Lompat ke konten Lompat ke sidebar Lompat ke footer

Lanjutan Pembahasan Soal SBMPTN TPA Bidang Matematika

Melanjutkan pembahasan pada postingan sebelumnya. Pada soal ini tingkatan soal sudah mulai medium. Pembahasan hanya nomor 6 sampai dengan nomor 10. Nomor selanjutnya di bahas pada postingan selanjutnya. 

6. Agar sistem persamaan linear \[ \begin{cases} ax+by-3z & =-3\\ -2x-by+cz & =-1\\ ax+3y-cz & =-3 \end{cases}\] mempunyai penyelesaian $x=1,y=-1$ dan $z=2$, maka nilai $a+b+c$ adalah ...... 

Jawaban 

 \[\begin{cases} ax+by-3z & =-3\\ -2x-by+cz & =-1\\ ax+3y-cz & =-3 \end{cases}\] Karena $x=1,y=-1$ dan $z=2$ sehingga sistem persamaan linear diatas menjadi \[ \begin{cases} a-b-6 & =-3\\ -2+b+2c & =-1\\ a-3-2c & =-3 \end{cases} \] Jumlahkan ketiga persamaan diatas sehingga menghasilkan \begin{eqnarray*} 2a-2-3-6 & = & 7\\ 2a & = & 4\\ a & = & 2 \end{eqnarray*} \begin{eqnarray*} a-b-6 & = & -3\\ 2-b-6 & = & -3\\ -b & = & 1\\ b & = & -1 \end{eqnarray*} \begin{eqnarray*} -2+b+2c & = & -1\\ -2-1+2c & = & -1\\ 2c & = & 2\\ c & = & 1 \end{eqnarray*} Sehingga \begin{eqnarray*} a+b+c & = & 2-1+1\\ & = & 2 \end{eqnarray*} 

 7. Jika titik $\left(x,y\right)$ memenuhi $x^{2}\leq y\leq x+6$, maka nilai maksimum $x+y$ adalah .... 

Jawaban 
 \begin{eqnarray*} x^{2} & \leq & y\leq x+6\\ x^{2} & \leq & x+6\\ x^{2}-x-6 & \leq & 0\\ \left(x-3\right)\left(x+2\right) & \leq & 0\\ -2\leq & x & \leq3\\ x^{2}\leq & y & \leq x+6\\ x^{2}+x\leq & y+x & \leq2x+6 \end{eqnarray*} Maksimum $x+y$ adalah $2x+6$ yang dipenuhi nilai $x$ terbesar yaitu $x=3$ Jadi \begin{eqnarray*} f_{max}\left(x,y\right) & = & 2\left(3\right)+6\\ & = & 6+6\\ & = & 12 \end{eqnarray*} 

 8. Jika $\cos x=2\sin x$, maka nilai $\sin x\cos x$ adalah ..... 

Jawaban 
 \begin{eqnarray*} \cos x & = & 2\sin x\\ \frac{2\sin x}{\cos x} & = & 1\\ \frac{\sin x}{\cos x} & = & \frac{1}{2}\\ \tan x & = & \frac{1}{2} \end{eqnarray*} Karena $\tan x=\frac{1}{2}$ maka kita dapatkan gambar berikut.
   

Kita dapatkan $\sin x=\dfrac{1}{\sqrt{5}}$ dan $\cos x=\dfrac{1}{\sqrt{5}}$ sehingga \begin{eqnarray*} \sin x\cos x & = & \frac{1}{\sqrt{5}}\times\frac{2}{\sqrt{5}}\\ \sin x\cos x & = & \frac{2}{5} \end{eqnarray*} 

 9. Suku tengah suatu barisan aritmetika adalah $23$. Jika suku terakhirnya $43$ dan suku ketiganya $13$, maka banyak suku barisan itu adalah ..... 

Jawaban 
# $U_{t}=23$ 
# $U_{n}=43$ 
# $U_{3}=13$ \begin{eqnarray*} U_{t} & = & \frac{U_{1}+U_{n}}{2}\\ U_{1} & = & 2U_{t}-U_{n}\\ & = & 2\left(23\right)-43\\ & = & 46-43\\ U_{1} & = & 3 \end{eqnarray*} Mencari nilai $b$ dapat kita gunakan rumus ${\displaystyle b=\frac{U_{n}-U_{1}}{n-1}}$. Ambil $n=3$ menghasilkan \begin{eqnarray*} b & = & \frac{U_{3}-U_{1}}{3-1}\\ & = & \frac{13-3}{3-1}\\ & = & \frac{10}{2}\\ b & = & 5 \end{eqnarray*} \begin{eqnarray*} b & = & \frac{U_{n}-U_{1}}{n-1}\\ 5 & = & \frac{43-3}{n-1}\\ 5n-5 & = & 40\\ 5n & = & 45\\ n & = & 9 \end{eqnarray*}banyak suku barisan itu adalah $9$ 

10. Jika $P=\left(\begin{array}{cc} 1 & 2\\ 1 & 3 \end{array}\right)$ dan $\left(\begin{array}{cc} x & y\\ -z & z \end{array}\right)=2P^{-1}$ dengan $P^{-1}$ menyatakan invers matriks $P$, maka $x+y=......$ 

Jawaban \begin{eqnarray*} P & = & \left(\begin{array}{cc} 1 & 2\\ 1 & 3 \end{array}\right)\\ P^{-1} & = & \frac{1}{3-2}\left(\begin{array}{cc} 3 & -2\\ -1 & 1 \end{array}\right)\\ P^{-1} & = & \left(\begin{array}{cc} 3 & -2\\ -1 & 1 \end{array}\right) \end{eqnarray*} Dari soal juga diketahui bahwa \begin{eqnarray*} \left(\begin{array}{cc} x & y\\ -z & z \end{array}\right) & = & 2P^{-1}\\ \left(\begin{array}{cc} x & y\\ -z & z \end{array}\right) & = & 2\times\left(\begin{array}{cc} 3 & -2\\ -1 & 1 \end{array}\right)\\ \left(\begin{array}{cc} x & y\\ -z & z \end{array}\right) & = & \left(\begin{array}{cc} 6 & -4\\ -2 & 2 \end{array}\right) \end{eqnarray*} Diperoleh $x=6$ dan $y=-4$. Sehingga \begin{eqnarray*} x+y & = & 6-4\\ & = & 2 \end{eqnarray*}

Posting Komentar untuk "Lanjutan Pembahasan Soal SBMPTN TPA Bidang Matematika"