau} & x=1\end{eqnarray*}
b. $^{6}\log\left(x-3\right)+^{6}\log\left(x+7\right)=^{6}\log\left(3x-1\right)$
\begin{eqnarray*}^{6}\log\left(x-3\right)+^{6}\log\left(x+7\right) & = & ^{6}\log\left(3x-1\right)\\
^{2}\log\left(x-3\right)\left(x+7\right) & = & ^{6}\log\left(3x-1\right)\\\left(x-3\right)\left(x+7\right) & = & \left(3x-1\right)\\x^{2}+7x-3x-21 & = & 3x-1\\x^{2}+4x-21 & = & 3x-1\\x^{2}+4x-3x-21+1 & = & 0\\x^{2}+x-20 & = & 0\\\left(x+5\right)\left(x-4\right) & = & 0\\\left(x+5\right)=0 & \text{atau} & \left(x-4\right)=0\\x=-5 & \text{atau} & x=4\end{eqnarray*}

Misalkan $\log^{2}a$ adalah notasi untuk $\left(\log a\right)^{2}$. Tentukan nilai $a$ yang memenuhi $\log^{2}a+\log a-20=0$

Misalkan $\log a=P$ maka persamaan menjadi
\begin{eqnarray*}P^{2}+P-20 & = & 0\\\left(P+5\right)\left(P-4\right) & = & 0\\\left(P+5\right)=0 & \text{atau} & \left(P-4\right)=0\\P=-5 & \text{atau} & P=4\end{eqnarray*}
Karena $P=\log a$ maka
\begin{eqnarray*}\log a=-5 & \text{atau} & \log a=4\\a=10^{-5} & \text{atau} & a=10^{4}\\
a=\frac{1}{100.000} & \text{atau} & a=10.000\end{eqnarray*}
Jadi, nilai $a$ adalah $a=\frac{1}{100.000}$ atau $a=10.000$

Sudah dulu yah. nanti kita sambung lagi. Oke