Pembahasan Ujian Nasional Tahun Pelajaran 2013-2014 Paket Soal 1

4:43:00 PM 1
Kali ini saya akan memposting tentang pembahasan Ujian Nasional Matematika tingkat SMA yang baru saja selesai bebrapa hari yang lalu. Soal matematika ini katanya sulit dan berstandar internasional. Namun setelah saya melihat beberapa soal ternyata hanya soal yang seperti biasa muncul pada tahun-tahun sebelumnya. Mengingat saya belum memiliki soal secara utuh maka saya hanya memposting 7 soal saja. Itupun saya dapatkan dari blog pak anang. Soal hanya diperlihatkan 7 nomor sehingga itu saja yang saya bahas kali ini. Mudah-mudahan secepatnya bisa saya dapatkan yang full versi. Langung saja kita bahas soalnya

1. Bentuk sederhana dari $\dfrac{12}{3\sqrt{2}-2\sqrt{3}}$ adalah ....

Jawaban

\begin{eqnarray*}
\dfrac{12}{3\sqrt{2}-2\sqrt{3}} & = & \dfrac{12}{3\sqrt{2}-2\sqrt{3}}\times\frac{3\sqrt{2}+2\sqrt{3}}{3\sqrt{2}+2\sqrt{3}}\\
& = & \frac{12\left(3\sqrt{2}+2\sqrt{3}\right)}{18-12}\\
& = & \frac{12\left(3\sqrt{2}+2\sqrt{3}\right)}{6}\\
& = & \frac{12}{6}\left(3\sqrt{2}+2\sqrt{3}\right)\\
& = & 2\left(3\sqrt{2}+2\sqrt{3}\right)\\
\dfrac{12}{3\sqrt{2}-2\sqrt{3}} & = & 6\sqrt{2}+4\sqrt{3}
\end{eqnarray*}

2. Bentuk sederhana dari $\left(\dfrac{a^{3}b^{-2}c}{ab^{-4}c^{2}}\right)^{-1}$ = ....

Jawaban

\begin{eqnarray*}
\left(\dfrac{a^{3}b^{-2}c}{ab^{-4}c^{2}}\right)^{-1} & = & \frac{a^{-3}b^{2}c^{-1}}{a^{-1}b^{4}c^{-2}}\\
& = & a^{\left(-3+1\right)}b^{\left(2-4\right)}c^{\left(-1+2\right)}\\
& = & a^{-2}b^{-2}c\\
& = & \frac{c}{a^{2}b^{2}}
\end{eqnarray*}

3. Himpunan penyelesaian dari $3^{2x}-6\cdot3^{x}<27$ adalah ....

Jawaban

\begin{eqnarray*}
3^{2x}-6\cdot3^{x} & < & 27\\
\left(3^{x}\right)^{2}-6\cdot3^{x}-27 & < & 0
\end{eqnarray*}
Misalkan $3^{x}=P$
\begin{eqnarray*}
P^{2}-6P-27 & < & 0\\
P^{2}-6P-27 & = & 0\\
\left(P-9\right)\left(P+3\right) & = & 0\\
P=9 & \text{atau} & P=-3
\end{eqnarray*}
Nilai $P$ yang memnuhi pada pertidaksamaan eksponen tersebut dapat dilihat pada garis bilangan berikut

Batas-batas yang memenuhi nilai $P$ adalah $-3<P<9$ sehingga
\begin{eqnarray*}
P>-3 & \text{dan} & P<9\\
3^{x}>-3 & \text{dan} & 3^{x}<9\\
\left(\text{tidak memenuhi}\right) & \text{dan} & 3^{x}<3^{2}\\
& & x<2
\end{eqnarray*}
Diperoleh $HP=\left\{ x|x<2\, x\in\mathbb{R}\right\} $

4. Akar-akar persamaan $x^{2}+(p+1)x-18=0$ adalah $\alpha$ dan $\beta$. Jika $\alpha+2\beta=0$ dan $p\geq0$, nilai $p$ = .....
Jawaban

\begin{eqnarray*}
\alpha+\beta & = & -\frac{b}{a}\\
& = & -\frac{\left(p+1\right)}{1}\\
\alpha+\beta & = & -p-1\\
\alpha\times\beta & = & \frac{c}{a}\\
& = & \frac{-18}{1}\\
\alpha\times\beta & = & -18
\end{eqnarray*}
Karena $\alpha+2\beta=0$ maka diperoleh $\alpha=-2\beta$. Substitusikan kedalam $\alpha\times\beta=-18$ menjadi
\begin{eqnarray*}
\alpha\times\beta & = & -18\\
-2\beta\times\beta & = & -18\\
-2\beta^{2} & = & -18\\
\beta^{2} & = & \frac{-18}{-2}\\
& = & 9\\
\beta & = & \sqrt{9}\\
\beta & = & 3
\end{eqnarray*}
Karena $\beta=3$ maka diperoleh $\alpha=-6$ maka
\begin{eqnarray*}
\alpha+\beta & = & -p-1\\
-6+3 & = & -p-1\\
-2 & = & -p\\
p & = & 2
\end{eqnarray*}

5. Dina, Ety dan Feby belanja di toko yang sama. Dina membeli 5 bungkus mie dan 2 kaleng susu kental seharga Rp 25.500,00. Ety membeli 10 bungkus mie dan 3 kaleng susu kental seharga Rp 42.000,00. Jika Feby membeli 1 bungkus mie dan 1 kaleng susu kental, Feby harus membayar sebesar ....

Jawaban

Misalkan $x=$ Mie dan $y=$ susu kental maka didapatkan persaman
\begin{eqnarray*}
5x+2y & = & 25.000\\
10x+3y & = & 42.000
\end{eqnarray*}
Eliminasi dua persamaan diatas mendapatkan nilai $y=8.000$. Untuk $y=8.000$ maka
\begin{eqnarray*}
5x+2\left(9.000\right) & = & 25.500\\
5x+18.000 & = & 25.500\\
5x & = & 7.500\\
x & = & 1.500
\end{eqnarray*}
Jadi, jika Feby membeli 1 bungkus mie dan 1 kaleng susu kental, Feby harus membayar sebesar $9.000,00+1.500,00=Rp\,10.500,00$

6. Persamaan garis singgung lingkaran $2x^{2}+2y^{2}-4x+8y-8=0$ yang sejajar dengan garis $5x+12y-15=0$ adalah ....
Jawaban

Persamaan lingkaran $2x^{2}+2y^{2}-4x+8y-8=0$ kita sederhanakan menjadi $x^{2}+y^{2}-2x+4y-4=0$. Kemudian kita mencari jari-jarinya dengan memanfaatkan kuadrat sempurna yaitu
\begin{eqnarray*}
x^{2}+y^{2}-2x+4y-4 & = & 0\\
\underset{\left(x-1\right)^{2}}{\underbrace{x^{2}-2x+1}}-1+\underset{\left(y+2\right)^{2}}{\underbrace{y^{2}+4y+4}}-4 & = & 4\\
\left(x-1\right)^{2}+\left(y+2\right)^{2} & = & 4+1+4\\
\left(x-1\right)^{2}+\left(y+2\right)^{2} & = & 9\\
\left(x-1\right)^{2}+\left(y+2\right)^{2} & = & 3^{2}
\end{eqnarray*}
Terlihat bahwa lingkaran tersebut berpusat di $P\left(1,-2\right)$ dengan $r=3$. Karena lingkaran tersebut sejajar dengan garis $5x+12y-15=0$ maka kita dapat mencari gradien garis $5x+12y-15=0$
\begin{eqnarray*}
5x+12y-15 & = & 0\\
12y & = & -5x+15\\
y & = & -\frac{5}{12}x+\frac{15}{12}
\end{eqnarray*}
Terlihat bahwa $=-\dfrac{5}{12}$. Persamaan garis singgung pada lingkaran $L\equiv\left(x-a\right)^{2}+\left(y-b\right)^{2}=r^{2}$ dengan gradien $m$ dapat ditentukan dengan rumus $\left(y-b\right)=m\left(x-a\right)\pm r\sqrt{m^{2}+1}$ dengan $a=1$ $b=-2$ $r=3$ dan $m=-\dfrac{5}{12}$ Sehingga kita dapatkan
\begin{eqnarray*}
y+2 & = & -\frac{5}{12}\left(x-1\right)\pm3\sqrt{\left(-\frac{5}{12}\right)^{2}+1}\\
y+2 & = & -\frac{5}{12}x+\frac{5}{12}\pm3\sqrt{\frac{25}{144}+\frac{144}{144}}\\
y+2 & = & -\frac{5}{12}x+\frac{5}{12}\pm3\sqrt{\frac{169}{144}}\\
y+2 & = & -\frac{5}{12}x+\frac{5}{12}\pm3\left(\frac{13}{12}\right)\\
12y+24 & = & -5x+5\pm39\\
5x+12y-20=0 & \text{atau} & 5x+12y+58=0
\end{eqnarray*}
Jadi ada dua garis singgung lingkaran yaitu $5x+12y-20=0\text{ atau }5x+12y+58=0$

Catatan :Cara lain mencari titik pusat dan jari-jari adalah jika persamaan lingkaran  $x^{2}+y^{2}+Ax+By+C=0$ maka jari-jari dihitung dengan
\[
P\left(-\frac{A}{2},-\frac{B}{2}\right)
\]
sedangkan $r=\sqrt{\left(-\frac{A}{2},\right)^{2}+\left(-\frac{B}{2}\right)^{2}-C}$

7. Diketahui fungsi $f\left(x\right)=3x+4$ dan $g\left(x\right)=\dfrac{4x-5}{2x+1},x\neq-\dfrac{1}{2}$,
invers $\left(f\circ g\right)\left(x\right)$ adalah ....

Jawaban

\begin{eqnarray*}
\left(f\circ g\right)\left(x\right) & = & f\left(g\left(x\right)\right)\\
& = & 3\left(\dfrac{4x-5}{2x+1}\right)+4\\
& = & \frac{12x-15}{2x+1}+4\\
& = & \frac{12x-15}{2x+1}+\frac{4\left(2x+1\right)}{2x+1}\\
& = & \frac{12x-15}{2x+1}+\frac{8x+4}{2x+1}\\
\left(f\circ g\right)\left(x\right) & = & \frac{20x-11}{2x+1}\\
y & = & \frac{20x-11}{2x+1}\\
2xy+y & = & 20x-11\\
20x-2xy & = & y+11\\
x\left(20-2y\right) & = & y+11\\
x & = & \frac{y+11}{20-2y}\\
\left(f\circ g\right)^{-1}\left(x\right) & = & \frac{x+11}{20-2x},x\neq10
\end{eqnarray*}
Cukup sekian dulu yah. Mengingat saya belum mendapatkan soalnya dalam bentuk full versi maka cukup 7 nomor dulu pembahasan Ujian Nasional matematika tahun 2014 ini. Mudah-mudahan saya cepat mendapatkan soalnya secara lengkap dan akan saya bahas langsung disini. Pantau terus blog kami di http://blogmatematika.net.

Pembahasan Soal-Soal Fungsi Komposisi Dan Invers Fungsi Format PDF

3:37:00 PM 0
Seperti yang sudah saya janjikan, saya akan mengupload pambahasan Soal-Soal Fungsi Komposisi Dan Invers Fungsi dalam format PDF sehingga mudah dipelajari di rumah maupun disekolah. Pembahasan ini dapat anda cetak, anda sebarkan, anda gandakan tanpa harus menunggu persetujuan dari saya. Para pembaca juga dapat melakukan penulisan ulang pada pembahasan yang saya buat ini. Intinya adalah semua itu diniatkan untuk berbagi.

Tulisan pada pembahasan dibawah ini menggunakan format $\LaTeX$ yang kemudian saya convert menjadi bentuk PDF. Anda dapat melihat tulisannya agak sedikit berbeda jika kita menggunakan Microsoft Word. Untuk penggunaan banyak equation saya lebih menyukai penggunaan $\LaTeX$ ketimbang Microsoft Word. Silahkan anda menyimpulkan sendiri. Jika ada yang ingin ditanyakan seputar pembahasan tersebut bisa menghubungi saya di kotak komentar di bawah ini maupun melalui facebook saya. Pertanyaan seputar $\LaTeX$ pun akan saya tanggapi secepatnya dan semampu saya. Berikut screen shoot cover ebooknya





Pembahasan Soal-Soal Fungsi Komposisi Dan Invers Fungsi Format PDF dapat anda download di link dibawah ini

DOWNLOAD PEMBAHASAN FUNGSI KOMPOSISI



Sekian dulu pembahasan yang dapat saya berikan. Mudah-mudahan dapat berguna bagi kita sekalian. Jika pembahasan diatas terdapat kesalahan agar kiranya dapat langsung menghubungi penulis lewat blog kami di Blog Matematika. Kesalahan penulisan maupun pengerjaan tidak terlepas dari kodrat kita sebagai manusia biasa. Jika anda memiliki ide yang lebih sederhana dapat langsung mengirimkannya juga di blog kami. Terima kasih


Minakarya, 9 Maret 2014

Penulis




Fendi Alfi Fauzi

Pembahasan Soal-Soal Fungsi Komposisi Dan Invers Fungsi (Lanjutan)

Pembahasan Soal-Soal Fungsi Komposisi Dan Invers Fungsi (Lanjutan)

3:13:00 PM 0
Melanjutkan postingan sebelumnya untuk soal yang belum tuntas. Kali ini akan saya tuntaskan dan sudah saya convert menjadi PDF. namun format PDF saya posting di postingan selanjutnya. Kali ini saya memposting sisa 6 soal yang nampaknya cukup lumayan tapi masih dalam kategori mudah. Mari kita lihat soal dan pembahasannya.Pembahasan kali ini agak sedikit panjang dan kurang praktis karena semua bagian di jelaskan secara detail. Bagi anda yang sudah paham mengenai konsep komposisi dan invers fungsi dapat langsung menggunakan trik-trik jitu yang anda pahami.

27. Dari fungsi $f$ dan $g$ diketahui $f\left(x\right)=2x^{2}+3x-5$ dan $g\left(x\right)=3x-2$. Agar $\left(g\circ f\right)\left(a\right)=-11$ maka nilai $a$ yang positif adalah ....

Jawaban

\begin{eqnarray*}
\left(g\circ f\right)\left(x\right) & = & g\left(f\left(x\right)\right)\\
& = & 3\left(2x^{2}+3x-5\right)-2\\
& = & 6x^{2}+9x-15-2\\
& = & 6x^{2}+9x-17\\
\left(g\circ f\right)\left(a\right) & = & 6a^{2}+9a-17\\
-11 & = & 6a^{2}+9a-17\\
6a^{2}+9a-6 & = & 0\\
2a^{2}+3a-2 & = & 0\\
\left(2a-1\right)\left(a+2\right) & = & 0\\
a=\frac{1}{2} & \text{atau} & a=-2
\end{eqnarray*}
Jadi $a$ positif adalah $a=\dfrac{1}{2}$

28. Diketahui $f\left(x\right)=\dfrac{1-x}{x}$ untuk setiap bilangan Real $x\neq1$. Jika $g:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ adalah suatu fungsi sehingga $\left(g\circ f\right)\left(x\right)=g\left(f\left(x\right)\right)=2x+1$ maka fungsi invers $g^{-1}\left(x\right)=$....

Jawaban

\begin{eqnarray*}
\left(g\circ f\right)\left(x\right) & = & 2x+1\\
g\left(f\left(x\right)\right) & = & 2x+1\\
f\left(\frac{1-x}{x}\right) & = & 2x+2
\end{eqnarray*}
Misalkan
\begin{eqnarray*}
t & = & \dfrac{1-x}{x}\\
tx & = & 1-x\\
tx+x & = & 1\\
x\left(t+1\right) & = & 1\\
x & = & \frac{1}{t+1}
\end{eqnarray*}
\begin{eqnarray*}
g\left(t\right) & = & 2\left(\frac{1}{t+1}\right)+1\\
& = & \frac{2}{t+1}+\frac{t+1}{t+1}\\
& = & \frac{t+3}{t+1}\\
g\left(x\right) & = & \frac{x+3}{x+1}\\
y & = & \frac{x+3}{x+1}\\
xy+y & = & x+3\\
x-xy & = & y-3\\
x\left(1-y\right) & = & y-3\\
x & = & \frac{y-3}{1-y}\\
g^{-1}\left(x\right) & = & \frac{x-3}{1-x},x\neq1
\end{eqnarray*}

29. Jika $f\left(x\right)=\dfrac{1}{x+1}$ dan $g\left(x\right)=\dfrac{2}{3-x},x\neq3$ maka $\left(f\circ g\right)^{-1}\left(x\right)=.....$
Jawaban

\begin{eqnarray*}
\left(f\circ g\right)\left(x\right) & = & f\left(g\left(x\right)\right)\\
& = & \frac{1}{{\displaystyle \dfrac{2}{3-x}+1}}\\
& = & \frac{1}{{\displaystyle \dfrac{2}{3-x}+\dfrac{\left(3-x\right)}{3-x}}}\\
& = & \frac{1}{\dfrac{5-x}{3-x}}\\
\left(f\circ g\right)\left(x\right) & = & \frac{3-x}{5-x}\\
y & = & \frac{3-x}{5-x}\\
5y-xy & = & 3-x\\
5y-3 & = & xy-x\\
5y-3 & = & x\left(y-1\right)\\
x & = & \frac{5y-3}{y-1}\\
\left(f\circ g\right)^{-1}\left(x\right) & = & \frac{5x-3}{x-1},x\neq1
\end{eqnarray*}

30. Jika $f\left(x\right)=\sqrt{x},x\geq0,$ dan $g\left(x\right)=\dfrac{x}{x+1},x\neq1$ maka $\left(g\circ f\right)\left(2\right)=$......

Jawaban

\begin{eqnarray*}
\left(g\circ f\right)\left(x\right) & = & g\left(f\left(x\right)\right)\\
\left(g\circ f\right)\left(x\right) & = & \frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}+1}\\
y & = & \frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}+1}\\
y\sqrt{x}+y & = & \sqrt{x}\\
\sqrt{x}-y\sqrt{x} & = & y\\
\sqrt{x}\left(1-y\right) & = & y\\
\sqrt{x} & = & \frac{y}{1-y}\\
\left(\sqrt{x}\right)^{2} & = & \left(\frac{y}{1-y}\right)^{2}\\
x & = & \left(\frac{y}{1-y}\right)^{2}\\
\left(g\circ f\right)^{-1}\left(x\right) & = & \left(\frac{x}{1-x}\right)^{2}\\
\left(g\circ f\right)^{-1}\left(2\right) & = & \left(\frac{2}{1-2}\right)^{2}\\
& = & \left(-2\right)^{2}\\
\left(g\circ f\right)^{-1}\left(2\right) & = & 4
\end{eqnarray*}

31. Diberikan fungsi $f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ dan $g:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ ditentukan oleh $f\left(x\right)=x^{3}$ dan $g\left(x\right)=3x-4$. Jika $a=\left(g^{-1}\circ f^{-1}\right)\left(8\right)$ maka nilai
dari $\left(f^{-1}\circ g^{-1}\right)\left(10a\right)$ adalah ....


Jawaban

\begin{eqnarray*}
g\left(x\right) & = & 3x-4\\
y & = & 3x-4\\
x & = & \frac{y+4}{3}\\
g^{-1}\left(x\right) & = & \frac{x+4}{3}
\end{eqnarray*}
\begin{eqnarray*}
f\left(x\right) & = & x^{3}\\
y & = & x^{3}\\
x & = & \sqrt[3]{y}\\
f^{-1}\left(x\right) & = & \sqrt[3]{x}
\end{eqnarray*}
\begin{eqnarray*}
\left(g^{-1}\circ f^{-1}\right)\left(x\right) & = & g^{-1}\left(f^{-1}\left(x\right)\right)\\
\left(g^{-1}\circ f^{-1}\right)\left(x\right) & = & \frac{\sqrt[3]{x}+4}{3}\\
\left(g^{-1}\circ f^{-1}\right)\left(8\right) & = & \frac{\sqrt[3]{8}+4}{3}\\
a & = & \frac{2+4}{3}\\
a & = & 2
\end{eqnarray*}
\begin{eqnarray*}
\left(f^{-1}\circ g^{-1}\right)\left(x\right) & = & f^{-1}\left(g^{-1}\left(x\right)\right)\\
& = & \sqrt[3]{\frac{x+4}{3}}\\
\left(f^{-1}\circ g^{-1}\right)\left(10a\right) & = & \sqrt[3]{\frac{10a+4}{3}}\\
& = & \sqrt[3]{\frac{10\left(2\right)+4}{3}}\\
& = & \sqrt[3]{\frac{20+4}{3}}\\
& = & \sqrt[3]{8}\\
\left(f^{-1}\circ g^{-1}\right)\left(10a\right) & = & 2
\end{eqnarray*}

32. Fungsi $f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ ditentukan oleh $f\left(x\right)=3x-1$ dan $g:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ memenuhi $\left(f\circ g\right)^{-1}\left(x\right)={\displaystyle \frac{1}{6}x-\frac{4}{3}}$ maka $g\left(x\right)=$....


Jawaban

\begin{eqnarray*}
f\left(x\right) & = & 3x-1\\
y & = & 3x-1\\
x & = & \frac{y+1}{3}\\
f^{-1}\left(x\right) & = & \frac{x+1}{3}
\end{eqnarray*}
\begin{eqnarray*}
\left(f\circ g\right)^{-1}\left(x\right) & = & f^{-1}\left(g^{-1}\left(x\right)\right)\\
\frac{\left(g^{-1}\left(x\right)\right)+1}{3} & = & {\displaystyle \frac{1}{6}x-\frac{4}{3}}\\
\left(g^{-1}\left(x\right)\right)+1 & = & {\displaystyle \frac{3}{6}x-\frac{12}{3}}\\
\left(g^{-1}\left(x\right)\right) & = & {\displaystyle \frac{3}{6}x-\frac{12}{3}}-1\\
g^{-1}\left(x\right) & = & \frac{3}{6}x-\frac{15}{3}
\end{eqnarray*}
Kita sudah mengetahui bahwa $\left(g^{-1}\right)^{-1}\left(x\right)=g\left(x\right)$ sehingga tugas kita tinggal meng inverskan saja fungsi $g^{-1}\left(x\right)$ diatas menjadi
\begin{eqnarray*}
g^{-1}\left(x\right) & = & \frac{3}{6}x-\frac{15}{3}\\
y & = & \frac{3}{6}x-\frac{15}{3}\\
y & = & \frac{3x-30}{6}\\
6y & = & 3x-30\\
3x & = & 6y+30\\
x & = & \frac{6y+30}{3}\\
x & = & 2y+10\\
g\left(x\right) & = & 2x+10
\end{eqnarray*}



Sekian dulu pembahasan yang dapat saya berikan. Mudah-mudahan dapat berguna bagi kita sekalian. Jika pembahasan diatas terdapat kesalahan agar kiranya dapat langsung menghubungi penulis lewat blog kami di http://blogmatematika.net. Kesalahan penulisan maupun pengerjaan tidak terlepas dari kodrat kita sebagai manusia biasa. Jika anda memiliki ide yang lebih sederhana dapat langsung mengirimkannya juga di blog kami. Terima kasih 


Minakarya, 9 Maret 2014 

Penulis 


Fendi Alfi Fauzi
Pembahasan Soal-Soal Fungsi Komposisi Dan Invers Fungsi (Lanjutan)

Pembahasan Soal-Soal Fungsi Komposisi Dan Invers Fungsi (Lanjutan)

2:51:00 PM 0
Untuk postingan yang kemaren saya sudah berusaha untuk membahas kurang lebih 20 nomor soal tentang fungsi komposisi. Nah kesempatan kali ini saya ingin membahas kembali beberapa soal saja kurang lebih 6 nomor dan sisa 6 nomor lagi akan saya posting di pembahasan berikutnya. Pembahasan kali ini tetap sama seperti yang kemarin yakni menggunakan spoiler berbasis CSS. Mari kita coba membahas soalnya.

21. Ditentukan $g\left(f\left(x\right)\right)=f\left(g\left(x\right)\right)$, jika $f\left(x\right)=2x+p$ dan $g\left(x\right)=3x+120$, maka nilai $p$ adalah ....

Jawaban

\begin{eqnarray*}
g\left(f\left(x\right)\right) & = & 3\left(2x+p\right)+120\\
& = & 6x+3p+120
\end{eqnarray*}
\begin{eqnarray*}
f\left(g\left(x\right)\right) & = & 2\left(3x+120\right)+p\\
& = & 6x+240+p
\end{eqnarray*}
Karena $g\left(f\left(x\right)\right)=f\left(g\left(x\right)\right)$ maka
\begin{eqnarray*}
6x+3p+120 & = & 6x+240+p\\
2p & = & 120\\
p & = & 60
\end{eqnarray*}

22. Jika $f\left(3+2x\right)=4-2x+x^{2}$, maka $f\left(1\right)=.....$

Jawaban

Diketahui : $f\left(3+2x\right)=4-2x+x^{2}$.
Misalkan
\begin{eqnarray*}
y & = & 3+2x\\
x & = & \frac{y-3}{2}
\end{eqnarray*}
\begin{eqnarray*}
f\left(y\right) & = & 4-2\left(\frac{y-3}{2}\right)+\left(\frac{y-3}{2}\right)^{2}\\
& = & 4-y+3+\frac{1}{4}\left(y^{2}-6y+9\right)\\
& = & 7-y+\frac{y^{2}}{4}-\frac{6y}{4}+\frac{9}{4}\\
& = & \frac{28}{4}-\frac{4y}{4}+\frac{y^{2}}{4}-\frac{6y}{4}+\frac{9}{4}\\
& = & \frac{y^{2}}{4}-\frac{10y}{4}+\frac{37}{4}\\
f\left(x\right) & = & \frac{x^{2}}{4}-\frac{10x}{4}+\frac{37}{4}\\
f\left(1\right) & = & \frac{1}{4}-\frac{10}{4}+\frac{37}{4}\\
& = & \frac{28}{4}\\
f\left(1\right) & = & 7
\end{eqnarray*}

23. Dari fungsi $f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ dan $g:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ diketahui bahwa $f\left(x\right)=x+3$ dan $\left(f\circ g\right)\left(x\right)=x^{2}+6x+7$ maka $g\left(-1\right)=$. ....

Jawaban

\begin{eqnarray*}
\left(f\circ g\right)\left(x\right) & = & x^{2}+6x+7\\
f\left(g\left(x\right)\right) & = & x^{2}+6x+7\\
g\left(x\right)+3 & = & x^{2}+6x+7\\
g\left(x\right) & = & x^{2}+6x+4\\
g\left(-1\right) & = & 1-6+4\\
g\left(-1\right) & = & -1
\end{eqnarray*}

24. Diberikan fungsi $f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ dan $g:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ ditentukan oleh $g\left(x\right)=x^{2}-3x+1$. Jika $\left(f\circ g\right)\left(x\right)=2x^{2}-6x-1$ maka $f\left(x\right)=....$

Jawaban

\begin{eqnarray*}
f\left(g\left(x\right)\right) & = & 2x^{2}-6x-1\\
f\left(x^{2}-3x+1\right) & = & 2x^{2}-6x-1
\end{eqnarray*}
Misalkan
\begin{eqnarray*}
y & = & x^{2}-3x+1\\
y & = & \left(x-1,5\right)\left(x-1,5\right)-1,25\\
y & = & \left(x-1,5\right)^{2}-1,25\\
y+1,25 & = & \left(x-1,5\right)^{2}\\
\sqrt{y+1,25} & = & x-1,5\\
x & = & \sqrt{y+1,25}+1,5
\end{eqnarray*}
\begin{eqnarray*}
f\left(y\right) & = & 2\left(\sqrt{y+1,25}+1,5\right)^{2}-6\left(\sqrt{y+1,25}+1,5\right)-1\\
& = & 2\left(y+1,25+3\sqrt{y+1,25}+2,25\right)-6\left(\sqrt{y+1,25}+1,5\right)-1\\
& = & 2y+2,5+6\sqrt{y+1,25}+4,5-6\sqrt{y+1,25}-9-1\\
& = & 2y+7-9-1\\
f\left(y\right) & = & 2y-3\\
f\left(x\right) & = & 2x-3
\end{eqnarray*}

25. Suatu pemetaan $f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ dengan $\left(g\circ f\right)\left(x\right)=2x^{2}+4x+5$
dan $g\left(x\right)=2x+3$ maka $f\left(x\right)=$.....


Jawaban

\begin{eqnarray*}
g\left(f\left(x\right)\right) & = & 2x^{2}+4x+5\\
2f\left(x\right)+3 & = & 2x^{2}+4x+5\\
2f\left(x\right) & = & 2x^{2}+4x+2\\
f\left(x\right) & = & x^{2}+2x+1
\end{eqnarray*}

26. Jika fungsi $f$ dan $g$ adalah $f:x\to2x^{\frac{2}{3}}$ dan $g:x\to x^{\frac{2}{3}}$ maka $\left(g\circ f^{-1}\right)\left(\sqrt{2}\right)$ adalah ....

Jawaban
 
\begin{eqnarray*}
f\left(x\right) & = & 2x^{\frac{2}{3}}\\
y & = & 2x^{\frac{2}{3}}\\
y^{3} & = & 2x^{2}\\
x^{2} & = & \frac{y^{3}}{2}\\
x & = & \sqrt{\frac{y^{3}}{2}}\\
f^{-1}\left(x\right) & = & \sqrt{\frac{x^{3}}{2}}
\end{eqnarray*}
\begin{eqnarray*}
\left(g\circ f^{-1}\right)\left(x\right) & = & g\left(f^{-1}\left(x\right)\right)\\
& = & \left(\sqrt{\frac{x^{3}}{2}}\right)^{\frac{2}{3}}\\
& = & \left(\left(\frac{x^{3}}{2}\right)^{\frac{1}{2}}\right)^{\frac{2}{3}}\\
& = & \left(\frac{x^{3}}{2}\right)^{\frac{1}{3}}\\
\left(g\circ f^{-1}\right)\left(x\right) & = & \frac{x}{2^{\frac{1}{3}}}\\
\left(g\circ f^{-1}\right)\left(x\right) & = & x\cdot2^{-\frac{1}{3}}\\
\left(g\circ f^{-1}\right)\left(\sqrt{2}\right) & = & 2^{\frac{1}{2}}\cdot2^{-\frac{1}{3}}\\
& = & 2^{\frac{1}{2}-\frac{1}{3}}\\
\left(g\circ f^{-1}\right)\left(\sqrt{2}\right) & = & 2^{\frac{1}{6}}
\end{eqnarray*}

Sekian dulu yah. Pembahasan selanjutnya saya posting pada postingan mendatang. Selamat belajar

Membahas Soal-Soal Fungsi Komposisi Dan Invers Fungsi (Lanjutan)

2:32:00 PM 0
Sudah hampir satu bulan saya tidak melanjutkan pembahasan mengenai fungsi komposisi dan fungsi invers seperti yang sudah saya janjikan. Dalam postingan sebelumnya  saya menjanjikan membahas 10 nomor soal mengenai fungsi komposisi dan fungsi invers  dan pada akhir postingan pembahasan saya berikan pembahasan dalam bentuk PDF. Namun karena kesibukan yang mendadak saya belum bisa memberikan pembahasan dalam bentuk PDF namun saya akan melanjutkan pembahasan nomor 11 sampai nomor 20.



Soal-soal yang saya bahas disini tentunya tidak terlalu rumit dan masih bisa dijangkau oleh pemikiran siswa SMA di desa. Soal pembahasan ini juga sebagian diambil dari soal Ujian Nasional dan kumpulan soal-soal latihan di buku. Postingan tetap menggunakan spoiler untuk menghemat area postingan. Silahkan belajar dengan mengerjakan soalnya dulu dan jika sudah mendapatkan jawabannya bisa dicocokkan dengan membuka spoiler yang sudah saya sediakan.

11. Bila $f\left(x\right)=\dfrac{x+2}{3-x}$ dengan $x\neq3$ maka invers dari $f\left(x\right)$ adalah $f^{-1}\left(x\right)=.....$

Jawaban
 
\begin{eqnarray*}
f\left(x\right) & = & \dfrac{x+2}{3-x}\\
y & = & \dfrac{x+2}{3-x}\\
3y-xy & = & x+2\\
3y-2 & = & x+xy\\
3y-2 & = & x\left(1+y\right)\\
x & = & \frac{3y-2}{1+y}\\
f^{-1}\left(x\right) & = & \frac{3x-2}{1+x},x\neq-1
\end{eqnarray*}


12. Invers dari $f\left(x\right)=\left(1-x^{3}\right)^{\frac{1}{5}}+2$ adalah....

Jawaban

\begin{eqnarray*}
f\left(x\right) & = & \left(1-x^{3}\right)^{\frac{1}{5}}+2\\
y & = & \left(1-x^{3}\right)^{\frac{1}{5}}+2\\
y-2 & = & \left(1-x^{3}\right)^{\frac{1}{5}}\\
\left(y-2\right)^{5} & = & 1-x^{3}\\
x^{3} & = & 1-\left(y-2\right)^{5}\\
x & = & \sqrt[3]{1-\left(y-2\right)^{5}}\\
x & = & \left(1-\left(y-2\right)^{5}\right)^{\frac{1}{3}}\\
f^{-1}\left(x\right) & = & \left(1-\left(x-2\right)^{5}\right)^{\frac{1}{3}}
\end{eqnarray*}

13. Jika $f\left(x\right)=3^{x-1}$ maka $f^{-1}\left(81\right)=$.....

Jawaban

\begin{eqnarray*}
f\left(x\right) & = & 3^{x-1}\\
y & = & 3^{x-1}\\
y & = & 3^{x}\cdot3^{-1}\\
y & = & 3^{x}\cdot\frac{1}{3}\\
3y & = & 3^{x}\\
x & = & ^{3}\log\left(3y\right)\\
f^{-1}\left(x\right) & = & ^{3}\log\left(3x\right)\\
f^{-1}\left(81\right) & = & ^{3}\log\left(3\cdot81\right)\\
& = & ^{3}\log\left(243\right)\\
& = & ^{3}\log\left(3^{5}\right)\\
& = & 5\cdot^{3}\log3\\
& = & 5\times1\\
f^{-1}\left(81\right) & = & 5
\end{eqnarray*}

14. Fungsi $f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ dan $g:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ dirumuskan dengan $f\left(x\right)=\dfrac{1}{2}x-1$ dan $g\left(x\right)=2x+4$ maka $\left(g\circ f\right)^{-1}\left(10\right)$ adalah ....

Jawaban
\begin{eqnarray*}
\left(g\circ f\right)\left(x\right) & = & g\left(f\left(x\right)\right)\\
& = & 2\left(\frac{1}{2}x-1\right)+4\\
& = & x-2+4\\
& = & x+2
\end{eqnarray*}
\begin{eqnarray*}
\left(g\circ f\right)\left(x\right) & = & y\\
y & = & x+2\\
x & = & y-2\\
\left(g\circ f\right)^{-1}\left(x\right) & = & x-2\\
\left(g\circ f\right)^{-1}\left(10\right) & = & 10-2\\
& = & 8
\end{eqnarray*}

15. Jika $f^{-1}\left(x\right)=\dfrac{x-1}{5}$ dan $g^{-1}\left(x\right)=\dfrac{3-x}{2}$ maka $\left(f\circ g\right)^{-1}\left(6\right)=....$

Jawaban

\begin{eqnarray*}
\left(f\circ g\right)^{-1}\left(x\right) & = & \left(f^{-1}\circ g^{-1}\right)\left(x\right)\\
& = & \frac{\left(\dfrac{3-x}{2}\right)-1}{5}\\
& = & \frac{\left(\dfrac{3-x}{2}\right)-\dfrac{2}{2}}{5}\\
& = & \frac{\dfrac{1-x}{2}}{5}\\
\left(f\circ g\right)^{-1}\left(x\right) & = & \frac{1-x}{10}\\
\left(f\circ g\right)^{-1}\left(6\right) & = & \frac{1-6}{10}\\
& = & \frac{-5}{10}\\
& = & -\frac{1}{2}
\end{eqnarray*}

16. Jika $f\left(x\right)=\dfrac{1}{x-1}$ dan $g\left(x\right)=x-2$ maka $\left(g\circ f\right)^{-1}\left(x\right)$= .......

Jawaban

\begin{eqnarray*}
\left(g\circ f\right)\left(x\right) & = & g\left(f\left(x\right)\right)\\
& = & \frac{1}{x-1}-2\\
& = & \frac{1}{x-1}-\frac{2\left(x-1\right)}{x-1}\\
& = & \frac{1}{x-1}-\frac{2x+2}{x-1}\\
\left(g\circ f\right)\left(x\right) & = & \frac{-2x+3}{x-1}\\
\left(g\circ f\right)\left(x\right) & = & y\\
y & = & \frac{-2x+3}{x-1}\\
xy-y & = & -2x+3\\
xy+2x & = & y+3\\
x\left(y+2\right) & = & y+3\\
x & = & \frac{y+3}{y+2}\\
\left(g\circ f\right)^{-1}\left(x\right) & = & \frac{x+3}{x+2},x\neq-2
\end{eqnarray*}

17. Diketahui $f\left(x\right)=^{5}\log\, x$ dan $g\left(x\right)=\dfrac{x+3}{3x-4}$ maka $\left(f\circ g\right)^{-1}\left(x\right)=.......$

Jawaban

\begin{eqnarray*}
\left(f\circ g\right)\left(x\right) & = & f\left(g\left(x\right)\right)\\
\left(f\circ g\right)\left(x\right) & = & ^{5}\log\left(\dfrac{x+3}{3x-4}\right)\\
\left(f\circ g\right)^{-1}\left(x\right) & = & y\\
y & = & ^{5}\log\left(\dfrac{x+3}{3x-4}\right)\\
5^{y} & = & \dfrac{x+3}{3x-4}\\
3x\cdot5^{y}-4\cdot5^{y} & = & x+3\\
3x\cdot5^{y}-x & = & 4\cdot5^{y}+3\\
x\left(3\cdot5^{y}-1\right) & = & 4\cdot5^{y}+3\\
x & = & \frac{4\cdot5^{y}+3}{3\cdot5^{y}-1}\\
\left(f\circ g\right)^{-1}\left(x\right) & = & \frac{4\cdot5^{x}+3}{3\cdot5^{x}-1}
\end{eqnarray*}

18. Jika $\left(f\circ g\right)\left(x\right)=4x^{2}+8x-3$ dan $g\left(x\right)=2x+4$ maka $f^{-1}\left(x\right)=$......

Jawaban

\begin{eqnarray*}
\left(f\circ g\right)\left(x\right) & = & f\left(g\left(x\right)\right)\\
f\left(g\left(x\right)\right) & = & 4x^{2}+8x-3\\
f\left(2x+4\right) & = & 4x^{2}+8x-3
\end{eqnarray*}
Misalkan $u=2x+4$ maka $2x=u-4\Rightarrow x=\dfrac{u-4}{2}$
\begin{eqnarray*}
f\left(u\right) & = & 4\left(\dfrac{u-4}{2}\right)^{2}+8\left(\dfrac{u-4}{2}\right)-3\\
& = & 4\left(\frac{1}{4}\left(u^{2}-8u+16\right)\right)+4u-16-3\\
& = & u^{2}-8u+16+4u-16-3\\
& = & u^{2}-4u-3\\
f\left(x\right) & = & x^{2}-4x-3
\end{eqnarray*}
Misalkan $f\left(x\right)=y$ maka
\begin{eqnarray*}
y & = & x^{2}-4x-3\\
y & = & x^{2}-4x+4-7\\
y & = & \left(x-2\right)^{2}-7\\
y+7 & = & \left(x-2\right)^{2}\\
x-2 & = & \sqrt{y+7}\\
x & = & \sqrt{y+7}+2\\
f^{-1}\left(x\right) & = & \sqrt{x+7}+2
\end{eqnarray*}

19. Diketahui fungsi $f$ dan $g$ dinyatakan dengan $f\left(x\right)=2x+4,g\left(x\right)=\dfrac{2x+5}{x-4}$ dan $h\left(x\right)=\left(g\circ f^{-1}\right)\left(x\right)$ dengan $f^{-1}$ adalah fungsi invers dari $f$ dan $h^{-1}$ adalah invers dari $h$. Rumus fungsi $h^{-1}\left(x\right)$ adalah ....

Jawaban

\begin{eqnarray*}
f\left(x\right) & = & 2x+4\\
y & = & 2x+4\\
2x & = & y-4\\
x & = & \frac{y-4}{2}\\
f^{-1}\left(x\right) & = & \frac{x-4}{2}
\end{eqnarray*}
\begin{eqnarray*}
\left(g\circ f^{-1}\right)\left(x\right) & = & g\left(f^{-1}\left(x\right)\right)\\
& = & \frac{2\left({\displaystyle \frac{x-4}{2}}\right)+5}{\left({\displaystyle \frac{x-4}{2}}\right)-4}\\
& = & \frac{x-4+5}{\dfrac{x-4}{2}-\dfrac{8}{2}}\\
& = & \frac{x+1}{\dfrac{x-12}{2}}\\
h\left(x\right) & = & \frac{2x+2}{x-12}
\end{eqnarray*}
Misalkan $h\left(x\right)=y$ maka
\begin{eqnarray*}
y & = & {\displaystyle \frac{2x+2}{x-12}}\\
xy-12y & = & 2x+2\\
xy-2x & = & 12y+2\\
x\left(y-2\right) & = & 12y+2\\
x & = & \frac{12y+2}{y-2}\\
h^{-1}\left(x\right) & = & \frac{12x+2}{x-2}
\end{eqnarray*}

20. Fungsi $f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ dan $g:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ ditentukan oleh $f\left(x\right)=x+2$ dan $g\left(x\right)=2x$. Jumlah akar-akar persamaan $\left(g\circ f\right)\left(x^{2}-24x\right)=0$ adalah ....

Jawaban

\begin{eqnarray*}
\left(g\circ f\right)\left(x\right) & = & g\left(f\left(x\right)\right)\\
& = & 2\left(x+2\right)\\
\left(g\circ f\right)\left(x\right) & = & 2x+4\\
y & = & 2x+4\\
2x & = & y-4\\
x & = & \frac{y-4}{2}\\
\left(g\circ f\right)^{-1}\left(x\right) & = & \frac{x-4}{2}
\end{eqnarray*}
\begin{eqnarray*}
\left(g\circ f\right)^{-1}\left(x^{2}-24x\right) & = & \frac{\left(x^{2}-24x\right)-4}{2}\\
0 & = & \frac{x^{2}-24x-4}{2}\\
x^{2}-24x-4 & = & 0
\end{eqnarray*}
Berdasarkan teorema Vieta diperoleh
\begin{eqnarray*}
x_{1}+x_{2} & = & -\dfrac{b}{a}\\
& = & -\frac{\left(-24\right)}{1}\\
& = & 24
\end{eqnarray*}

Pada postingan pembahasan selanjutnya Insya Allah akan saya berikan pembahasan dalam bentuk PDF. Mengingat banyaknya equation yang cukup merepotkan penulisan namun akan tetap saya usahakan untuk bisa segera diposting dan dinikmati oleh pembaca. Sekian dulu postingan saya kali ini. Jika ada trik yang lebih singkat dan cepat, silahkan komentar di bawah.

Lomba Penulisan Karya Tulis Ilmiah Forum Komunikasi Mahasiswa Toili

12:41:00 PM 0

Dalam rangka kegiatan lomba tulis karya ilmiah yang diadakan oleh Forum Komunikasi Mahasiswa Toili (PANPEL) maka dari itu kami informasikan bagi seluruh anggota Forum Komunikasi Mahasiswa Toili bahwa pada hari ini telah dibuka kesempatan untuk memasukkan karya tulis ilmiahnya dalam bentuk artikel di grup (FKMT GORONTALO dan KELUARGA BESAR FKMT). Bagi yang belum bergabung di Grup bisa langsung bawa artikelnya dalam bentuk file kesekretariat FKMT.


HTML5

Catatan:





  1. Pemasukan artikel berakhir pada tnggal 13 April 2014

  2. Tulisan yang dikumpulkan akan diterbitkan dalam bentuk buku.

  3. Tema penulisan terbagi atas 2 yaitu Toili Raya dan FKMT

  4. Total Hadiah 500 Ribu bagi 3 orang pemenang

Cp: Rusdi (082187554313 atau 085756292674)
Thanks. Mohon Partisipasinya.
Sebarkan!!!

Untuk info lebih lanjut terkait mekanisme penulisan:

  1. Huruf yang digunakan adalah Comic Sans/Times New Roman

  2. Tulisan berisi minimal 500 kata

  3. Tema penulisan: Toili raya (seluruh aspek yang punnya kaitan persoalan dgn dataran toili) dan FKMT (seluruh aspek yang punya kaitan persoalan dgn FKMT)

  4. Tulisan yang sudah terkumpul akan dibukukan (menjadi buku pertama FKMT)

So…Mari kita budayakan menulis!!!

Perubahan ada ditangan kita!!



Beberapa Pamflet dan Banner Pendukung Kegiatan lihat di http://blogfkmt.wordpress.com …… Silahkan dilihat, dibaca, Dicetak juga bisa, disebarkan juga bisa

Menentukan Akar-Akar Persamaan Kuadrat dengan Menggunakan Rumus Kuadrat(Rumus abc)

Menentukan Akar-Akar Persamaan Kuadrat dengan Menggunakan Rumus Kuadrat(Rumus abc)

2:05:00 PM 0
Metode melengkapkan kuadrat sempurna kadang dirasa cukup rumit jika bentuk persamaan kuadratnya berbentuk bilangan pecahan maupun bilangan desimal. Nah, dalam materi kali ini akan dibahas perluasan dari metode melengkapkan kuadrat sempurna yang dikenal dengan rumus kuadrat atau rumus $abc$. Rumus kuadrat diperoleh dari proses melengkapkan kuadrat sempurna pada persamaan kuadrat $ax^{2}+bx+c=0$.

Manipulasi aljabar dalam proses melengkapkan kuadrat sempurna untuk persamaan kuadrat $ax^{2}+bx+c=0$ dapat kita simak sebagai berikut
\begin{eqnarray*}
ax^{2}+bx+c & = & 0\\
ax^{2}+bx & = & -c\\
x^{2}+\frac{b}{a}x & = & -\frac{c}{a}\\
x^{2}+\frac{b}{a}x+\left(\frac{b}{2a}\right)^{2} & = & -\frac{c}{a}+\left(\frac{b}{2a}\right)^{2}\\
\underset{\left(x+\frac{b}{2a}\right)^{2}}{\underbrace{x^{2}+\frac{b}{a}x+\frac{b^{2}}{4a^{2}}}} & = & \frac{b^{2}}{4a^{2}}-\frac{c}{a}\\
\left(x+\frac{b}{2a}\right)^{2} & = & \frac{b^{2}-4ac}{4a^{2}}\\
\left(x+\frac{b}{2a}\right) & = & \sqrt{\frac{b^{2}-4ac}{4a^{2}}}\\
\left(x+\frac{b}{2a}\right) & = & \pm\frac{1}{2a}\sqrt{b^{2}-4ac}\\
\left(x+\frac{b}{2a}\right) & = & \pm\frac{\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}\\
x & = & -\frac{b}{2a}\pm\frac{\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}\\
x & = & \frac{-b\pm\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}\\
x=\frac{-b+\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} & \text{atau} & x=\frac{-b-\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}
\end{eqnarray*}
Dari uraian panjang diatas dapat kita simpulkan bahwa
Misalkan $a,b$ dan $c$ bilangan-bilangan real dan $a\neq0$, maka akar-akar persamaan kuadrat $ax^{2}+bx+c=0$ dapat ditentukan dengan
\[
x_{1}=\frac{-b+\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}\,\,\,\,\text{atau}\,\,\,\, x_{2}=\frac{-b-\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}
\]

Rumus kuadrat ini dianggap rumus paling mudah digunakan untuk mencari akar-akar persamaan kuadrat. Oleh karen itu, diharapkan kepada para siswa agar memahami rumus ini, dan kalau perlu dihapalkan. Untuk lebih memahami penggunaan rumus diatas, silahkan simak contoh berikut.


CONTOH 
Dengan menggunakan rumus kuadrat, tentukan akar-akar persamaan kuadrat berikut
a. $x^{2}-6+8=0$
b. $3x^{2}-4x+\frac{1}{3}=0$

JAWAB
a. Koefisien dari $x^{2}-6+8=0$ adalah $a=1,b=-6$ dan $c=8$
\begin{eqnarray*}
x_{1,2} & = & \frac{-b\pm\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}\\
& = & \frac{-\left(-6\right)\pm\sqrt{\left(-6\right)^{2}-4\left(1\right)\left(8\right)}}{2\left(1\right)}\\
& = & \frac{6\pm\sqrt{36-32}}{2}\\
& = & \frac{6\pm\sqrt{4}}{2}\\
x & = & \frac{6\pm2}{2}\\
x_{1}=\frac{6+2}{2} & \text{atau} & x_{2}=\frac{6-2}{2}\\
x_{1}=4 & \text{atau} & x_{2}=2
\end{eqnarray*}
Jadi himpunan penyelesaiannya adalah $HP=\left\{ 2,4\right\} $

b. Koefisien dari $3x^{2}-4x+\frac{1}{3}=0$ adalah $a=3,b=-4$
dan $c=\frac{1}{3}$}
\begin{eqnarray*}
x_{1,2} & = & \frac{-b\pm\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}\\
& = & \frac{-\left(-4\right)\pm\sqrt{\left(-4\right)^{2}-4\left(3\right)\left(\frac{1}{3}\right)}}{2\left(3\right)}\\
& = & \frac{4\pm\sqrt{16-4}}{6}\\
& = & \frac{4\pm\sqrt{12}}{6}\\
x & = & \frac{4\pm2\sqrt{3}}{6}\\
x_{1}=\frac{4+2\sqrt{3}}{6} & \text{atau} & x_{2}=\frac{4-2\sqrt{3}}{6}\\
x_{1}=\frac{2+\sqrt{3}}{3} & \text{atau} & x_{2}=\frac{2-\sqrt{3}}{3}
\end{eqnarray*}

Jadi himpunan penyelesaiannya adalah $HP=\left\{ {\displaystyle \frac{2-\sqrt{3}}{3},\frac{2+\sqrt{3}}{3}}\right\} $

Contoh berikut mungkin akan memberikan pemahaman lain untuk anda. Anda mungkin akan terkejut melihat penyelesaian dari persamaan berikut.

CONTOH
Dengan menggunakan rumus kuadrat, tentukan akar-akar persamaan kuadrat $2x^{2}+3x+5=0$}

JAWAB
Koefisien dari $2x^{2}+3x+5=0$ adalah $a=2,b=3$ dan $c=5$.
\begin{eqnarray*}
x_{1,2} & = & \frac{-b\pm\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}\\
& = & \frac{-3\pm\sqrt{3^{2}-4\left(2\right)\left(5\right)}}{2\left(2\right)}\\
& = & \frac{-3\pm\sqrt{9-40}}{4}\\
& = & \frac{-3\pm\sqrt{-31}}{4}
\end{eqnarray*}
Perhatikan bahwa dalam tanda akar muncul bilangan negatif yaitu $\sqrt{-31}$. Hal ini bertentangan dengan sifat pada melengkapkan kuadrat sempurna yang sudah kita pelajari bahwa $\sqrt{p}$ dengan $p\geq0$. Nah bagaimana jika $p<0$

Jika $\sqrt{p}$ dengan $p<0$ maka dapat disimpulkan bahwa persamaan kuadrat $2x^{2}+3x+5=0$ tidak memiliki pernyelesaian. Himpunan penyelesaiannya adalah himpunan kosong atau dapat dilambangkan dengan $\emptyset$.

Jika kita berbicara tentang $\sqrt{-31}$ maka kita akan belajar tentang bilangan imajiner (bilangan khayal). Kenapa dikatakan bilangan khayal ? Karena bilangan tersebut ada, tetapi ada dalam khayalan kita namun
tidak bisa kita tuliskan. Untuk lebih jelasnya perhatikan ilustrasi berikut

  • $\sqrt{4}=2$ karena $2\times2=4$

  • $\sqrt{16}=4$ karena $4\times4=16$

  • $\sqrt{-16}=?$ jika kita mengatakan $\sqrt{-16}=-4$ tentu saja salah karena $\left(-4\right)\times\left(-4\right)=16$ . Bilangan $\sqrt{-16}$ itu ada, namun berada dalam khayalan kita, sehingga para pakar matematika memberikan nama bilangan imajiner yang dilambangkan dengan $i$ dengan
    defenisi $i^{2}=-1$. Sehingga dapat dengan mudah kita menyebutkan bahwa $\sqrt{-16}=\sqrt{\left(-1\right)16}=\sqrt{\left(-1\right)}\times\sqrt{16}=4\sqrt{-1}$. Karena berdasarkan defenisi $i^{2}=-1$ maka $i=\sqrt{-1}$ sehingga kita dapat menuliskan $\sqrt{-16}=4i$.

Sebagai bahan tambahan kita tentang bilangan imajiner yaitu sifat-sifat imajiner yaitu

  • $i^{2}=\left(\sqrt{-1}\right)^{2}=-1$

  • $i^{3}=i^{2}\cdot i=-i$

  • $i^{4}=i^{2}\cdot i^{2}=1$

  • $i^{5}=i^{4}\cdot i=i$

  • Dan seterusnya

Pembahasan bilangan imajiner dalam matematika lanjutan dikenal pada materi analisis kompleks atau peubah kompleks.

Cara Membackup Blog Dengan Mudah

1:39:00 PM 5
Ketika saya membuka blog teman saya, saya melihat blognya dihapus oleh blogger. Tentu saja saya kaget melihatnya. Karena penasaran saya mulai menjelajah ke facebooknya dan ternyata benar bahwa blognya sudah di hapus oleh blogger. Entah kenapa blog tersebut sampai dihapus. Berikut saya berikan screen shoot dari terhapusnya blog tersebut.

Padahal blog tersebut sudah banyak pengunjungnya dan sudah memiliki pagerank 1. Sudah lumayanlah untuk ukuran blog pribadi. Saya sendiri pun belum bisa mendapatkan pagerank 1 dari google. Tapi tetap bersabar saja mudah-mudahan google bisa menaikkan pagerank ku. hehe.


Untuk menghindari hal tersebut saya mulai mencari-cari artikel tentang kenapa blogger menghapus sebuah blog dan ternyata ketemu jawabannya. Jawabannya ternyata sudah di jawab sendiri oleh blogger yang dapat anda lihat disini. Dari situs tersebut dapat langsung saya simpulkan bahwa blogger akan menghapus blog seseorang jika melanggar aturan yang sudah di tetapkan walaupun blog tersebut sudah terkenal (Silahkan baca disini). Berikut alasan kenapa blog dihapus oleh blogger




#11 alasan kenapa blog dihapus oleh blogger



1. Materi Khusus Dewasa.

2. Keamanan anak.

3. Perkataan yang mendorong kebencian.

4. Konten Kasar.

5. Kekerasan.

6. Hak cipta.

7. Informasi pribadi dan rahasia.

8. Meniru identitas orang lain.

9. Kegiatan ilegal.

10. Spam.

 11. Perangkat lunak jahat dan virus.


Cukup rumit juga ternyata aturan yang di buat oleh blogger. Saya sendiri pun baru tahu dan tidak ingin blog saya dihapus oleh blogger. Walaupun tulisan kita tidak meliputi 11 poin diatas ada kalanya blogger juga menghapusnya. Berangkat dari situ, saya membuat postingan sederhana bagaimana cara membackup blog agar nantinya jika blog kita dihapus bisa membuat blog lagi dan mengembalikan postingan-postingan yang sudah kita buat selama bertahun-tahun.


Cara Membackup Blog



Caranya cukup mudah kok.


  1. Buka blog kita dengan mengetikkan www.blogger.com

  2. Silahkan login dengan akun blogger anda masing-masing

  3. Silahkan pilih SETELAN terus klik Lainnya kemudian klik ekspor blog seperti pada gambar berikut

  4. Maka akan muncul kotak dialog seperti gambar berikut ini

  5. Silahkan klik Unduh Blog untuk mengunduh postingan blog anda. Simpanlah hasil ekspor ditempat yang aman. Disarankan agar melakukan backup minimal sebulan sekali agar tulisan anda bisa terselamatkan jika blog anda terhapus.


 
Untuk melakukan impor blog silahkan anda coba sendiri dengan melakukan impor blog dan cari file ekspor tadi. Selamat mencoba

Referensi



  1. http://www.blogger.com/content.g?hl=id

  2. http://teknologi.kompasiana.com/internet/2013/12/21/blog-terkenal-cara-ririn-dihapus-google-620455.html

Menentukan Akar-Akar Persamaan Kuadrat dengan Melengkapkan KuadratSempurna

Menentukan Akar-Akar Persamaan Kuadrat dengan Melengkapkan KuadratSempurna

12:52:00 PM 0
Melanjutkan postingan sebelumnya kali ini saya akan membahas tentang bagaimana cara memnentukan Akar-Akar Persamaan Kuadrat dengan Melengkapkan Kuadrat Sempurna. Perlu diketahui, metode pemfaktoran hanya bisa digunakan untuk mencari akar-akar persamaan kuadrat jika persamaan kuadratnya berbentuk sederhana. Namun untuk kasus yang cukup kompleks, metode pemfaktoran sulit diaplikasikan dan salah satu metode yang digunakan adalah melengkapkan kuadrat sempurna.

Anda tentunya pernah mendengar bahkan mempelajari bentuk kuadrat sempurna. Bentuk-bentuk yang merupakan kuadrat sempurna adalah $9=3^{2}$, $4x^{2}=\left(2x\right)^{2}$, $\left(x-1\right)^{2}$ dan masih banyak yang lain. Pada dasarnya tiap bentuk kuadrat dapat dimanipulasi secara aljabar menjadi bentuk kuadrat sempurna. Manipulasi aljabar yang diperlukan dalam proses pengubahan itu adalah dengan menambah dan mengurangi bagian konstanta. Sebagai contoh, bentuk $x^{2}-2x+4$ dapat dimanipulasi secara aljabar sebagai berikut
\begin{eqnarray*}
x^{2}-2x+4 & = & 0\\
x^{2}-2x & = & -4\\
x^{2}-2x+1 & = & -4+1\\
\left(x-1\right)^{2} & = & -3
\end{eqnarray*} Untuk mencari akar-akar persamaan kuadrat dengan melengkapkan kuadrat sempurna dapat diterapkan langkah-langkah sebagai berikut.

  1. Ubahlah $a=1$

  2. Pada persamaan kuadrat tersebut, kedua ruas kita kurangkan dengan $c$ (atau dengan kata lain, pindahkan $c$ ke ruas kanan)

  3. Tambahkan kedua ruas dengan $\left({\displaystyle \frac{1}{2}b}\right)^{2}$

  4. Buatlah bentuk kuadrat

  5. Carilah akar-akar persamaan kuadrat tersebut dengan menggunakan sifat
Jika $p\geq0$ dan berlaku $x^{2}=p$, maka $x=\pm\sqrt{p}$
dengan $p\geq0$

Implementasi langkah-langkah melengkapkan kuadrat sempurna dapat kita lakukan pada contoh berikut

CONTOH
Dengan melengkapkan kuadrat sempurna, tentukan akar-akar persamaan kuadrat $x^{2}-10x+21=0$

  1. Perhatikan bahwa persamaan $x^{2}-10x+21=0$ sudah memiliki nilai $a=1$ sehingga dapat kita lanjutkan pada langkah kedua yaitu mengurangi kedua ruas dengan $c$.

  2. Langkah selanjutnya adalah mengurangi kedua ruas pada persamaanku adrat dengan $c$ menghasilkan \begin{eqnarray*}
    x^{2}-10x+21 & = & 0\\
    x^{2}-10x+21-21 & = & 0-21\\
    x^{2}-10x & = & -21
    \end{eqnarray*}

  3. Jika nilai $c$ negatif maka kita harus menambahkan dengan nilai $c$ agar nilai $c$ pada ruas kanan menjadi nol.

  4. Langkah selanjutnya adalah menambahkan kedua ruas dengan $\left({\displaystyle \frac{b}{2}}\right)^{2}$. Karena nilai $b=-10$ maka kita mendapatkan $\left({\displaystyle \frac{b}{2}}\right)^{2}=\left({\displaystyle \frac{-10}{2}}\right)^{2}=\left(-5\right)^{2}=25$. Kita tambahkan nilai $25$ pada masing-masing ruas.}
    \begin{eqnarray*}
    x^{2}-10x & = & -21\\
    x^{2}-10x+25 & = & -21+25\\
    \underset{\left(x-5\right)^{2}}{\underbrace{x^{2}-10x+25}} & = & 4\\
    \left(x-5\right)^{2} & = & 4
    \end{eqnarray*}

  5. Langkah selanjutnya adalah mencari akar-akar persamaan kuadrat tersebut.
    \begin{eqnarray*}
    \left(x-5\right)^{2} & = & 4\\
    x-5 & = & \sqrt{4}\\
    x-5 & = & \pm2\\
    x & = & 5\pm2\\
    x=5+2 & \text{atau} & x=5-2\\
    x=7 & \text{atau} & x=3
    \end{eqnarray*}
    Diperoleh akar-akar persamaan kuadrat dari $x^{2}-10x+21=0$ adalah $x_{1}=7$ dan $x_{2}=3$, sehingga dapat kita tulis $HP=\left\{ 3,7\right\} $

Dari contoh diatas secara jelas diberikan langkah-langkah yang harus dilakukan untuk melengkapkan kuadrat sempurna. Jika anda sudah menguasai materi diatas, silahkan coba latihan dasar di bawah ini.

Dengan cara melengkapkan kuadrat sempurna, tentukan akar-akar persamaan kuadrat berikut
a. $x^{2}-25=0$
b. $x^{2}-2x-2=0$
c. $x^{2}-5x+6=0$
d. $2x^{2}-5x-3=0$

Sama halnya dengan pembahasan pada contoh soal sebelumnya. Cukup mudah kok. Silahkan dikerjakan sebagai bahan latihan $\blacksquare$