Aplikasi Fungsi Pembangkit Eksponensial Dalam Permutasi

Ada soal yang sedikit menantang dari kuliah saya di Matematika Diskrit atau tepatnya materi Kombinatorial yang berkaitan dengan fungsi pembangkit eksponensial. Materi ini saya dapatkan dari Kuliah matematika diskrit yang di bawakan oleh ibu Nursiyah Bito, M.Pd di Jurusan Pendidikan Matematika, Fakultas MIPA, UNG waktu saya masih semester 5 lalu. ini dia soalnya.

Tentukan banyaknya kata sandi yang dapat dibentuk dari kata $CANTIK$ dimana setiap huruf vokalnya harus muncul.!

Penyelesaian dari permasalahan diatas adalah sebagai berikut:

Pertama kita tentukan dulu mana huruf Vokal dan mana Huruf konsonan. Huruf Vokal yaitu $A$ dan $I$ berjumlah $2$ buah yang masing-masing harus muncul. sementara huruf konsonannya yaitu $C, N, T, K$ berjumlah $4$ buah. Kemudian kita susun persamaannya menjadi: $\displaystyle P(x)=\left(1+\frac{x}{1!}+\frac{x^2}{2!}+\frac{x^3}{3!}+.......\right)^4 \left(\frac{x}{1!}+\frac{x^2}{2!}+\frac{^3}{3!}+.....\right)^2$ karena deret $\displaystyle \left(1+\frac{x}{1!}+\frac{x^2}{2!}+\frac{x^3}{3!}+.......\right)$ adalah $e^{x}$ dan deret $\displaystyle \left(\frac{x}{1!}+\frac{x^2}{2!}+\frac{^3}{3!}+.....\right)^2$ adalah $ (e^x-1)$ maka dapat dituliskan menjadi: $$\begin{eqnarray*} P(x)&=&(e^{x})^4(e^x-1)^2 \\ &=&(e^{4x}) (e^{2x}-2e^x+1) \\ &=&e^{6x}-2e^{5x}+e^{4x} \\ P(x)&=&\sum_{n=0}^{\infty} \frac{(6x)^n}{n!}-2\sum_{n=0}^{\infty} \frac{(5x)^n}{n!}+\sum_{n=0}^{\infty} \frac{(4x)^n}{n!} \\ P(x)&=&\sum_{n=0}^{\infty} 6^n \frac{(x^n)}{n!}-2\sum_{n=0}^{\infty} 5^n \frac{(x^n)}{n!}+\sum_{n=0}^{\infty} 4^n \frac{(x^n)}{n!} \end{eqnarray*}$$ Jadi, Banyaknya kata sandi yang dapat dibentuk adalah koefisien dari $\displaystyle \frac{x^n}{n!}$ dalam $P(x)$ yaitu: $a_n=6^n-(2)5^n+4^n$ untuk $n\geq 0$ untuk $n=2$, Maka: $a_2=36-50+16 =2$

Dua kata sandi yang dapat dibentuk yaitu: $(AI,IA)$

Sekian dulu postingannya yah.... Kalau ada pertanyaan, silahkan tuliskan di komentar dalam blog ini yah....