Pembahasan Soal SBMPTN TPA Bidang Matematika

Pada postingan sebelumnya saya berjanji memposting jawaban/pembahasan soal SBMPTN Bidang matematika.Soal TPA saja sudah agak rumit. Jadi silahkan dikoreksi jika ada kesalahan.

1. Tiga puluh data mempunyai rata-rata $p$. Jika rata-rata $20\%$ data diantaranya adalah $p+0,1$, $40\%$ lainnya adalah $p-0,1$, $10\%$ lainnya lagi adalah $p-0,5$ dan rata-rata $30\%$ data sisanya adalah $p+q$, maka $q=.....$
Jawaban

Dari keterangan soal diatas kita peroleh sebagai berikut
$$20\%\times30\left(p+0,1\right)+40\%\times30\left(p-0,1\right)+10\%\times30\left(p-0,5\right)+\\
30\%\times30\left(p+q\right)=30p$$ Sehingga
\begin{eqnarray*} 6p+0,6+12p-1,2+3p-1,5+9p+9q & = & 30p\\ 30p+9q-2,1 & = & 30p\\ 9q-2,1 & = & 0\\ 9q & = & 2,1\\ q & = & \frac{2,1}{9}\\ q & = & \frac{21}{90}\\ q & = & \frac{7}{30} \end{eqnarray*} Diperoleh nilai $q=\dfrac{7}{30}$



2. Jika $^{p}\log a=2$ dan $^{q}\log8p=2$, maka $^{2p}\log\dfrac{pq^{2}}{a}=......$
Jawaban

# $^{p}\log a=2\Leftrightarrow a=p^{2}$

# $^{q}\log8p=2\Leftrightarrow8p=q^{2}$
\begin{eqnarray*}
^{2p}\log\dfrac{pq^{2}}{a} & = & ^{2p}\log\left(\frac{pq^{2}}{p^{2}}\right)\\
& = & ^{2p}\log\left(\frac{q^{2}}{p}\right)\\
& = & ^{2p}\log\left(\frac{8p}{p}\right)\\
& = & ^{2p}\log8\\
& = & ^{2p}\log2^{3}\\
& = & 3\times^{2p}\log2\\
& = & \frac{3}{^{2}\log2p}
\end{eqnarray*}



3. Persamaan kuadrat $2x^{2}-px+1=0$ dengan $p>0$, mempunyai akar-akar $\alpha$ dan $\beta$. Jika $x^{2}-5x+q=0$ mempunyai akar-akar $\dfrac{1}{\alpha^{2}}$ dan $\dfrac{1}{\beta^{2}}$, maka $q-p=......$
Jawaban
 

$2x^{2}-px+1=0$ kita dapatkan $\alpha+\beta=\dfrac{p}{2}$ dan $\alpha\cdot\beta=\dfrac{1}{2}$
Dari $x^{2}-5x+q=0$ diperoleh ${\displaystyle \frac{1}{\alpha^{2}}+\frac{1}{\beta^{2}}=5}$ dan
${\displaystyle \frac{1}{\alpha^{2}}\cdot\frac{1}{\beta^{2}}=q}$
\begin{eqnarray*}
\frac{1}{\alpha^{2}}+\frac{1}{\beta^{2}} & = & \frac{\alpha^{2}+\beta^{2}}{\alpha^{2}\beta^{2}}\\
5 & = & \frac{\left(\alpha+\beta\right)^{2}-2\alpha\beta}{\left(\alpha\beta\right)^{2}}\\
5 & = & \frac{\left(\dfrac{p}{2}\right)^{2}-2\left(\dfrac{1}{2}\right)}{\left(\dfrac{1}{2}\right)^{2}}\\
5 & = & \frac{\left(\dfrac{p^{2}}{4}\right)-1}{\dfrac{1}{4}}\\
5 & = & \frac{\dfrac{p^{2}-4}{4}}{\dfrac{1}{4}}\\
5 & = & p^{2}-4\\
p^{2}-9 & = & 0\\
\left(p-3\right)\left(p+3\right) & = & 0\\
\left(p-3\right)=0 & \text{atau} & \left(p+3\right)=0\\
p=3 & \text{atau} & p=-3
\end{eqnarray*}
Karena $p>0$ maka kita ambil $p=3$
\begin{eqnarray*}
{\displaystyle \frac{1}{\alpha^{2}}\cdot\frac{1}{\beta^{2}}} & = & q\\
\frac{1}{\left(\alpha\beta\right)^{2}} & = & q\\
\frac{1}{\left(\dfrac{1}{2}\right)^{2}} & = & q\\
\frac{1}{\dfrac{1}{4}} & = & q\\
q & = & 4
\end{eqnarray*}
Sehingga
\begin{eqnarray*}
q-p & = & 4-3\\
& = & 1
\end{eqnarray*}



4. Seorang penjahit akan membuat 2 model pakaian. Dia mempunyai persediaan kain batik 40 meter dan kain polos 15 meter. Model $A$ memerlukan 1 meter kain batik dan $1,5$ meter kain polos, sedang model $B$ memerlukan 2 meter kain batik dan $0,5$ meter kain polos. Maksimum banyak pakaian yang mungkin dapat dibuat adalah ....
Jawaban
Misalkan Model $A=x$ dan Model $B=y$ Diperoleh fungsi kendala
\[
\begin{cases}
x+2y & \leq40\\
1,5x+0,5y & \leq15\\
x,y & \geq0
\end{cases}
\]
Dengan fungsi tujuan
\[
f\left(x,y\right)=x+y
\]
Dari fungsi kendala diatas kita mendapatkan 2 buah pertidaksamaan linear yaitu $x+2y\leq40$ dan $1,5x+0,5y\leq15$. Langkah selanjutnya adalah menentukan titik pojok dari fungsi kedala tersebut. Perhatikan grafik berikut.

Terlihat bahwa titik pojok terletak pada titik $A,B$ dan $C$. mendapatkan titik $B$ Eliminasi kedua pertidaksamaan tersebut dan menghasilkan $x=4$ dan $y=18$. Kemudian lakukan pengujian seperti di bawah ini

#. $\left(x,y\right)$ => $f\left(x,y\right)=x+y$

#. $\left(10,0\right)$ => $f\left(10,0\right)=10+0=10$

#. $\left(4,18\right)$ => $f\left(4,18\right)=4+18=22$

#. $\left(0,20\right)$ => $f\left(0,20\right)=0+20=20$
Kita dapatkan bahwa Maksimum banyak pakaian yang mungkin dapat dibuat adalah 22 tercapai di titik $\left(4,18\right)$

5. Jika $2a+1<0$ dan grafik $y=x^{2}-4ax+a$ bersinggungan dengan grafik $y=2x^{2}+2x,$ maka $a^{2}+1=......$
Jawaban

\begin{eqnarray*}
2a+1 & < & 0\\
a & < & -\frac{1}{2}
\end{eqnarray*}
Kedua kurva bersinggungan, artinya bahwa determinan dari $y_{1}-y_{2}=0$
\begin{eqnarray*}
y_{1} & = & y_{2}\\
x^{2}-4ax+a & = & 2x^{2}+2x\\
x^{2}+2x+4ax-a & = & 0\\
x^{2}+x\left(2+4a\right)-a & = & 0
\end{eqnarray*}
Diperoleh $a=1$, $b=2+4a$ dan $c=-a$. Karena syarat $D=0$ maka
\begin{eqnarray*}
b^{2}-4ac & = & 0\\
\left(2+4a\right)^{2}-4\left(-a\right) & = & 0\\
4+16a+16a^{2}+4a & = & 0\\
16a^{2}+20a+4 & = & 0\\
4a^{2}+5a+1 & = & 0\\
\left(4a+1\right)\left(a+1\right) & = & 0\\
4a+1=0 & \text{atau} & \left(a+1\right)=0\\
4a=-1 & \text{atau} & a=-1\\
a=-\frac{1}{4} & \text{atau} & a=-1
\end{eqnarray*}
karena syarat yang diberikan adalah $a<-{\displaystyle \frac{1}{2}}$ maka nilai $a=-\dfrac{1}{4}$ tentunya tidak memenuhi. Jadi Nilai $a$ yang memenuhi adalah $a=-1$. Sehingga
\begin{eqnarray*}
a^{2}+1 & = & \left(-1\right)^{2}+1\\
& = & 1+1\\
& = & 2
\end{eqnarray*}