Lanjutan Pembahasan Soal SBMPTN TPA Bidang Matematika

Melanjutkan pembahasan pada postingan sebelumnya. Pada soal ini tingkatan soal sudah mulai medium. Pembahasan hanya nomor 6 sampai dengan nomor 10. Nomor selanjutnya di bahas pada postingan selanjutnya. 

6. Agar sistem persamaan linear \[ \begin{cases} ax+by-3z & =-3\\ -2x-by+cz & =-1\\ ax+3y-cz & =-3 \end{cases}\] mempunyai penyelesaian $x=1,y=-1$ dan $z=2$, maka nilai $a+b+c$ adalah ...... 

Jawaban 

 \[\begin{cases} ax+by-3z & =-3\\ -2x-by+cz & =-1\\ ax+3y-cz & =-3 \end{cases}\] Karena $x=1,y=-1$ dan $z=2$ sehingga sistem persamaan linear diatas menjadi \[ \begin{cases} a-b-6 & =-3\\ -2+b+2c & =-1\\ a-3-2c & =-3 \end{cases} \] Jumlahkan ketiga persamaan diatas sehingga menghasilkan \begin{eqnarray*} 2a-2-3-6 & = & 7\\ 2a & = & 4\\ a & = & 2 \end{eqnarray*} \begin{eqnarray*} a-b-6 & = & -3\\ 2-b-6 & = & -3\\ -b & = & 1\\ b & = & -1 \end{eqnarray*} \begin{eqnarray*} -2+b+2c & = & -1\\ -2-1+2c & = & -1\\ 2c & = & 2\\ c & = & 1 \end{eqnarray*} Sehingga \begin{eqnarray*} a+b+c & = & 2-1+1\\ & = & 2 \end{eqnarray*} 

 7. Jika titik $\left(x,y\right)$ memenuhi $x^{2}\leq y\leq x+6$, maka nilai maksimum $x+y$ adalah .... 

Jawaban 

 \begin{eqnarray*} x^{2} & \leq & y\leq x+6\\ x^{2} & \leq & x+6\\ x^{2}-x-6 & \leq & 0\\ \left(x-3\right)\left(x+2\right) & \leq & 0\\ -2\leq & x & \leq3\\ x^{2}\leq & y & \leq x+6\\ x^{2}+x\leq & y+x & \leq2x+6 \end{eqnarray*} Maksimum $x+y$ adalah $2x+6$ yang dipenuhi nilai $x$ terbesar yaitu $x=3$ Jadi \begin{eqnarray*} f_{max}\left(x,y\right) & = & 2\left(3\right)+6\\ & = & 6+6\\ & = & 12 \end{eqnarray*} 

 8. Jika $\cos x=2\sin x$, maka nilai $\sin x\cos x$ adalah ..... 

Jawaban 

 \begin{eqnarray*} \cos x & = & 2\sin x\\ \frac{2\sin x}{\cos x} & = & 1\\ \frac{\sin x}{\cos x} & = & \frac{1}{2}\\ \tan x & = & \frac{1}{2} \end{eqnarray*} Karena $\tan x=\frac{1}{2}$ maka kita dapatkan gambar berikut.

   

Kita dapatkan $\sin x=\dfrac{1}{\sqrt{5}}$ dan $\cos x=\dfrac{1}{\sqrt{5}}$ sehingga \begin{eqnarray*} \sin x\cos x & = & \frac{1}{\sqrt{5}}\times\frac{2}{\sqrt{5}}\\ \sin x\cos x & = & \frac{2}{5} \end{eqnarray*} 

 9. Suku tengah suatu barisan aritmetika adalah $23$. Jika suku terakhirnya $43$ dan suku ketiganya $13$, maka banyak suku barisan itu adalah ..... 

Jawaban 

# $U_{t}=23$ 

# $U_{n}=43$ 

# $U_{3}=13$ \begin{eqnarray*} U_{t} & = & \frac{U_{1}+U_{n}}{2}\\ U_{1} & = & 2U_{t}-U_{n}\\ & = & 2\left(23\right)-43\\ & = & 46-43\\ U_{1} & = & 3 \end{eqnarray*} Mencari nilai $b$ dapat kita gunakan rumus ${\displaystyle b=\frac{U_{n}-U_{1}}{n-1}}$. Ambil $n=3$ menghasilkan \begin{eqnarray*} b & = & \frac{U_{3}-U_{1}}{3-1}\\ & = & \frac{13-3}{3-1}\\ & = & \frac{10}{2}\\ b & = & 5 \end{eqnarray*} \begin{eqnarray*} b & = & \frac{U_{n}-U_{1}}{n-1}\\ 5 & = & \frac{43-3}{n-1}\\ 5n-5 & = & 40\\ 5n & = & 45\\ n & = & 9 \end{eqnarray*}banyak suku barisan itu adalah $9$ 

10. Jika $P=\left(\begin{array}{cc} 1 & 2\\ 1 & 3 \end{array}\right)$ dan $\left(\begin{array}{cc} x & y\\ -z & z \end{array}\right)=2P^{-1}$ dengan $P^{-1}$ menyatakan invers matriks $P$, maka $x+y=......$ 

Jawaban \begin{eqnarray*} P & = & \left(\begin{array}{cc} 1 & 2\\ 1 & 3 \end{array}\right)\\ P^{-1} & = & \frac{1}{3-2}\left(\begin{array}{cc} 3 & -2\\ -1 & 1 \end{array}\right)\\ P^{-1} & = & \left(\begin{array}{cc} 3 & -2\\ -1 & 1 \end{array}\right) \end{eqnarray*} Dari soal juga diketahui bahwa \begin{eqnarray*} \left(\begin{array}{cc} x & y\\ -z & z \end{array}\right) & = & 2P^{-1}\\ \left(\begin{array}{cc} x & y\\ -z & z \end{array}\right) & = & 2\times\left(\begin{array}{cc} 3 & -2\\ -1 & 1 \end{array}\right)\\ \left(\begin{array}{cc} x & y\\ -z & z \end{array}\right) & = & \left(\begin{array}{cc} 6 & -4\\ -2 & 2 \end{array}\right) \end{eqnarray*} Diperoleh $x=6$ dan $y=-4$. Sehingga \begin{eqnarray*} x+y & = & 6-4\\ & = & 2 \end{eqnarray*}