Menentukan Akar-Akar Persamaan Kuadrat dengan Menggunakan Rumus Kuadrat (Rumus abc)

Metode melengkapkan kuadrat sempurna kadang dirasa cukup rumit jika bentuk persamaan kuadratnya berbentuk bilangan pecahan maupun bilangan desimal. Nah, dalam materi kali ini akan dibahas perluasan dari metode melengkapkan kuadrat sempurna yang dikenal dengan rumus kuadrat atau rumus $abc$. Rumus kuadrat diperoleh dari proses melengkapkan kuadrat sempurna pada persamaan kuadrat $ax^{2}+bx+c=0$.

Manipulasi aljabar dalam proses melengkapkan kuadrat sempurna untuk persamaan kuadrat $ax^{2}+bx+c=0$ dapat kita simak sebagai berikut
\begin{eqnarray*} ax^{2}+bx+c & = & 0\\ ax^{2}+bx & = & -c\\ x^{2}+\frac{b}{a}x & = & -\frac{c}{a}\\ x^{2}+\frac{b}{a}x+\left(\frac{b}{2a}\right)^{2} & = & -\frac{c}{a}+\left(\frac{b}{2a}\right)^{2}\\ \underset{\left(x+\frac{b}{2a}\right)^{2}}{\underbrace{x^{2}+\frac{b}{a}x+\frac{b^{2}}{4a^{2}}}} & = & \frac{b^{2}}{4a^{2}}-\frac{c}{a}\\ \left(x+\frac{b}{2a}\right)^{2} & = & \frac{b^{2}-4ac}{4a^{2}}\\ \left(x+\frac{b}{2a}\right) & = & \sqrt{\frac{b^{2}-4ac}{4a^{2}}}\\ \left(x+\frac{b}{2a}\right) & = & \pm\frac{1}{2a}\sqrt{b^{2}-4ac}\\ \left(x+\frac{b}{2a}\right) & = & \pm\frac{\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}\\ x & = & -\frac{b}{2a}\pm\frac{\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}\\ x & = & \frac{-b\pm\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}\\ x=\frac{-b+\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} & \text{atau} & x=\frac{-b-\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} \end{eqnarray*} Dari uraian panjang diatas dapat kita simpulkan bahwa
Misalkan $a,b$ dan $c$ bilangan-bilangan real dan $a\neq0$, maka akar-akar persamaan kuadrat $ax^{2}+bx+c=0$ dapat ditentukan dengan
\[
x_{1}=\frac{-b+\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}\,\,\,\,\text{atau}\,\,\,\, x_{2}=\frac{-b-\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}
\]

Rumus kuadrat ini dianggap rumus paling mudah digunakan untuk mencari akar-akar persamaan kuadrat. Oleh karen itu, diharapkan kepada para siswa agar memahami rumus ini, dan kalau perlu dihapalkan. Untuk lebih memahami penggunaan rumus diatas, silahkan simak contoh berikut.


CONTOH 
Dengan menggunakan rumus kuadrat, tentukan akar-akar persamaan kuadrat berikut
a. $x^{2}-6+8=0$
b. $3x^{2}-4x+\frac{1}{3}=0$

JAWAB
a. Koefisien dari $x^{2}-6+8=0$ adalah $a=1,b=-6$ dan $c=8$
\begin{eqnarray*} x_{1,2} & = & \frac{-b\pm\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}\\ & = & \frac{-\left(-6\right)\pm\sqrt{\left(-6\right)^{2}-4\left(1\right)\left(8\right)}}{2\left(1\right)}\\ & = & \frac{6\pm\sqrt{36-32}}{2}\\ & = & \frac{6\pm\sqrt{4}}{2}\\ x & = & \frac{6\pm2}{2}\\ x_{1}=\frac{6+2}{2} & \text{atau} & x_{2}=\frac{6-2}{2}\\ x_{1}=4 & \text{atau} & x_{2}=2 \end{eqnarray*} Jadi himpunan penyelesaiannya adalah $HP=\left\{ 2,4\right\} $

b. Koefisien dari $3x^{2}-4x+\frac{1}{3}=0$ adalah $a=3,b=-4$
dan $c=\frac{1}{3}$}
\begin{eqnarray*} x_{1,2} & = & \frac{-b\pm\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}\\ & = & \frac{-\left(-4\right)\pm\sqrt{\left(-4\right)^{2}-4\left(3\right)\left(\frac{1}{3}\right)}}{2\left(3\right)}\\ & = & \frac{4\pm\sqrt{16-4}}{6}\\ & = & \frac{4\pm\sqrt{12}}{6}\\ x & = & \frac{4\pm2\sqrt{3}}{6}\\ x_{1}=\frac{4+2\sqrt{3}}{6} & \text{atau} & x_{2}=\frac{4-2\sqrt{3}}{6}\\ x_{1}=\frac{2+\sqrt{3}}{3} & \text{atau} & x_{2}=\frac{2-\sqrt{3}}{3} \end{eqnarray*}
Jadi himpunan penyelesaiannya adalah $HP=\left\{ {\displaystyle \frac{2-\sqrt{3}}{3},\frac{2+\sqrt{3}}{3}}\right\} $

Contoh berikut mungkin akan memberikan pemahaman lain untuk anda. Anda mungkin akan terkejut melihat penyelesaian dari persamaan berikut.

CONTOH
Dengan menggunakan rumus kuadrat, tentukan akar-akar persamaan kuadrat $2x^{2}+3x+5=0$}

JAWAB
Koefisien dari $2x^{2}+3x+5=0$ adalah $a=2,b=3$ dan $c=5$.
\begin{eqnarray*}
x_{1,2} & = & \frac{-b\pm\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}\\
& = & \frac{-3\pm\sqrt{3^{2}-4\left(2\right)\left(5\right)}}{2\left(2\right)}\\
& = & \frac{-3\pm\sqrt{9-40}}{4}\\
& = & \frac{-3\pm\sqrt{-31}}{4}
\end{eqnarray*}
Perhatikan bahwa dalam tanda akar muncul bilangan negatif yaitu $\sqrt{-31}$. Hal ini bertentangan dengan sifat pada melengkapkan kuadrat sempurna yang sudah kita pelajari bahwa $\sqrt{p}$ dengan $p\geq0$. Nah bagaimana jika $p<0$

Jika $\sqrt{p}$ dengan $p<0$ maka dapat disimpulkan bahwa persamaan kuadrat $2x^{2}+3x+5=0$ tidak memiliki pernyelesaian. Himpunan penyelesaiannya adalah himpunan kosong atau dapat dilambangkan dengan $\emptyset$.

Jika kita berbicara tentang $\sqrt{-31}$ maka kita akan belajar tentang bilangan imajiner (bilangan khayal). Kenapa dikatakan bilangan khayal ? Karena bilangan tersebut ada, tetapi ada dalam khayalan kita namun
tidak bisa kita tuliskan. Untuk lebih jelasnya perhatikan ilustrasi berikut

  • $\sqrt{4}=2$ karena $2\times2=4$

  • $\sqrt{16}=4$ karena $4\times4=16$

  • $\sqrt{-16}=?$ jika kita mengatakan $\sqrt{-16}=-4$ tentu saja salah karena $\left(-4\right)\times\left(-4\right)=16$ . Bilangan $\sqrt{-16}$ itu ada, namun berada dalam khayalan kita, sehingga para pakar matematika memberikan nama bilangan imajiner yang dilambangkan dengan $i$ dengan
    defenisi $i^{2}=-1$. Sehingga dapat dengan mudah kita menyebutkan bahwa $\sqrt{-16}=\sqrt{\left(-1\right)16}=\sqrt{\left(-1\right)}\times\sqrt{16}=4\sqrt{-1}$. Karena berdasarkan defenisi $i^{2}=-1$ maka $i=\sqrt{-1}$ sehingga kita dapat menuliskan $\sqrt{-16}=4i$.

Sebagai bahan tambahan kita tentang bilangan imajiner yaitu sifat-sifat imajiner yaitu

  • $i^{2}=\left(\sqrt{-1}\right)^{2}=-1$

  • $i^{3}=i^{2}\cdot i=-i$

  • $i^{4}=i^{2}\cdot i^{2}=1$

  • $i^{5}=i^{4}\cdot i=i$

  • Dan seterusnya

Pembahasan bilangan imajiner dalam matematika lanjutan dikenal pada materi analisis kompleks atau peubah kompleks.