Lanjutan Pembahasan Soal SBMPTN TPA Bidang Matematika

Melanjutkan pembahasan pada postingan sebelumnya. Pada soal ini tingkatan soal sudah mulai medium. Pembahasan hanya nomor 6 sampai dengan nomor 10. Nomor selanjutnya di bahas pada postingan selanjutnya.

6. Agar sistem persamaan linear
\[ \begin{cases} ax+by-3z & =-3\\ -2x-by+cz & =-1\\ ax+3y-cz & =-3 \end{cases}\] mempunyai penyelesaian $x=1,y=-1$ dan $z=2$, maka nilai $a+b+c$ adalah ......

Jawaban

\[\begin{cases} ax+by-3z & =-3\\ -2x-by+cz & =-1\\ ax+3y-cz & =-3 \end{cases}\]
Karena $x=1,y=-1$ dan $z=2$ sehingga sistem persamaan linear diatas menjadi
\[ \begin{cases} a-b-6 & =-3\\ -2+b+2c & =-1\\ a-3-2c & =-3 \end{cases} \] Jumlahkan ketiga persamaan diatas sehingga menghasilkan
\begin{eqnarray*} 2a-2-3-6 & = & 7\\ 2a & = & 4\\ a & = & 2 \end{eqnarray*} \begin{eqnarray*} a-b-6 & = & -3\\ 2-b-6 & = & -3\\ -b & = & 1\\ b & = & -1 \end{eqnarray*} \begin{eqnarray*} -2+b+2c & = & -1\\ -2-1+2c & = & -1\\ 2c & = & 2\\ c & = & 1 \end{eqnarray*} Sehingga \begin{eqnarray*} a+b+c & = & 2-1+1\\ & = & 2 \end{eqnarray*}
7. Jika titik $\left(x,y\right)$ memenuhi $x^{2}\leq y\leq x+6$, maka nilai maksimum $x+y$ adalah ....
Jawaban

\begin{eqnarray*}
x^{2} & \leq & y\leq x+6\\
x^{2} & \leq & x+6\\
x^{2}-x-6 & \leq & 0\\
\left(x-3\right)\left(x+2\right) & \leq & 0\\
-2\leq & x & \leq3\\
x^{2}\leq & y & \leq x+6\\
x^{2}+x\leq & y+x & \leq2x+6
\end{eqnarray*}
Maksimum $x+y$ adalah $2x+6$ yang dipenuhi nilai $x$ terbesar yaitu
$x=3$ Jadi
\begin{eqnarray*}
f_{max}\left(x,y\right) & = & 2\left(3\right)+6\\
& = & 6+6\\
& = & 12
\end{eqnarray*}

8. Jika $\cos x=2\sin x$, maka nilai $\sin x\cos x$ adalah .....
Jawaban

\begin{eqnarray*}
\cos x & = & 2\sin x\\
\frac{2\sin x}{\cos x} & = & 1\\
\frac{\sin x}{\cos x} & = & \frac{1}{2}\\
\tan x & = & \frac{1}{2}
\end{eqnarray*}
Karena $\tan x=\frac{1}{2}$ maka kita dapatkan gambar berikut.



Kita dapatkan $\sin x=\dfrac{1}{\sqrt{5}}$ dan $\cos x=\dfrac{1}{\sqrt{5}}$ sehingga
\begin{eqnarray*}
\sin x\cos x & = & \frac{1}{\sqrt{5}}\times\frac{2}{\sqrt{5}}\\
\sin x\cos x & = & \frac{2}{5}
\end{eqnarray*}

9. Suku tengah suatu barisan aritmetika adalah $23$. Jika suku terakhirnya $43$ dan suku ketiganya $13$, maka banyak suku barisan itu adalah .....

Jawaban

# $U_{t}=23$
# $U_{n}=43$
# $U_{3}=13$

\begin{eqnarray*}
U_{t} & = & \frac{U_{1}+U_{n}}{2}\\
U_{1} & = & 2U_{t}-U_{n}\\
& = & 2\left(23\right)-43\\
& = & 46-43\\
U_{1} & = & 3
\end{eqnarray*}
Mencari nilai $b$ dapat kita gunakan rumus ${\displaystyle b=\frac{U_{n}-U_{1}}{n-1}}$. Ambil $n=3$ menghasilkan
\begin{eqnarray*}
b & = & \frac{U_{3}-U_{1}}{3-1}\\
& = & \frac{13-3}{3-1}\\
& = & \frac{10}{2}\\
b & = & 5
\end{eqnarray*}
\begin{eqnarray*}
b & = & \frac{U_{n}-U_{1}}{n-1}\\
5 & = & \frac{43-3}{n-1}\\
5n-5 & = & 40\\
5n & = & 45\\
n & = & 9
\end{eqnarray*}banyak suku barisan itu adalah $9$

10. Jika $P=\left(\begin{array}{cc}
1 & 2\\
1 & 3
\end{array}\right)$ dan $\left(\begin{array}{cc}
x & y\\
-z & z
\end{array}\right)=2P^{-1}$ dengan $P^{-1}$ menyatakan invers matriks $P$, maka $x+y=......$
Jawaban
\begin{eqnarray*}
P & = & \left(\begin{array}{cc}
1 & 2\\
1 & 3
\end{array}\right)\\
P^{-1} & = & \frac{1}{3-2}\left(\begin{array}{cc}
3 & -2\\
-1 & 1
\end{array}\right)\\
P^{-1} & = & \left(\begin{array}{cc}
3 & -2\\
-1 & 1
\end{array}\right)
\end{eqnarray*}
Dari soal juga diketahui bahwa
\begin{eqnarray*}
\left(\begin{array}{cc}
x & y\\
-z & z
\end{array}\right) & = & 2P^{-1}\\
\left(\begin{array}{cc}
x & y\\
-z & z
\end{array}\right) & = & 2\times\left(\begin{array}{cc}
3 & -2\\
-1 & 1
\end{array}\right)\\
\left(\begin{array}{cc}
x & y\\
-z & z
\end{array}\right) & = & \left(\begin{array}{cc}
6 & -4\\
-2 & 2
\end{array}\right)
\end{eqnarray*}
Diperoleh $x=6$ dan $y=-4$. Sehingga
\begin{eqnarray*}
x+y & = & 6-4\\
& = & 2
\end{eqnarray*}