Menentukan Akar-Akar Persamaan Kuadrat dengan Melengkapkan KuadratSempurna

Melanjutkan postingan sebelumnya kali ini saya akan membahas tentang bagaimana cara memnentukan Akar-Akar Persamaan Kuadrat dengan Melengkapkan Kuadrat Sempurna. Perlu diketahui, metode pemfaktoran hanya bisa digunakan untuk mencari akar-akar persamaan kuadrat jika persamaan kuadratnya berbentuk sederhana. Namun untuk kasus yang cukup kompleks, metode pemfaktoran sulit diaplikasikan dan salah satu metode yang digunakan adalah melengkapkan kuadrat sempurna.

Anda tentunya pernah mendengar bahkan mempelajari bentuk kuadrat sempurna. Bentuk-bentuk yang merupakan kuadrat sempurna adalah $9=3^{2}$, $4x^{2}=\left(2x\right)^{2}$, $\left(x-1\right)^{2}$ dan masih banyak yang lain. Pada dasarnya tiap bentuk kuadrat dapat dimanipulasi secara aljabar menjadi bentuk kuadrat sempurna. Manipulasi aljabar yang diperlukan dalam proses pengubahan itu adalah dengan menambah dan mengurangi bagian konstanta. Sebagai contoh, bentuk $x^{2}-2x+4$ dapat dimanipulasi secara aljabar sebagai berikut

\begin{eqnarray*} x^{2}-2x+4 & = & 0\\ x^{2}-2x & = & -4\\ x^{2}-2x+1 & = & -4+1\\ \left(x-1\right)^{2} & = & -3 \end{eqnarray*}
Untuk mencari akar-akar persamaan kuadrat dengan melengkapkan kuadrat sempurna dapat diterapkan langkah-langkah sebagai berikut.

  1. Ubahlah $a=1$
  2. Pada persamaan kuadrat tersebut, kedua ruas kita kurangkan dengan $c$ (atau dengan kata lain, pindahkan $c$ ke ruas kanan)
  3. Tambahkan kedua ruas dengan $\left({\displaystyle \frac{1}{2}b}\right)^{2}$
  4. Buatlah bentuk kuadrat
  5. Carilah akar-akar persamaan kuadrat tersebut dengan menggunakan sifat
Jika $p\geq0$ dan berlaku $x^{2}=p$, maka $x=\pm\sqrt{p}$
dengan $p\geq0$

Implementasi langkah-langkah melengkapkan kuadrat sempurna dapat kita lakukan pada contoh berikut

CONTOH

Dengan melengkapkan kuadrat sempurna, tentukan akar-akar persamaan kuadrat $x^{2}-10x+21=0$

  1. Perhatikan bahwa persamaan $x^{2}-10x+21=0$ sudah memiliki nilai $a=1$ sehingga dapat kita lanjutkan pada langkah kedua yaitu mengurangi kedua ruas dengan $c$.
  2. Langkah selanjutnya adalah mengurangi kedua ruas pada persamaanku adrat dengan $c$ menghasilkan \begin{eqnarray*}
    x^{2}-10x+21 & = & 0\\
    x^{2}-10x+21-21 & = & 0-21\\
    x^{2}-10x & = & -21
    \end{eqnarray*}
  3. Jika nilai $c$ negatif maka kita harus menambahkan dengan nilai $c$ agar nilai $c$ pada ruas kanan menjadi nol.
  4. Langkah selanjutnya adalah menambahkan kedua ruas dengan $\left({\displaystyle \frac{b}{2}}\right)^{2}$. Karena nilai $b=-10$ maka kita mendapatkan $\left({\displaystyle \frac{b}{2}}\right)^{2}=\left({\displaystyle \frac{-10}{2}}\right)^{2}=\left(-5\right)^{2}=25$. Kita tambahkan nilai $25$ pada masing-masing ruas.}
    \begin{eqnarray*}
    x^{2}-10x & = & -21\\
    x^{2}-10x+25 & = & -21+25\\
    \underset{\left(x-5\right)^{2}}{\underbrace{x^{2}-10x+25}} & = & 4\\
    \left(x-5\right)^{2} & = & 4
    \end{eqnarray*}
  5. Langkah selanjutnya adalah mencari akar-akar persamaan kuadrat tersebut.
    \begin{eqnarray*}
    \left(x-5\right)^{2} & = & 4\\
    x-5 & = & \sqrt{4}\\
    x-5 & = & \pm2\\
    x & = & 5\pm2\\
    x=5+2 & \text{atau} & x=5-2\\
    x=7 & \text{atau} & x=3
    \end{eqnarray*}
    Diperoleh akar-akar persamaan kuadrat dari $x^{2}-10x+21=0$ adalah $x_{1}=7$ dan $x_{2}=3$, sehingga dapat kita tulis $HP=\left\{ 3,7\right\} $

Dari contoh diatas secara jelas diberikan langkah-langkah yang harus dilakukan untuk melengkapkan kuadrat sempurna. Jika anda sudah menguasai materi diatas, silahkan coba latihan dasar di bawah ini.

Dengan cara melengkapkan kuadrat sempurna, tentukan akar-akar persamaan kuadrat berikut
a. $x^{2}-25=0$
b. $x^{2}-2x-2=0$
c. $x^{2}-5x+6=0$
d. $2x^{2}-5x-3=0$
Sama halnya dengan pembahasan pada contoh soal sebelumnya. Cukup mudah kok. Silahkan dikerjakan sebagai bahan latihan $\blacksquare$