Pembahasan Soal SBMPTN TPA Bidang Matematika (Lanjutan)

Sesi terakhir pada pembahasan ini saya berikan. Mohon maaf jika banyak kesalahan. Format PDF sementara kami buatkan. Silahkan di koreksi dan jika ada cara lain bisa anda tuliskan di kolom komentar

11. SMA X memiliki $6$ kelas dengan banyak siswa pada setiap kelas adalah $16$ pria dan $16$ wanita. Jika untuk kepengurusan OSIS dipilih satu orang dari setiap kelas, maka peluang $2$ orang wanita yang menjadi pengurus OSIS adalah ....

Jawaban

Banyaknya siswa tiap kelas adalah $32$ siswa sehingga jika kita mencari jumlah sampelnya adalah
\begin{eqnarray*}
n\left(S\right) & = & _{2}C_{1}\times{}_{2}C_{1}\times{}_{2}C_{1}\times{}_{2}C_{1}\times{}_{2}C_{1}\times{}_{2}C_{1}\\
& = & 2^{6}\\
n\left(S\right) & = & 64
\end{eqnarray*}Kemudian kita mencari kejadian $2$ orang wanita yang menjadi pengurus OSIS adalah
\begin{eqnarray*}
n\left(A\right)=_{6}C_{2} & = & \frac{6!}{2!4!}\\
& = & \frac{6\times5\times4!}{2!4!}\\
& = & \frac{30}{2}\\
n\left(A\right) & = & 15
\end{eqnarray*}peluang $2$ orang wanita yang menjadi pengurus OSIS adalah
\begin{eqnarray*}
P\left(A\right) & = & \frac{n\left(A\right)}{n\left(S\right)}\\
& = & \frac{15}{64}
\end{eqnarray*}

12. Jika $f^{-1}\left(x-1\right)=\dfrac{4-3x}{x-2}$, maka nilai $f\left(-5\right)$ adalah .....
Jawaban

\begin{eqnarray*}
f^{-1}\left(x-1\right) & = & \dfrac{4-3x}{x-2}\\
f\left(\dfrac{4-3x}{x-2}\right) & = & x-1\\
\dfrac{4-3x}{x-2} & = & -5\\
4-3x & = & -5x+10\\
2x & = & 6\\
x & = & 3
\end{eqnarray*}
Sehingga
\begin{eqnarray*}
f\left(-5\right) & = & x-1\\
& = & 3-1\\
& = & 2
\end{eqnarray*}
13. Diketahui $f\left(0\right)=1$ dan $f'\left(0\right)=2$. Jika $g\left(x\right)=\dfrac{1}{\left(2f\left(x\right)-1\right)^{3}}$,  maka $g'\left(0\right)=.....$

Jawaban

Perhatikan kembali $g\left(x\right)=\dfrac{1}{\left(2f\left(x\right)-1\right)^{3}}$ bisa ditulis $g\left(x\right)=\left(2f\left(x\right)-1\right)^{-3}$
sehingga
\begin{eqnarray*}
g'\left(x\right) & = & -3\left(2f\left(x\right)-1\right)^{-4}\cdot2f'\left(x\right)\\
g'\left(0\right) & = & -3\left(2f\left(0\right)-1\right)^{-4}\cdot2f'\left(0\right)\\
& = & -3\left(2\cdot1-1\right)^{-4}\cdot2\left(2\right)\\
& = & -3\left(2-1\right)^{-4}\cdot4\\
& = & -3\left(1\right)^{-4}\cdot4\\
& = & -3\left(1\right)\cdot4\\
& = & -3\cdot4\\
g'\left(0\right) & = & -12
\end{eqnarray*}
Sehingga diperoleh nilai $g'\left(0\right)=-12$

14. Jika $x_{1}$ dan $x_{2}$ adalah penyelesaian persamaan

\[
\left(^{2}\log x\right)^{2}+^{2}\log x=6
\]
maka $x_{1}\cdot x_{2}=.......$

Jawaban

Misalkan $^{2}\log x=P$ sehingga persamaan menjadi
\begin{eqnarray*}
P^{2}+P & = & 6\\
P^{2}+P-6 & = & 0\\
\left(P+3\right)\left(P-2\right) & = & 0\\
P+3=0 & \text{atau} & P-2=0\\
P=-3 & \text{atau} & P=2
\end{eqnarray*}
Karena $P=^{2}\log x$ maka
\begin{eqnarray*}
^{2}\log x & = & -3\\
x & = & 2^{-3}\\
x & = & \frac{1}{8}
\end{eqnarray*}
\begin{eqnarray*}
^{2}\log x & = & 2\\
x & = & 2^{2}\\
x & = & 4
\end{eqnarray*}
sehingga
\begin{eqnarray*}
x_{1}\times x_{2} & = & \dfrac{1}{8}\times4\\
& = & \frac{4}{8}\\
& = & \frac{1}{2}
\end{eqnarray*}

15. Diketahui $A=\left(\begin{array}{cc}
\dfrac{1}{2} & -\dfrac{1}{2}\\
-\dfrac{1}{2} & x
\end{array}\right)$. Jika $|A|$ menyatakan determinan $A$ maka deret geometri
\[
|A|+|A|^{2}+|A|^{3}+\cdots\cdots
\]
Kenvergen ke ......

Jawaban

$|A|=\dfrac{1}{2}x-\dfrac{1}{4}$ dan Rasio dari deret $|A|+|A|^{2}+|A|^{3}+\cdots\cdots$
adalah $r=\dfrac{|A|^{2}}{|A|}=|A|$ dengan $a=|A|$. Syarat agar deret tersebut konvergen adalah $|r|<1$.
\begin{eqnarray*}
S_{\infty} & = & \frac{a}{1-r}\\
|A|+|A|^{2}+|A|^{3}+\cdots\cdots & = & \frac{|A|}{1-|A|}\\
& = & \frac{\left(\dfrac{1}{2}x-\dfrac{1}{4}\right)}{1-\left(\dfrac{1}{2}x-\dfrac{1}{4}\right)}\\
& = & \frac{\dfrac{1}{4}\left(2x-1\right)}{1-\dfrac{1}{4}\left(2x-1\right)}\\
& = & \frac{\dfrac{1}{4}\left(2x-1\right)}{\dfrac{1}{4}\left(4-\left(2x-1\right)\right)}\\
& = & \frac{\left(2x-1\right)}{\left(4-\left(2x-1\right)\right)}\\
& = & \frac{2x-1}{-2x+5}\\
& = & -\frac{2x-1}{2x-5}
\end{eqnarray*}Agar deret konvergen maka $|r|