Pembahasan Ujian Nasional Matematika SMP Tahun 2014-2015 Tentang Barisan dan Deret

Ujian nasional (UN) sudah di depan mata. Sudah saatnya kita mencoba menghajar soal-soal Ujian Nasional yang kemarin. Mudah-mudahan Soal Ujian Nasional Kemarin sedikit sama dengan Soal-Soal Mendatang. Berikut ini saya coba membahas soal tentang barisan dan deret aritmetika maupun deret geometri.Diketahui barisan bilangan $4,13,22,31,40,.......$ Suku ke-35 adalah .....

a. 310
b. 315
c. 319
d. 328

Jawaban : 

Barisan diatas adalah barisan aritmatika dengan suku awal $a=4$ dan beda $b=9$ sehingga
\begin{eqnarray*} U_{n} & = & a+\left(n-1\right)b\\ U_{35} & = & 4+\left(35-1\right)9\\ & = & 4+34\times9\\ & = & 4+306\\ U_{35} & = & 310 \end{eqnarray*} Seutas tali dipotong menjadi lima bagian dengan panjang masing-masing bagian membentuk barisan geometri. Jika potongan tali yang terpendek 6 m dan potongan tali yang terpanjang 96 m, panjang tali semula adalah ....

a. 224 m
b. 216 m
c. 192 m
d. 186 m

Jawaban : 

Jika tali terpendek 6 m dan tali terpanjang 96 m maka kita dapatkan $a=6$ dan $U_{5}=96$. Karena $U_{n}=ar^{n-1}$ maka
\begin{eqnarray*}U_{5}=6r^{5-1} & = & 96\\6r^{4} & = & 96\\r^{4} & = & \frac{96}{6}\\r^{4} & = & 16\\r & = & \sqrt[4]{16}\\r & = & 2\end{eqnarray*}
Panjang tali mula-mula adalah $=6+12+24+48+96=186$

Jumlah bilangan kelipatan 2 antara 100 dan 300 adalah ....
a. 14.751
b. 19.206
c. 19.800
d. 39.600

Jawaban :

Bilangan kelipatan 2 antara 100 dan 300 kita misalkan
\[S=102+104+106+\cdots+298\]
Berarti kita mencapatkan $a=102$ dan $b=2$. Mencari banyaknya suku dengan menggunakan cara berikut
\begin{eqnarray*}n-1 & = & \frac{U_{n}-U_{1}}{b}\\n-1 & = & \frac{298-102}{2}\\& = & \frac{196}{2}+1\\& = & 98+1\\n & = & 99\end{eqnarray*}
\begin{eqnarray*}S_{n} & = & \frac{n}{2}\left(a+U_{n}\right)\\& = & \frac{99}{2}\left(102+298\right)\\& = & \frac{99}{2}\left(400\right)\\S_{n} & = & 19.800\end{eqnarray*}