Menentukan Akar-Akar Persamaan Kuadrat dengan Memfaktorkan

Menentukan Akar-Akar Persamaan Kuadrat dengan Memfaktorkan

12:58:00 PM 0
Menentukan akar-akar persamaan kuadrat dengan memfaktorkan menggunakan sebuah sifat yang berlaku pada bilangan real. Sifat itu dapat dinyatakan sebagai berikut.
Jika $a,b\in\mathbb{R}$ dan berlaku $a\cdot b=0$, maka $a=0$ atau $b=0$
Catatan :

Pengertian $a=0$ atau $b=0$ dapat ditafsirkan sebagai :
1. $a=0$ dan $b\neq0$
2. $a\neq0$ dan $b=0$
3. $a=0$ dan $b=0$

Cara pemfaktoran ini sebenarnya sudah kita pelajari pada materi matematika di SMP. Disini saya hanya akan mengulang kembali agar semakin mantap. Sebagai pemahaman selanjutnya silahkan perhatikan contoh dibawah ini.

CONTOH:
Dengan cara memfaktorkan, tentukan akar-akar tiap persamaan berikut
a. $x^{2}-4=0$
b. $x^{2}-4x+4$
c. $x^{2}-5x+6=0$
d. $2x^{2}-5x-3=0$

JAWAB
a. $x^{2}-4=0$ dapat kita faktorkan menjadi \begin{eqnarray*} x^{2}-4 & = & 0\\ \left(x-2\right)\left(x+2\right) & = & 0\\ x=2 & \text{atau} & x=-2 \end{eqnarray*} Jadi, akar-akarnya adalah $x_{1}=-2$ dan $x_{2}=2$. Dalam bentuk himpunan penyelesaian dituliskan sebagai $HP=\left\{ -2,2\right\} $

b. $x^{2}-4x+4=0$ dapat kita faktorkan menjadi \begin{eqnarray*} x^{2}-4x+4 & = & 0\\ \left(x-2\right)\left(x-2\right) & = & 0\\ x=2 & \text{atau} & x=2 \end{eqnarray*} Jadi, akar-akarnya adalah $x_{1}=2$ dan $x_{2}=2$. Dalam bentuk himpunan penyelesaian dituliskan sebagai $HP=\left\{ 2\right\} $

c. $x^{2}-5x+6=0$ dapat kita faktorkan menjadi \begin{eqnarray*} x^{2}-5x+6 & = & 0\\ \left(x-2\right)\left(x-3\right) & = & 0\\ x=2 & \text{atau} & x=3 \end{eqnarray*} Jadi, akar-akarnya adalah $x_{1}=2$ dan $x_{2}=3$. Dalam bentuk himpunan penyelesaian dituliskan sebagai $HP=\left\{ 2,3\right\} $

d. $2x^{2}-5x-3=0$ dapat kita faktorkan menjadi \begin{eqnarray*} 2x^{2}-5x-3 & = & 0\\ \left(2x+1\right)\left(x-3\right) & = & 0\\ 2x+1=0 & \text{atau} & x-3=0\\ x=-\frac{1}{2} & \text{atau} & x=3 \end{eqnarray*} Jadi, akar-akarnya adalah $x_{1}=-\frac{1}{2}$ dan $x_{2}=3$. Dalam bentuk himpunan penyelesaian dituliskan sebagai $HP=\left\{ -\frac{1}{2},3\right\} $

Sekian dulu yah nulisnya... Capek nih.
Bentuk Umum Persamaan Kuadrat

Bentuk Umum Persamaan Kuadrat

12:48:00 PM 0
Rasanya sudah lama saya tidak menulis di blog ini. Kesibukan mungkin membuat saya sedikit lupa untuk menulis. Namun pada kesempatan kali ini saya ingin mencoba menulis materi persamaan kuadrat kelas X SMA. Materinya mungkin terdengar tidak asik, namun saya harap bisa berguna.

Pada waktu SMP dulu kita pernah belajar tentang persamaan kuadrat. bahkan kita sudah mempelajari bentuk umum persamaan kuadrat. Namun pada kesempatan kali ini kita kembali akan membahas bentuk umum persamaan kuadrat. Sebelum kita membahas persamaan kuadrat lebih jauh alangkah baiknya kita mengetahui bentuk umumnya. Untuk itu, simaklah beberapa persamaan berikut.

# $x^{2}-3=0$
# $x^{2}-12x=0$
# $x^{2}-6x+10=0$
# $3x^{2}-2x+5=0$

Jika kita perhatikan tiap persamaan di atas mempunyai pangkat tertinggi pada variabel $x$ adalah dua. Persamaan yang mempunyai bentuk ini disebut persamaan kuadrat dalam variabel $x$ atau persamaan berderajat dua dalam variabel $x$. Berdasarkan fakta yang telah kita uraikan ini maka bentuk umum atau bentuk baku dari persamaan kuadrat dapat didefenisikan sebagai berikut
Misalkan $a,b,c\in\mathbb{R}$ dan $a\neq0$, maka persamaan yang berbentuk $$ax^{2}+bx+c=0$$ dinamakan persamaan kuadrat dalam variabel $x$


Dalam persamaan kuadrat $ax^{2}+bx+c$, $a$ adalah koefisien dari $x^{2}$, $b$ adalah koefisien dari $x$, dan $c$ adalah konstanta.

Sebagai contoh nilai $a,b,c$ pada persamaan kuadrat diatas adalah sebagai berikut

# $x^{2}+2x+3=0$, nilai-nilai $a=1,b=2,c=3$
# $x^{2}-3x=0$, nilai-nilai $a=1,b=-3,c=0$
Berkaitan dengan nilai-nilai dari $a,b$ dan $c$, dikenal beberapa nama persamaan kuadrat, diantaranya adalah

  1. Jika $a=1,$ maka persamaan menjadi $ax^{2}+bx+c=0$ dan persamaan seperti ini disebut persamaan kuadrat biasa
  2. Jika $b=0$, maka persamaan menjadi $ax^{2}+c=0$ dan persamaan kuadrat seperti ini disebut persamaan kuadrat sempurna.
  3. Jika $c=0$, maka persamaan menjadi $ax^{2}+bx=0$ dan persamaan kuadrat seperti ini disebut persamaan kuadrat tak lengkap
  4. Jika $a,b$, dan $c$ bilangan-bilangan real, maka $ax^{2}+bx+c=0$ disebut persamaan kuadrat real
  5. Jika $a,b$, dan $c$ bilangan-bilangan rasional, maka $ax^{2}+bx+c=0$ disebut persamaan kuadrat rasional.

Selain itu, ada beberapa persamaan kuadrat yang dinyatakan dalam bentuk baku. Misalnya.

  1. $2x^{2}=3x-8$
  2. $x^{2}=2\left(x^{2}-3x+1\right)$
  3. $2x-3={\displaystyle \frac{5}{x}}$
  4. ${\displaystyle \frac{2}{x-1}+\frac{1}{x-2}=2}$

Persamaan kuadrat diatas dapat kita ubah bentuknya menjadi persamaan kuadrat bentuk baku dengan melakukan beberapa manipulasi aljabar. Manipulasi aljabar dilakukan dengan menggunakan sifat-sifat yang berlaku pada persamaan pada umumnya. Sifat-sifat yang dimaksudkan itu adalah :

  1. Kedua ruas suatu persamaan dapat ditambah atau dikurangi dengan suatu bilangan atau variabel yang sama. Persamaan baru yang diperoleh tetap ekuivalen dengan persamaan semula

  2. Kedua ruas persamaan tersebut dapat dikalikan atau dibagi dengan suatu bilangan atau variabel yang sama, asalkan bilangan atau variabel tidak sama dengan nol. Persamaan baru yang diperoleh tetap ekuivalen dengan persamaan semula.

Sebagai bahan latihan anda, coba kerjakan latihan sederhana berikut.


Nyatakan persamaan-persamaan berikut kedalam bentuk baku, kemudian tentukan nilai $a,b,$ dan $c$
  1. $2x^{2}=3x-8$
  2. $x^{2}=2\left(x^{2}-3x+1\right)$
  3. $2x-3={\displaystyle \frac{5}{x}}$
  4. ${\displaystyle \frac{2}{x-1}+\frac{1}{x-2}=2}$

Tulisan ini berlanjut pada postingan selanjutnya.


Membahas Soal-Soal Fungsi Komposisi Dan Invers Fungsi

2:23:00 PM 1
Kemarin saya sudah memberikan postingan tentang pembahasan suku banyak dengan format PDF. Nah kali ini saya kembali akan memberikan postingan seperti kemarin tapi dengan materi yang berbeda yakni fungsi komposisi dan fungsi invers. Postingan saya bagi menjadi beberapa bagian masing-masing postingan berisi 7 sampai 10 soal. Karena kalau banyak soal nantinya pengunjung akan merasa tidak nyaman karena postingan terlalu panjang. Nah Kali ini saya mencoba untuk membuat lebih sederhana.

Perlu diketahui, materi fungsi komposisi dan invers fungsi cukup rumit bagi siswa SMA tentunya. Karena disitu ada materi fungsi yang cukup abstrak. Materi fungsi jika diteliti lebih jauh tidak akan ada habisnya. Namun kita hanya akan belajar fungsi yang umum dipelajari di tingkatan SMA.



komposisi fungsi




Saya disini belum menyertakan pembahasan dalam bentuk PDF mengingat masih dalam proses pengetikan. Jika sudah selesai saya ketik maka akan langsung saya share. Yah hitung-hitung mencicil tulisan tersebut setiap selesai 10 nomor akan langsung saya share. Terakhir akan saya share bentuk PDF. Harap bersabar saja. Postingan ini juga tidak jauh beda dengan PDF yang akan saya share nanti. OK langsung saja kita mainkan. Pembahasan ada di dalam spoiler ya ... Klik saja spoilernya maka jawabannya akan langsung muncul

1. Jika $f\left(x\right)=p^{x}$, $p$ konstanta positif, maka $\dfrac{f\left(x^{2}+x\right)} {f\left(x+1\right)}=\cdots\cdots$

Jawaban

\begin{eqnarray*}
f\left(x\right) & = & p^{x}\\
f\left(x^{2}+x\right) & = & p^{x^{2}+x}\\
f\left(x+1\right) & = & p^{x+1}\\
\dfrac{f\left(x^{2}+x\right)}{f\left(x+1\right)} & = & \frac{p^{x^{2}+x}}{p^{x+1}}\\
& = & \frac{p^{x^{2}}\cdot p^{x}}{p^{x}\cdot p}\\
& = & \frac{p^{x^{2}}}{p}\\
& = & p^{x^{2}}\cdot p^{-1}\\
\dfrac{f\left(x^{2}+x\right)}{f\left(x+1\right)} & = & p^{\left(x^{2}-1\right)}
\end{eqnarray*}
Perhatikan pada ruas kanan menghasilkan $p^{\left(x^{2}-1\right)}$. Karena $f\left(x\right)=p^{x}$ maka $\dfrac{f\left(x^{2}+x\right)}{f\left(x+1\right)}=f\left(x^{2}-1\right)$

2. Fungsi $f\left(x\right)=\sqrt{\dfrac{x^{2}-2x+1}{16-x^{2}}}$ terdefenisi untuk ......

Jawaban

Fungsi $f\left(x\right)=\sqrt{\dfrac{x^{2}-2x+1}{16-x^{2}}}$ terdefenisi jika $\dfrac{x^{2}-2x+1}{16-x^{2}}\geq 0$. Perhatikan pada bagian pembilang yaitu $x^{2}-2x+1=0$ dapat difaktorkan menjadi $\left(x-1\right)^{2}$. Karena fungsi kuadrat selalu bernilai positif, maka kita hanya perlu meninjau penyebutnya yaitu $16-x^{2}>0$. Perlu diketahui juga bahwa $\dfrac{x^{2}-2x+1}{16-x^{2}}$ tidak boleh bernilai negatif karena akar dari bilangan negatif akan menghasilkan bilangan imajiner. Kembali pada
\begin{eqnarray*}
16-x^{2} & > & 0\\
\left(4-x\right)\left(4+x\right) & > & 0
\end{eqnarray*}
Dengan menguji pada garis bilangan, kita mendapatkan batas-batas nilai $x$ yaitu $(-4,4)$

3. Jika fungsi $f$ di defenisikan sebagai $f\left(x\right)=2^{x}$ maka nilai $\left[\dfrac{f\left(x+3\right)}{f\left(x-1\right)}\right]^{2}=$......

Jawaban

Diketahui : $f\left(x\right)=2^{x}$ , $f\left(x+3\right)=2^{x+3}$ dan $f\left(x-1\right)=2^{x-1}$.
\begin{eqnarray*}
\dfrac{f\left(x+3\right)}{f\left(x-1\right)} & = & \frac{2^{x+3}}{2^{x-1}}\\
\left[\dfrac{f\left(x+3\right)}{f\left(x-1\right)}\right]^{2} & = & \left[\frac{2^{x+3}}{2^{x-1}}\right]^{2}\\
& = & \frac{2^{2x+6}}{2^{2x-2}}\\
& = & \frac{2^{2x}\cdot2^{6}}{2^{2x}\cdot\left(2\right)^{-2}}\\
& = & \frac{2^{6}}{2^{-2}}\\
& = & 2^{6}\cdot2^{2}\\
& = & 64\times4\\
\left[\dfrac{f\left(x+3\right)}{f\left(x-1\right)}\right]^{2} & = & 256
\end{eqnarray*}

4. Jika $f\left(x\right)=-x+3$ maka $f\left(x^{2}\right)+f^{2}\left(x\right)-2f\left(x\right)=$......

Jawaban

$f\left(x\right)=-x+3$
$f\left(x^{2}\right)=-x^{2}+3$
$f^{2}\left(x\right)=\left(-x+3\right)\left(-x+3\right)=x^{2}-6x+9$
$2f\left(x\right)=-2x+6$
\begin{eqnarray*}
f\left(x^{2}\right)+f^{2}\left(x\right)-2f\left(x\right) & = & -x^{2}+3+x^{2}-6x+9-\left(-2x+6\right)\\
& = & -6x+12+2x-6\\
& = & -4x+6
\end{eqnarray*}

5. Diketahui $f\left(x+1\right)=x^{2}-1$ dan $g\left(x\right)=2x$ maka $\left(g\circ f\right)\left(x\right)=$......

Jawaban

$f\left(x+1\right)=x^{2}-1$ misalkan $t=x+1\rightarrow x=t-1$ sehingga
\begin{eqnarray*}
f\left(t\right) & = & \left(t-1\right)^{2}-1\\
& = & t^{2}-2t+1-1\\
f\left(t\right) & = & t^{2}-2t\\
f\left(x\right) & = & x^{2}-2x
\end{eqnarray*}
\begin{eqnarray*}
\left(g\circ f\right)\left(x\right) & = & g\left(f\left(x\right)\right)\\
& = & 2\left(x^{2}-2x\right)\\
& = & 2x^{2}-4x
\end{eqnarray*}

6. Jika $f\left(x\right)=x^{3}+2$ dan $g\left(x\right)=\dfrac{2}{x-1}:x\neq1$ maka $\left(g\circ f\right)\left(x\right)$ adalah .....

Jawaban

\begin{eqnarray*}
\left(g\circ f\right)\left(x\right) & = & g\left(f\left(x\right)\right)\\
& = & \frac{2}{x^{3}+2-1}\\
\left(g\circ f\right)\left(x\right) & = & \frac{2}{x^{3}+1}
\end{eqnarray*}

7. Jika $f\left(x\right)=\dfrac{2x}{x^{2}-4}$ dan $g\left(x\right)=\sqrt{2x}$ maka $\left(f\circ g\right)\left(x\right)$ adalah .....

Jawaban

\begin{eqnarray*}
\left(f\circ g\right)\left(x\right) & = & f\left(g\left(x\right)\right)\\
& = & \frac{2\left(\sqrt{2x}\right)}{\left(\sqrt{2x}\right)^{2}-4}\\
& = & \frac{2\sqrt{2x}}{2x-4}\\
& = & \frac{2\sqrt{2x}}{2\left(x-2\right)}\\
\left(f\circ g\right)\left(x\right) & = & \frac{\sqrt{2x}}{x-2}
\end{eqnarray*}

8. Jika $f\left(x\right)=-4x$ dan $f\left(g\left(x\right)\right)=-\frac{x}{2}+1$ maka $g\left(x\right)=$......

Jawaban

\begin{eqnarray*}
f\left(g\left(x\right)\right) & = & -\frac{x}{2}+1\\
-4\left(g\left(x\right)\right) & = & -\frac{x}{2}+1\\
g\left(x\right) & = & \frac{-\frac{x}{2}+1}{-4}\\
& = & \frac{-\frac{x+2}{2}}{-4}\\
& = & \frac{-x+2}{2}\times\frac{1}{-4}\\
& = & -\frac{1}{8}\left(-x+2\right)\\
g\left(x\right) & = & \frac{1}{8}\left(x-2\right)
\end{eqnarray*}

9. Diketahui $\left(f\circ g\right)\left(x\right)=\dfrac{2x-3}{x+4}:x\neq-4$ dan $g\left(x\right)=\left(1-x\right)$. Maka $f\left(x\right)$ adalah ....

Jawaban

\begin{eqnarray*}
\left(f\circ g\right)\left(x\right) & = & \dfrac{2x-3}{x+4}\\
f\left(g\left(x\right)\right) & = & \dfrac{2x-3}{x+4}\\
f\left(1-x\right) & = & \dfrac{2x-3}{x+4}
\end{eqnarray*}
Misalkan $u=1-x$ maka $x=1-u$ sehingga
\begin{eqnarray*}
f\left(u\right) & = & \frac{2\left(1-u\right)-3}{\left(1-u\right)+4}\\
& = & \frac{2-2u-3}{5-u}\\
f\left(u\right) & = & \frac{-2u-1}{5-u}\\
f\left(x\right) & = & \frac{-2x-1}{5-x}
\end{eqnarray*}

10. Fungsi $f:\mathbb{R\to\mathbb{R}}$ dan $g:\mathbb{R\to\mathbb{R}}$ dinyatakan oleh $f\left(x\right)=x+2$ dan $\left(g\circ f\right)\left(x\right)=2x^{2}+4x+1$ maka $g\left(2x\right)=$......

Jawaban

\begin{eqnarray*}
\left(g\circ f\right)\left(x\right) & = & 2x^{2}+4x+1\\
g\left(f\left(x\right)\right) & = & 2x^{2}+4x+1\\
g\left(x+2\right) & = & 2x^{2}+4x+1
\end{eqnarray*}
Misalkan $x+2=y$ maka $x=y-2$ sehingga
\begin{eqnarray*}
g\left(y\right) & = & 2\left(y-2\right)^{2}+4\left(y-2\right)+1\\
& = & 2\left(y^{2}-4x+4\right)+4y-8+1\\
& = & 2y^{2}-8y+8+4y-8+1\\
g\left(y\right) & = & 2y^{2}-4y+1\\
g\left(x\right) & = & 2x^{2}-4x+1\\
g\left(2x\right) & = & 2\left(2x\right)^{2}-4\left(2x\right)+1\\
& = & 2\left(4x^{2}\right)-8x+1\\
g\left(2x\right) & = & 8x^{2}-8x+1
\end{eqnarray*}

Cukup 10 omor dulu pembahasan dari saya. Menurut saya tidak ada soal yang terlihat sulit. Semua  mudah dan gampang. Siapa saja bisa mengerjakannya. Pada postingan selanjutnya saya akan mencoba memposting soal nomor 11 - 20. Mungkin soal tersebut akan tergolong lumayan. Tetap semangat belajar.

Pembahasan Soal-Soal Suku Banyak Format PDF

1:59:00 PM 0
Janji saya pada postingan sebelumnya akan mengupload pembahasan dalam bentuk (format) PDF. Pembahasan tersebut saya tulis dengan $\LaTeX$ sehingga terlihat menarik. Namun untuk pembagian polinomialnya agak berantakan. Kenapa yah ?? saya sendiri tidak tahu. namun pada dasarnya pembaca pasti mengerti kok. berikut screen shoot covernya.


Tulisan saya kali ini dimaksudkan untuk anda yang ingin membaca dan mempelajarinya dirumah. Anda juga saya persilahkan untuk melakukan pencetakan maupun penulisan ulang dengan tanpa menyebutkan sumbernya. Karena saya tidak bertanggung jawab jika ada ketersesatan tulisan itu. hehe.

Sebelum mendownload tulisan tersebut ada baiknya untuk berkomentar di blog ini yah. Kritik dan saran sangat kami harapkan. Jika ada kesalahan mohon di salahkan dan dibenarkan. Masih dalam tahap belajar.

Untuk selanjutnya saya akan mengupload dan menulis pembahasan tentang Fungsi komposisi dan invers fungsi. Soal dan pembahasannya sudah selesai saya buat namun masih dalam tahap pengetikan. Maklumlah banyak equation sangat melelahkan tangan. hehe . namun semua itu diniati belajar dan berbagi. Semoga semua bermanfaat.


Silahkan di download disini langsung terdownload (no receh)




Masih Membahas Tentang Suku Banyak

1:26:00 PM 0
Kembali saya akan melanjutkan postingan saya yaitu tentang suku banyak. Pada postingan sebelumnya saya sudah membahas soal sebanyak 16 nomor. Kali ini saya akan mencoba membahas sisanya sekitar 6 nomor saja. Setelah itu akan saya upload dalam bentuk PDF. Para pembaca mungkin akan merasa mudah jika file tersebut saya convert dalam format PDF. Namun pada postingan kali ini saya masih menuliskan dalam bentuk postingan dengan bantuan $\LaTeX$. Mari kita mulai pembahasannya


17. Diketahui suku banyak $f\left(x\right)$ jika dibagi $\left(x+1\right)$ bersisa $8$ dan dibagi $\left(x-3\right)$ bersisa $4$. Suku banyak $g\left(x\right)$ jika dibagi $\left(x+1\right)$ bersisa $-9$ dan dibagi $\left(x-3\right)$ bersisa $15$. Jika $h\left(x\right)=f\left(x\right)\cdot g\left(x\right)$ maka sisa pembagian $h\left(x\right)$ oleh $\left(x^{2}-2x-3\right)$ adalah ....Jawaban

Misalkan sisa pembagian adalah $Ax+B$ . Perhatikan bahwa suku banyak $f\left(x\right)$ jika dibagi $\left(x+1\right)$ bersisa $8$ dan dibagi $\left(x-3\right)$ bersisa $4$
\begin{eqnarray*}
f\left(-1\right) & = & 8\\
f\left(3\right) & = & 4
\end{eqnarray*}
Suku banyak $g\left(x\right)$ jika dibagi $\left(x+1\right)$ bersisa $-9$ dan dibagi $\left(x-3\right)$ bersisa $15$
\begin{eqnarray*}
g\left(-1\right) & = & -9\\
g\left(3\right) & = & 15
\end{eqnarray*}
Dari keterangan soal selanjutnya terlihat bahwa $\left(x^{2}-2x-3\right)$ dapat difaktorkan menjadi $\left(x+1\right)\left(x-3\right)$. Selain itu $h\left(x\right)=f\left(x\right)\cdot g\left(x\right)$ sehingga
dengan mudah kita menuliskan suku banyak tersebut menjadi \begin{eqnarray*}
h\left(x\right)=f\left(x\right)\cdot g\left(x\right) & = & H\left(x\right)\left(x+1\right)\left(x-3\right)+Ax+B\\
h\left(-1\right)=f\left(-1\right)\cdot g\left(-1\right) & = & H\left(-1\right)\left(-1+1\right)\left(-1-3\right)-A+B\\
8\left(-9\right) & = & -A+B\\
-A+B & = & -72\qquad\qquad\qquad(1)
\end{eqnarray*}
\begin{eqnarray*}
h\left(x\right)=f\left(x\right)\cdot g\left(x\right) & = & H\left(x\right)\left(x+1\right)\left(x-3\right)+Ax+B\\
h\left(3\right)=f\left(3\right)\cdot g\left(3\right) & = & H\left(3\right)\left(3+1\right)\left(3-3\right)+3A+B\\
\left(4\right)\cdot\left(15\right) & = & 3A+B\\
3A+B & = & 60\qquad\qquad\qquad\quad(2)
\end{eqnarray*}
Dari persamaan (1) dan persamaan (2) dapat kita eliminasi dan mendapatkan nilai $A=33$ dan $B=-39$ (Untuk kebenarannya silahkan dicek sebagai bahan latihan), Sehingga sisa pembagian $h\left(x\right)$ oleh $\left(x^{2}-2x-3\right)$ adalah $33x-39$


18. Suku banyak berderajat $3$ habis dibagi dengan $x+1$ dan $x-2$.
Bersisa $2$ jika dibagi dengan $x+1$ dan bersisa $2$ jika dibagi
dengan $x$. Suku banyak itu adalah ....


Jawaban

Misalkan suku banyak tersebut adalah $f\left(x\right)=Ax^3+Bx^2+Cx+D$. Dari keterangan soal diperoleh
\begin{eqnarray*}
f\left(x\right) & = & H\left(x\right)\left(x-1\right)+0\\
f\left(1\right) & = & 0\\
f\left(2\right) & = & 0\\
f\left(x\right) & = & H\left(x\right)\left(x+1\right)+2\\
f\left(-1\right) & = & 2\\
f\left(x\right) & = & H\left(x\right)\left(x\right)+2\\
f\left(0\right) & = & 2
\end{eqnarray*}
Substitusikan nilai-nilai suku banyak diatas kedalam $f\left(x\right)$ mendapatkan
\begin{eqnarray*}
f\left(1\right) & = & A+B+C+D=0\qquad\qquad\qquad(1)\\
f\left(2\right) & = & 8A+4B+2C+D=0\qquad\qquad\quad(2)\\
f\left(-1\right) & = & -A+B-C+D=2\qquad\qquad\qquad(3)\\
f\left(0\right) & = & D=2\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad(4)
\end{eqnarray*}
Dengan memanfaatkan metode eliminasi dan substitusi diperoleh nilai
$A=\dfrac{2}{3},B=-1,C=-\dfrac{5}{3},D=2$ (Silahkan dicoba sebagai
bahan latihan). Jadi suku banyak tersebut adalah $f\left(x\right)=\dfrac{2}{3}x^{3}-x^{2}-\dfrac{5}{3}x+2$

19. Jika salah satu akar persamaan $2x^{3}-7x^{2}-7x+30=0$ adalah $3$
maka jumlah dua akar yang lain adalah ......


Jawaban

Gunakan metode Horner untuk mendapatkan hasil bagi $2x^{3}-7x^{2}-7x+30=0$ dengan $3$

(Cara 1). Terlihat bahwa hasil pembagiannya adalah $2x^{2}-x-10=0$. Jumlah akar-akarnya dapat kita cari dengan menggunakan rumus jumlah akar-akar persamaan kuadrat yaitu
\begin{eqnarray*}
x_{1}+x_{2} & = & -\frac{b}{a}\\
x_{1}+x_{2} & = & -\frac{\left(-1\right)}{2}\\
x_{1}+x_{2} & = & \frac{1}{2}
\end{eqnarray*}

(Cara 2) Selain cara diatas kita juga dapat menggunakan cara pemfaktoran dari $2x^{2}-x-10=0$. Faktor dari
\begin{eqnarray*}
2x^{2}-x-10 & = & 0\\
\left(2x-5\right)\left(x+2\right) & = & 0\\
x=\frac{5}{2} & \text{atau} & x=-2
\end{eqnarray*}
Jumlahkan kedua akar tersebut $x_{1}+x_{2}=\dfrac{5}{2}-2=\dfrac{1}{2}$

20. Jumlah akar-akar dari persamaan $2x^{3}-3x^{2}-11x+6=0$ adalah ....

Jawaban

Dengan memanfaatkan perluasan rumus jumlah dan hasil kali akar-akar persamaan kuadrat (atau lebih dikenal dengan teorema Vieta) kita akan dengan mudah menjawab soal tersebut.
\begin{eqnarray*}
x_{1}+x_{2}+x_{3} & = & -\frac{b}{a}\\
& = & -\frac{\left(-3\right)}{2}\\
& = & \frac{3}{2}
\end{eqnarray*}
Jika anda ingin mencari akar-akar dari persamaan tersebut tidak ada salahnya dan hasilnya pun akan sama. Silahkan dicoba sebagai latihan.

21. Banyaknya akar-akar rasional bulat dari persamaan $4x^{4}-15x^{2}+5x+6=0$ adalah .......

Jawaban

Faktor bulat dari $6$ adalah $\pm6,\pm1,\pm2,\pm3$
Untuk $x=1$ maka
\begin{eqnarray*}
f\left(1\right) & = & 4-15+5+6\\
& = & 0\,\,\,\left(x-1\right)\text{ adalah faktor dari }f\left(x\right)
\end{eqnarray*}

Mendapatkan hasil $4x^{3}+4x^{2}-11x-6=0$. Sekarang kita mencoba membagi $4x^{3}+4x^{2}-11x-6=0$
dengan $x=-2$ mendapatkan

Mendapatkan hasil $4x^{2}-4x-3=0$ dengan sisa $0$. Sehingga disimpulkan $x+2$ juga merupakan faktor bulat dari $f\left(x\right)$. Untuk mencari faktor yang lainnya kita dapat menggunakan rumus kuadrat (rumus abc) yaitu
\begin{eqnarray*}
x_{1,2} & = & \frac{-b\pm\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}\\
& = & \frac{4\pm\sqrt{16+48}}{8}\\
& = & \frac{4\pm\sqrt{64}}{8}\\
& = & \frac{4\pm8}{8}\\
x_{1}=\frac{4+8}{8} & \text{atau} & x_{2}=\frac{4-8}{8}\\
x_{1}=\frac{12}{8} & \text{atau} & x_{2}=-\frac{4}{8}\\
x_{1}=\frac{3}{2} & \text{atau} & x_{2}=-\frac{1}{2}
\end{eqnarray*}
Sehingga terlihat akar-akarnya adalah $1,-2,\frac{3}{2},-\frac{1}{2}$. Sehingga dapat disimpulkan Banyaknya akar-akar rasional bulat dari persamaan $4x^{4}-15x^{2}+5x+6=0$ adalah $2$

22. Banyaknya akar-akar real dari persamaan $x^{5}+x^{4}-2x^{3}+x^{2}+x-2=0$ adalah ....

Jawaban

Faktor bulat dari $2$ adalah $\pm1,\pm2$
Untuk $x=1$ maka
\begin{eqnarray*}
f\left(1\right) & = & 1^{5}+1^{4}-2\left(1\right)^{3}+\left(1\right)^{2}+1-2=0\\
& = & 2-2+2-2\\
& = & 0\qquad\qquad\left(x-1\right)\text{ adalah akar dari }f\left(x\right)
\end{eqnarray*}
Untuk $x=-1$ maka
\begin{eqnarray*}
f\left(1\right) & = & \left(-1\right)^{5}+\left(-1\right)^{4}-2\left(-1\right)^{3}+\left(-1\right)^{2}+\left(-1\right)-2=0\\
& = & 0+0\\
& = & 0\qquad\qquad\left(x+1\right)\text{ adalah akar dari }f\left(x\right)
\end{eqnarray*}
Untuk $x=2$ maka
\begin{eqnarray*}
f\left(2\right) & = & \left(2\right)^{5}+\left(2\right)^{4}-2\left(2\right)^{3}+\left(2\right)^{2}+\left(2\right)-2=0\\
& = & 32+16-16+4\\
& = & 36\qquad\qquad\left(x-2\right)\text{ bukan akar dari }f\left(x\right)
\end{eqnarray*}
Untuk $x=-2$ maka
\begin{eqnarray*}
f\left(-2\right) & = & \left(-2\right)^{5}+\left(-2\right)^{4}-2\left(-2\right)^{3}+\left(-2\right)^{2}+\left(-2\right)-2=0\\
& = & -32+16+16+4-2-2\\
& = & 0\qquad\qquad\left(x+2\right)\text{ adalah akar dari }f\left(x\right)
\end{eqnarray*}
Jadi akar-akar realnya adalah $x_{1}=-1,x_{2}=-2$ dan $x_{3}=1$. Sehingga disimpulkan ada $3$ akar-akar real.



Sekian dulu postingan kali ini. Untuk mendapatkan pembahasan dalam format PDF saya sudah sediakan di postingan selanjutnya. Terima kasih. Oyah Jika anda mempunyai cara yang lebih praktis mengerjakan soal-soal diatas silahkan share disini. Selain itu, jika anda menemukan kesalahan dalam pembahasan saya diatas, mohon segera disalahkan dan dibenarkan. Mudah-mudahan bermanfaat bagi kita semua.