Halo sobat blogger semua. Kali ini saya akan memposting tentang latihan soal-soal tentang logaritma. Seperti yang sudah kita ketahui bahwa logaritma adalah invers dari perpangkatan dan memiliki sifat-sifat unik yang bisa dibuktikan dengan teorema-teorema dalam matematika. Kali ini saya akan mencoba membahas soal-soal tentang logaritma dari tingkatan yang mudah sampai tingkatan advance. Oke
beberapa sifat logaritma antara lain:
$^{a}\log1=0$
$^{a}\log a=1$
$^{a}\log a^{p}=p$
$^{a}\log\left(p\times q\right)=^{a}\log p+^{a}\log q$
$^{a}\log\left(\dfrac{p}{q}\right)=^{a}\log p-^{a}\log q$
$^{a}\log p^{m}=m\times^{a}\log p$
$^{a^{n}}\log p^{m}=\dfrac{m}{n}\times^{a}\log p$
$^{a}\log p\times^{p}\log q=^{a}\log q$
$^{a}\log p=\dfrac{^{m}\log p}{^{m}\log a}$
jika terdapat logaritma dengan bilangan pokok 10, maka bilangan pokok tidak perlu dituliskan .
Contoh
$\log a$ sama artinya dengan $^{10}\log a$
Nilai dari $^{3}\log4+^{3}\log54-^{3}\log8$ adalah...
Perhatikan bahwa
\begin{eqnarray*}
^{3}\log4+^{3}\log54-^{3}\log8 & = & ^{3}\log\left(\frac{4\times54}{8}\right)\\
& = & ^{3}\log\left(\frac{216}{8}\right)\\
& = & ^{3}\log\left(27\right)\\
& = & ^{3}\log3^{3}\\
& = & 3\times^{3}\log3\\
& = & 3\times1\\
& = & 3
\end{eqnarray*}Nilai dari $^{3}\log4+^{3}\log54-^{3}\log8$ adalah $3$
Jika $^{7}\log5=a$ dan $^{5}\log4=b$, maka $^{4}\log35=.....$
$^{5}\log4=b$ maka $\dfrac{\log4}{\log5}=b$ atau $\log4=b\log5$
\begin{eqnarray*}
^{4}\log35 & = & \frac{\log35}{\log4}\\
& = & \frac{\log\left(5\times7\right)}{\log4}\\
& = & \frac{\log5+\log7}{\log4}\\
& = & \frac{\log5+\dfrac{1}{a}\log5}{b\log5}\\
& = & \frac{\log5\left(1+\dfrac{1}{a}\right)}{b\log5}\\
& = & \frac{\left(1+\dfrac{1}{a}\right)}{b}\\
& = & \frac{\dfrac{a+1}{a}}{b}\\
& = & \frac{a+1}{ab}
\end{eqnarray*}
$^{4}\log35=\dfrac{a+1}{ab}$
Tentukan nilai $x$ yang memenuhi persamaan berikut !
$^{6}\log\left(x-3\right)+^{6}\log\left(x+7\right)=^{6}\log\left(3x-1\right)$
a. $\log\left(x^{2}-3x+7\right)=\log\left(3x+2\right)$
\begin{eqnarray*}
\log\left(x^{2}-3x+7\right) & = & \log\left(3x+2\right)\\
\left(x^{2}-3x+7\right) & = & \left(3x+2\right)\\
x^{2}-3x-3x+7-2 & = & 0\\
x^{2}-6x+5 & = & 0\\
\left(x-5\right)\left(x-1\right) & = & 0\\
\left(x-5\right)=0 & \text{atau} & \left(x-1\right)=0\\
x=5 & \text{atau} & x=1
\end{eqnarray*}
b. $^{6}\log\left(x-3\right)+^{6}\log\left(x+7\right)=^{6}\log\left(3x-1\right)$
\begin{eqnarray*}
^{6}\log\left(x-3\right)+^{6}\log\left(x+7\right) & = & ^{6}\log\left(3x-1\right)\\
^{2}\log\left(x-3\right)\left(x+7\right) & = & ^{6}\log\left(3x-1\right)\\
\left(x-3\right)\left(x+7\right) & = & \left(3x-1\right)\\
x^{2}+7x-3x-21 & = & 3x-1\\
x^{2}+4x-21 & = & 3x-1\\
x^{2}+4x-3x-21+1 & = & 0\\
x^{2}+x-20 & = & 0\\
\left(x+5\right)\left(x-4\right) & = & 0\\
\left(x+5\right)=0 & \text{atau} & \left(x-4\right)=0\\
x=-5 & \text{atau} & x=4
\end{eqnarray*}
Misalkan $\log^{2}a$ adalah notasi untuk $\left(\log a\right)^{2}$. Tentukan nilai $a$ yang memenuhi $\log^{2}a+\log a-20=0$
Misalkan $\log a=P$ maka persamaan menjadi
\begin{eqnarray*}
P^{2}+P-20 & = & 0\\
\left(P+5\right)\left(P-4\right) & = & 0\\
\left(P+5\right)=0 & \text{atau} & \left(P-4\right)=0\\
P=-5 & \text{atau} & P=4
\end{eqnarray*}
Karena $P=\log a$ maka
\begin{eqnarray*}
\log a=-5 & \text{atau} & \log a=4\\
a=10^{-5} & \text{atau} & a=10^{4}\\
a=\frac{1}{100.000} & \text{atau} & a=10.000
\end{eqnarray*}
Jadi, nilai $a$ adalah $a=\frac{1}{100.000}$ atau $a=10.000$
Sudah dulu yah. nanti kita sambung lagi. Oke
Definisi Logaritma
Misalkan $a$ adalah bilangan positif $\left(a>0\right)$ dan $g$ adalah bilangan positif yang tidak sama dengan $1$ $\left(0<g<1\,\,\text{atau}\,\, g>1\right)$
\[
^{g}\log a=x\,\,\,\text{jika dan hanya jika }\,\,\, g^{x}=a
\]catatan :
$a$ disebut numerus, yaitu bilangan yang dicari logarimanya dengan ketentuan $a>0$
$x$ disebut hasil logarima, nilainya dapat positif, negatif atau nol
\[
^{g}\log a=x\,\,\,\text{jika dan hanya jika }\,\,\, g^{x}=a
\]catatan :
$a$ disebut numerus, yaitu bilangan yang dicari logarimanya dengan ketentuan $a>0$
$x$ disebut hasil logarima, nilainya dapat positif, negatif atau nol
Sifat-sifat Logaritma
beberapa sifat logaritma antara lain:
$^{a}\log1=0$
$^{a}\log a=1$
$^{a}\log a^{p}=p$
$^{a}\log\left(p\times q\right)=^{a}\log p+^{a}\log q$
$^{a}\log\left(\dfrac{p}{q}\right)=^{a}\log p-^{a}\log q$
$^{a}\log p^{m}=m\times^{a}\log p$
$^{a^{n}}\log p^{m}=\dfrac{m}{n}\times^{a}\log p$
$^{a}\log p\times^{p}\log q=^{a}\log q$
$^{a}\log p=\dfrac{^{m}\log p}{^{m}\log a}$
jika terdapat logaritma dengan bilangan pokok 10, maka bilangan pokok tidak perlu dituliskan .
Contoh
$\log a$ sama artinya dengan $^{10}\log a$
Soal-Soal Latihan dan Pembahasan
Nilai dari $^{3}\log4+^{3}\log54-^{3}\log8$ adalah...
Perhatikan bahwa
\begin{eqnarray*}
^{3}\log4+^{3}\log54-^{3}\log8 & = & ^{3}\log\left(\frac{4\times54}{8}\right)\\
& = & ^{3}\log\left(\frac{216}{8}\right)\\
& = & ^{3}\log\left(27\right)\\
& = & ^{3}\log3^{3}\\
& = & 3\times^{3}\log3\\
& = & 3\times1\\
& = & 3
\end{eqnarray*}Nilai dari $^{3}\log4+^{3}\log54-^{3}\log8$ adalah $3$
Jika $^{7}\log5=a$ dan $^{5}\log4=b$, maka $^{4}\log35=.....$
$^{5}\log4=b$ maka $\dfrac{\log4}{\log5}=b$ atau $\log4=b\log5$
\begin{eqnarray*}
^{4}\log35 & = & \frac{\log35}{\log4}\\
& = & \frac{\log\left(5\times7\right)}{\log4}\\
& = & \frac{\log5+\log7}{\log4}\\
& = & \frac{\log5+\dfrac{1}{a}\log5}{b\log5}\\
& = & \frac{\log5\left(1+\dfrac{1}{a}\right)}{b\log5}\\
& = & \frac{\left(1+\dfrac{1}{a}\right)}{b}\\
& = & \frac{\dfrac{a+1}{a}}{b}\\
& = & \frac{a+1}{ab}
\end{eqnarray*}
$^{4}\log35=\dfrac{a+1}{ab}$
Tentukan nilai $x$ yang memenuhi persamaan berikut !
$^{6}\log\left(x-3\right)+^{6}\log\left(x+7\right)=^{6}\log\left(3x-1\right)$
a. $\log\left(x^{2}-3x+7\right)=\log\left(3x+2\right)$
\begin{eqnarray*}
\log\left(x^{2}-3x+7\right) & = & \log\left(3x+2\right)\\
\left(x^{2}-3x+7\right) & = & \left(3x+2\right)\\
x^{2}-3x-3x+7-2 & = & 0\\
x^{2}-6x+5 & = & 0\\
\left(x-5\right)\left(x-1\right) & = & 0\\
\left(x-5\right)=0 & \text{atau} & \left(x-1\right)=0\\
x=5 & \text{atau} & x=1
\end{eqnarray*}
b. $^{6}\log\left(x-3\right)+^{6}\log\left(x+7\right)=^{6}\log\left(3x-1\right)$
\begin{eqnarray*}
^{6}\log\left(x-3\right)+^{6}\log\left(x+7\right) & = & ^{6}\log\left(3x-1\right)\\
^{2}\log\left(x-3\right)\left(x+7\right) & = & ^{6}\log\left(3x-1\right)\\
\left(x-3\right)\left(x+7\right) & = & \left(3x-1\right)\\
x^{2}+7x-3x-21 & = & 3x-1\\
x^{2}+4x-21 & = & 3x-1\\
x^{2}+4x-3x-21+1 & = & 0\\
x^{2}+x-20 & = & 0\\
\left(x+5\right)\left(x-4\right) & = & 0\\
\left(x+5\right)=0 & \text{atau} & \left(x-4\right)=0\\
x=-5 & \text{atau} & x=4
\end{eqnarray*}
Misalkan $\log^{2}a$ adalah notasi untuk $\left(\log a\right)^{2}$. Tentukan nilai $a$ yang memenuhi $\log^{2}a+\log a-20=0$
Misalkan $\log a=P$ maka persamaan menjadi
\begin{eqnarray*}
P^{2}+P-20 & = & 0\\
\left(P+5\right)\left(P-4\right) & = & 0\\
\left(P+5\right)=0 & \text{atau} & \left(P-4\right)=0\\
P=-5 & \text{atau} & P=4
\end{eqnarray*}
Karena $P=\log a$ maka
\begin{eqnarray*}
\log a=-5 & \text{atau} & \log a=4\\
a=10^{-5} & \text{atau} & a=10^{4}\\
a=\frac{1}{100.000} & \text{atau} & a=10.000
\end{eqnarray*}
Jadi, nilai $a$ adalah $a=\frac{1}{100.000}$ atau $a=10.000$
Sudah dulu yah. nanti kita sambung lagi. Oke