Soal-Soal Latihan Menjelang Ujian Nasional

Ujian nasional sudah dekat. Oleh karena itu sebaiknya kita mulai mempersiapkan diri dengan cara belajar yang rutin dan banyak mengerjakan soal-soal latihan. Kali ini saya akan memposting soal-soal yang mungkin tidak asing bagi kita sekalian. Yaitu soal-soal UN terdahulu. Tidak tau tahun berapa yag penting dapat di jadikan sebagai bahan latihan saja.

1. Persamaan kuadrat $x^2-3x-2=0$ akar-akarnya $x_1$ dan $x_2$. Persamaan kuadrat baru yang akar-akarnya $(3x_1+1)$ dan $(3x_2+1)$ adalah......
Jawaban

\begin{eqnarray*} x_1+x_2 & = & -\frac{b}{a}\\ & = & -\frac{-3}{1}\\ & = & 3 \end{eqnarray*}
\begin{eqnarray*} x_1.x_2 & = & \frac{c}{a}\\ & = & \frac{-2}{1}\\ & = & -2 \end{eqnarray*}
Akar-akar persamaan kuadrat yang baru.
\begin{eqnarray*} (3x_1+1)+(3x_2+1) & = & 3x_1+3x_2+2\\ & = & 3(x_1+x_2)+2\\ & = & 3(3)+2\\ & = & 9+2 \\ & = & 11 \end{eqnarray*}
\begin{eqnarray*} (3x_1+1)(3x_2+1) & = & 9x_1x_2+3x_1+3x_2+1\\ & = & 9(x_1x_2)+3(x_1+x_2)+1\\ & = & 9(-2)+3(3)+1\\ & = & -18+9+1\\ & = & -8 \end{eqnarray*} Dengan menggunakan Rumus Menyusun akar-akar persamaan kuadrat yaitu:${\displaystyle x^2-x(x_1+x_2)+x_1x_2=0}$ kita mendapatkan:

$x^2-x(11)+(-8)=0$ atau $x^2-11x-8=0$

Jadi, persamaan kuadrat yang baru adalah: $x^2-11x-8=0$

2. Persamaan garis singgung lingkaran $x^2+y^2-6x+4y+11=0$ di titik $(2,-1)$ adalah......

Jawaban

Titik Pusat dari lingkaran $x^2+y^2-6x+4y+11=0$ adalah $P(3,-2)$. Sehingga kita dapat mencari nilai $r^2$. Persamaan bakunya adalah :
\begin{eqnarray*}
(x-3)^2+(y+2)^2 & = & -11+9+4\\
(x-3)^2+(y+2)^2 & = & 2\\
\end{eqnarray*}
Jadi, kita peroleh bahwa $r^2=2$.Persamaan Garis singgung lingkaran yang melalui titik $(a,b)$ adalah:
\begin{eqnarray*}
(x_1-a)(x-a)+(y_1-b)(y-b) & = & r^2\\
(2-3)(x-3)+(-1+2)(y+2) & = & 2\\
(-1)(x-3)+(1)(y+2) & = & 2\\
-x+3+y+2 & = & 2\\
-x+y+3 & = & 0\\
x-y-3 & = & 0
\end{eqnarray*}
Jadi, Persamaan garis singgung lingkaran adalah $x-y-3=0$

3. Fungsi $f$ dan $g$ adalah pemetaan dari $R$ ke $R$ yang dirumuskan oleh $f(x)=3x+5$ dan ${\displaystyle g(x)=\frac{2x}{x+1}, x \neq -1}$. Rumus $(gof)(x)$ adalah ....

Jawaban

\begin{eqnarray*}
(gof)(x) & = & g(f(x))\\
& = & \frac{2(3x+5)}{(3x+5)+1}\\
& = & \frac{6x+10}{3x+6},x\neq -2
\end{eqnarray*}jadi, ${\displaystyle (gof)(x)=\frac{6x+10}{3x+6}, x\neq -2}$

4. Bentuk sederhana dari ${\displaystyle \frac{\sqrt{3}+3\sqrt{2}}{\sqrt{3}-6\sqrt{2}}}$ = ....

Jawaban

${\displaystyle \frac{\sqrt{3}+3\sqrt{2}}{\sqrt{3}-6\sqrt{2}}}$ kita rasionalkan penyebutnya dengan cara mengkalikan dengan ${\displaystyle \frac{\sqrt{3}+6\sqrt{2}}{\sqrt{3}+6\sqrt{2}}}$.\begin{eqnarray*}
\left(\frac{\sqrt{3}+3\sqrt{2}}{\sqrt{3}-6\sqrt{2}}\right) \left(\frac{\sqrt{3}+6\sqrt{2}}{\sqrt{3}+6\sqrt{2}}\right) & = & \frac{3+6\sqrt{6}+3\sqrt{6}+36}{3-72}\\
& = & \frac{6\sqrt{6}+39+3\sqrt{6}}{69}\\
& = & \frac{9\sqrt{6}+39}{69}\\
& = & \frac{3\sqrt{6}+13}{23}\\
& = & \frac{1}{23}(13+3\sqrt{6})
\end{eqnarray*}

5. Bentuk sederhana dari ${\displaystyle \frac{24 a^{-7} b^{-2} c}{6a^{-2} b^{-3} c^{-6}}}$ = ....

Jawaban

\begin{eqnarray*}
\frac{24 a^{-7} b^{-2} c}{6a^{-2} b^{-3} c^{-6}} & = & 4a^{5}bc^7\\
& = & \frac{4bc^7}{a^5}
\end{eqnarray*}

6. Akar-akar persamaan kuadrat $2x^2+mx+16=0$ adalah $\alpha$ dan $\beta$. Jika $\alpha=2\beta$ dan $\alpha,\beta$ positif, maka nilai $m$ = ....

Jawaban

Akar-akar persamaan kuadrat $2x^2+mx+16=0$ adalah $\alpha$ dan $\beta$. Diketahui juga bahwa $\alpha=2\beta$. Maka:\begin{eqnarray*}
\alpha.\beta & = & \frac{c}{a}\\
2\beta.\beta & = & \frac{16}{2}\\
2\beta^2 & = & 8\\
\beta^2 & = & 4\\
\beta & = & 2
\end{eqnarray*}
Nilai $\beta = 2$, maka:
\begin{eqnarray*}
\alpha+\beta & = & -\frac{b}{a}\\
2\beta+\beta & = & -\frac{b}{a}\\
3\beta & = & -\frac{m}{2}\\
\beta & = & -\frac{m}{6}\\
2 & = & -\frac{m}{6}\\
-m & = & 12\\
m & = & -12
\end{eqnarray*}

7. Nilai $x$ yang memenuhi persamaan $^2\log^2(2x-2) - ^2\log(2x-2)=2$ adalah ....

Jawaban

Dari Persamaan $^2\log^2(2x-2) - ^2\log(2x-2)=2$, Kita ubah bentuknya menjadi $^2\log^2(2x-2)-^2\log(2x-2)-2=0$.
Kita misalkan $^2\log(2x-2)=P$. Maka kita mendapatkan persamaan:
\begin{eqnarray*}
^2\log^2(2x-2) - ^2\log(2x-2)-2&=&0\\
P^2-P-2&=&0\\
(P-2)(P+1)&=&0\\
P=2 & dan & P=-1
\end{eqnarray*}
\begin{eqnarray*}
^2\log(2x-2)&=&2\\
2x-2&=&2^2\\
2x&=&6\\
x&=&3
\end{eqnarray*}
\begin{eqnarray*}
^2\log(2x-2)&=&-1\\
2x-2&=&2^{-1}\\
2x-2&=&\frac{1}{2}\\
2x&=&\frac{5}{2}\\
x&=&\frac{5}{4}\\
x&=&1\frac{1}{4}
\end{eqnarray*}
Jadi, nilai $x$ yang memenuhi adalah $x=3$ atau ${\displaystyle x=1\frac{1}{4}}$

8. Grafik fungsi kuadrat $f(x)=ax^2+2\sqrt{2}x+(a-1), a\neq 0$ memotong sumbu $X$ di dua titik berbeda. Batas-batas nilai $a$ yang memenuhi adalah ....

Jawaban
Grafik Fungsi Kuadrat $f(x)=ax^2+2\sqrt{2}x+(a-1), a\neq 0$ memotong sumbu $X$ di dua titik berbeda, maka kita mendapatkan bahwa $D>0$. Sehingga
\begin{eqnarray*}
D&>&0\\
b^2-4ac&>&0\\
(2\sqrt{2})^2-4.a.(a-1)&>&0\\
8-4a^2-4a&>&0\\
-a^2-a+8&>&0\\
-a^2-a+8&=&0\\
(-a-2)(a-1)&=&0\\
a=-2 &dan& a=1
\end{eqnarray*}
Jika kita mengujinya dalam garis bilangan, maka kita dapatkan batas-batas $x$ berada pada $(-2,1)$

9. Diketahui suku banyak $f(x)=ax^3+2x^2+bx+5, a\neq 0$ dibagi oleh $(x+1)$ sisanya $4$ dan dibagi oleh $(2x-1)$ sisanya juga $4$. Nilai dari $(a+2b)$ adalah ....

Jawaban
Penyelesaian soal ini dengan menggunakan Teorema sisa $f(x)=ax^3+2x^2+bx+5, a\neq 0$ dibagi oleh $(x+1)$ sisanya $4$
\begin{eqnarray*}
f(-1)&=&-a+2-b+5\\
4&=&-a-b+7\\
-3&=&-a-b
\end{eqnarray*}
$f(x)=ax^3+2x^2+bx+5, a\neq 0$ dibagi oleh $(2x-1)$ sisanya $4$
\begin{eqnarray*}
f\left(\frac{1}{2}\right)&=&\left(\frac{1}{2}\right)^3a+2\left(\frac{1}{2}\right)^2+b\left(\frac{1}{2}\right)+5\\
4&=&\frac{a}{8}+\frac{1}{2}+\frac{1}{2}b+5\\
32&=&a+4+4b+40\\
32&=&a+4b+44\\
-12&=&a+4b
\end{eqnarray*}
Dari 2 persamaan diatas kita dapat melakukan eliminasi untuk mendapatkan nilai $a$ dan $b$.
\begin{eqnarray*}
-3&=&-a-b\\
-12&=&a+4b\\
\end{eqnarray*}
Dengan mengeliminasi kedua persamaan diatas di dapat nilai $a=8$ dan $b=-5$. Sehingga hasil dari $a+2b$ adalah:
\begin{eqnarray*}
a+2b&=&8+2(-5)\\
&=&8-10\\
&=&-2
\end{eqnarray*}

10. Faktor-faktor persamaan suku banyak $x^3+px^2-3x+q=0$ adalah $(x-2)$ dan $(x-3)$. Jika $x_1,x_2,x_3$ adalah akar-akar persamaan suku banyak tersebut, maka nilai $x_1+x_2+x_3$ = ....

Jawaban
 
\begin{eqnarray*}
f(-2)&=&-2^3+p(-2)^2-3(-2)+q \\
&=&-8+4p+6+9 \\
&=&-2+4p+q \\
4p+q&=&2
\end{eqnarray*}
\begin{eqnarray*}
f(3)&=&3^3+p(3)^2-3(3)+q \\
&=&27+9p-9+q \\
&=&18+9p+q \\
9p+q&=&-18
\end{eqnarray*}
Eliminasi persamaan pertama dan kedua:
\begin{eqnarray*}
4p+q&=&2\\
9p+q&=&-18
\end{eqnarray*}
Hasil eliminasi dari persamaan diatas kita mendapatkan nilai $p=-4$ dan $q=18$. Sehingga persamaan diatas menjadi $x^3-4x^2-3x+18=0$. Perlu diketahui bahwa dalam materi suku banyak terdapat terluasan teorema Vieta atau biasa di kenal rumus jumlah dan hasil kali yaitu
a. $x_1+x_2+x_3=-\dfrac{b}{a}$
b. $x_1x_2+x_2x_3+x_1x_3 = \dfrac{c}{a}$
c. $x_1x_2x_3 = -\dfrac{d}{a}$
sehingga dalam menjawab soal diatas kita menggunakan teorema yang pertama yaitu untuk fungsi $x^3-4x^2-3x+18=0$ maka $$x_1+x_2+x_3=-\dfrac{-4}{1} = 4$$

Sekian dulu pembahasan kita kali ini. Nanti kita sambung lagi. Jangan lupa komentarnya yah..