Persamaan Garis Singgung Lingkaran yang Berpusat di $A\left(a,b\right)$dan Jari-Jari $r$

Postingan kemarin saya sudah mencoba memposting materi Persamaan Garis Singgung Untuk Lingkaran yang Berpusat di $O\left(0,0\right)$ dan Jari-Jari $r$. Postingan kali ini sesuai dengan judulnya saya akan mencoba memposting materi Persamaan Garis Singgung Lingkaran yang Berpusat di $A\left(a,b\right)$ dan Jari-Jari $r$. Perhatikan gambar berikut !

Persamaan Garis Singgung Lingkaran yang Berpusat di $A\left(a,b\right)$ dan Jari-Jari $r$

Persamaan garis singgung $g$ pada lingkaran $L\equiv\left(x-a\right)^{2}+\left(y-b\right)^{2}=r^{2}$ yang melalui titik singgung $P\left(x_{1},y_{1}\right)$ dapat ditentukan sebagai berikut.

#  Gradien garis $AP$ adalah $m_{AP}=\dfrac{y_{1}-b}{x_{1}-a}$

#  Gradien garis singgung $g$ tegak lurus $AP$, sehingga gradien garis singgung $g$ adalah
\[m_{g}=-\frac{1}{m_{AP}}=-\frac{x_{1}-a}{y_{1}-b}\]
Persamaan garis singgung $g$ adalah
\begin{eqnarray}
y-y_{1} & = & m_{g}\left(x-x_{1}\right)\nonumber \\
y-y_{1} & = & -\frac{x_{1}-a}{y_{1}-b}\left(x-x_{1}\right)\nonumber \\
\left(y-y_{1}\right)\left(y_{1}-b\right) & = & -\left(x_{1}-a\right)\left(x-x_{1}\right)\nonumber \\
y_{1}y-y_{1}^{2}-by+by_{1} & = & -\left(x_{1}x-ax-x_{1}^{2}+ax_{1}\right)\nonumber \\
x_{1}x-ax-x_{1}^{2}+ax_{1}+y_{1}y-y_{1}^{2}-by+by_{1} & = & 0\nonumber \\
x_{1}x-ax+ax_{1}+y_{1}y-by+by_{1} & = & x_{1}^{2}+y_{1}^{2}\label{eq:psg}
\end{eqnarray}
Karena $P\left(x_{1},y_{1}\right)$ terletak pada lingkaran $L\equiv\left(x-a\right)^{2}+\left(y-b\right)^{2}=r^{2}$, maka berlaku
\begin{eqnarray*}
\left(x_{1}-a\right)^{2}+\left(y_{1}-b\right)^{2} & = & r^{2}\\
x_{1}^{2}-2ax_{1}+a^{2}+y_{1}^{2}-2by_{1}+b^{2} & = & r^{2}\\
x_{1}^{2}+y_{1}^{2} & = & 2ax_{1}-a^{2}+2by_{1}-b^{2}+r^{2}
\end{eqnarray*}
Sekarang kita substitusikan $x_{1}^{2}+y_{1}^{2}=2ax_{1}-a^{2}+2by_{1}-b^{2}+r^{2}$ ke dalam persamaan diatas diperoleh
\begin{eqnarray*}
x_{1}x-ax+ax_{1}+y_{1}y-by+by_{1} & = & 2ax_{1}-a^{2}+2by_{1}-b^{2}+r^{2}\\
\left(x_{1}x-ax+ax_{1}-2ax_{1}+a^{2}\right)+\left(y_{1}y-by+by_{1}-2by_{1}+b^{2}\right) & = & r^{2}\\
\left(x_{1}x-ax+-ax_{1}+a^{2}\right)+\left(y_{1}y-by-by_{1}+b^{2}\right) & = & r^{2}\\
\left(x_{1}-a\right)\left(x-a\right)+\left(y_{1}-b\right)\left(y-b\right) & = & r^{2}
\end{eqnarray*}
Berdasarkan uraian panjang diatas, maka dapat disimpulkan bahwa persamaan garis singgung lingkaran $L\equiv\left(x-a\right)^{2}+\left(y-b\right)^{2}=r^{2}$ yang melalui titik singgung $P\left(x_{1},y_{1}\right)$ dapat ditentukan dengan rumus berikut. $$\left(x_{1}-a\right)\left(x-a\right)+\left(y_{1}-b\right)\left(y-b\right)=r^{2}$$

Untuk lebih memahami materi diatas simaklah contoh berikut.

CONTOH

Tentukan persamaan garis singgung lingkaran $L\equiv\left(x-3\right)^{2}+\left(y+1\right)^{2}=25$ yang melalui titik $\left(7,2\right)$

JAWAB

Titik $\left(7,2\right)$ maka $x_{1}=7$ dan $y_{1}=2$ terletak pada lingkaran $L\equiv\left(x-3\right)^{2}+\left(y+1\right)^{2}=25$. Sehingga persamaan garis singgungnya adalah
\begin{eqnarray*}
\left(7-3\right)\left(x-3\right)+\left(2+1\right)\left(y+1\right) & = & 25\\
4x-12+3y+3 & = & 25\\
4x+3y-34 & = & 0
\end{eqnarray*}
Jadi, persamaan garis singgung lingkaran $L\equiv\left(x-3\right)^{2}+\left(y+1\right)^{2}=25$ yang melalui titik $\left(7,2\right)$ adalah $4x+3y-34=0$}