Membahas Soal-Soal Suku Banyak



Pada kesempatan postingan kali ini saya akan mencoba membahas masalah yang berkaitan dengan suku banyak yang sudah dipelajari saat SMA kelas XI IPA. Soal-soalnya cukup mudah namun biasanya siswa-siswa merasa kesulitan dalam menjawab soal yang bentuknya agak aneh... Untuk itu saya mencoba memposting soal sekaligus dengan jawabannya. Mudah-mudahan bisa membantu para siswa yang sedang mencari materi ini.Mengingat Ujian Nasional sudah di depan mata, ayo jangan bermalas-malasan. Segera latih kemampuanmu agar bisa lulus dengan hasil yang memuaskan. Jangan selalu mengharapkan ada bantuan. Hanya satu yang bisa membantumu yaitu belajar dengan sungguh-sungguh. jadi yang bisa membantu anda dalam menentukan kelulusan adalah anda sendiri.

Tidak usah takut tidak usah gentar menghadapi Ujian Nasional karena Ujian Nasional adalah sesuatu yang tidak harus di takuti melainkan harus dihadapi. Nah rasa takut menghadapi UN adalah kurangnya kesiapan kita dalam menghadapinya. Oleh karena itu mari kita Hajar UN .. jangan takut. jangan Menyerah. Lets go..

1. Nilai suku banyak untuk $f\left(x\right)=2x^{3}-x^{2}-3x+5$ untuk $x=-2$ adalah ....

Jawaban

\begin{eqnarray*} f\left(-2\right) & = & 2\left(-2\right)^{3}-\left(-2\right)^{2}-3\left(-2\right)+5\\ & = & -16-4+6+5\\ & = & -20+11\\ & = & -9 \end{eqnarray*}


2. Sisa pembagian $3x^{4}+5x^{3}-11x^{2}+6x-10$ oleh $\left(3x-1\right)$ adalah ....

Jawaban

Dengan menggunakan metode Horner maka dengan mudah kita bisa menyelesaikan soal tersebut.

Jadi sisanya adalah $-9$

Catatan : dibandingkan dengan menggunakan metode substitusi, metode ini lebih simpel dan mudah karena tidak perlu menghitung angka dalam jumlah besar. Coba bandingkan dengan menggunakan metode substitusi maka akan terlihat lebih rumit walaupun hasilnya sama. Silahkan anda coba sebagai bahan latihan 


3. Jika $x^{3}-4x^{2}+5x+p$ dan $x^{2}+3x-2$ dibagi oleh $x+1$ memberikan sisa yang sama maka nilai $p$ adalah ....

Jawaban

\begin{eqnarray*}
Q\left(x\right) & = & x^{3}-4x^{2}+5x+p\\
Q\left(-1\right) & = & \left(-1\right)^{3}-4\left(-1\right)^{2}+5\left(-1\right)+p\\
& = & -1-4-5+p\\
Q\left(-1\right) & = & -10+p
\end{eqnarray*}
\begin{eqnarray*}
R\left(x\right) & = & x^{2}+3x-2\\
R\left(-1\right) & = & \left(-1\right)^{2}+3\left(-1\right)-2\\
& = & 1-3-2\\
R\left(-1\right) & = & -4
\end{eqnarray*}
Karena $Q\left(-1\right)=R\left(-1\right)$ maka
\begin{eqnarray*}
-10+p & = & -4\\
p & = & -4+10\\
p & = & 6
\end{eqnarray*}


4. Jika suku banyak $x^{5}+x^{4}-2x^{3}+2$ di bagi oleh $x-1$ maka sisanya adalah ....

Jawaban

\begin{eqnarray*}
f\left(x\right) & = & x^{5}+x^{4}-2x^{3}+2\\
f\left(1\right) & = & 1^{5}+1^{4}-2\left(1\right)^{3}+2\\
& = & 1+1-2+2\\
& = & 2
\end{eqnarray*}


5. Suku banyak $6x^{3}+7x^{2}+px-24$ habis dibagi oleh $2x-3$. Nilai $p$ adalah ....

Jawaban

Dengan menggunakan metode Horner kita dapatkan

Jadi nilai $p$ adalah
\begin{eqnarray*}
\frac{72+3p}{2} & = & 24\\
72+3p & = & 48\\
3p & = & -24\\
p & = & -8
\end{eqnarray*}


6. Jika $x^{3}-2x+a$ habis dibagi oleh $x-2$ maka suku banyak tersebut juga habis dibagi oleh ....

Jawaban

\begin{eqnarray*}
f\left(x\right) & = & x^{3}-2x+a\\
f\left(2\right) & = & 8-4+a\\
a+4 & = & 0\\
a & = & -4
\end{eqnarray*}
Diperoleh $f\left(x\right)=x^{3}-2x-4$ Karena faktor dari 4 adalah $\pm1,\pm2,\pm4$ sehingga dapat kita uji satu persatu.

  • Untuk $x=1$ maka $f\left(1\right)=1^{3}-2\left(1\right)-4=-5$ bukan faktor dari $f\left(x\right)$

  • Untuk $x=-2$ maka $f\left(-2\right)=\left(-2\right)^{3}-2\left(-2\right)-4=-8$ bukan faktor dari $f\left(x\right)$

Dari hasil pengujian ternyata hanya ada satu faktor real dari $f\left(x\right)$ yaitu $x-2$. jadi $f\left(x\right)$ tidak habis di bagi oleh faktor selain $x-2$


7. Hasil dan sisa dari pembagian $4x^{3}+5x^{2}-8$ dibagi oleh $x+2$ berturut-turut adalah ....

Jawaban

dari pembagian Horner diatas di peroleh hasil bagi $4x^{2}-3x+6$ dan sisa $-20$

8. Hasil bagi dan sisa suku banyak $3x^{3}+10x^{2}-8x+3$ dibagi $x^{2}+3x-1$ berturut-turut adalah ....

Jawaban

dari pembagian bersusun pendek diatas di peroleh hasil bagi $3x+1$ dan sisa $-8x+4$

9. Jika $f\left(x\right)$ dibagi dengan $x-2$ sisanya 24 sedangkan jika di bagi dengan $x+5$ sisanya 10. Jika $f\left(x\right)$di bagi dengan $x^{2}+3x-10$ sisanya adalah ....

Jawaban

Misalkan sisa dari pembagian tersebut adalah $Ax+B$. Perhatikan bahwa
\[
f\left(x\right)=H\left(x\right)\cdot P\left(x\right)+S\left(x\right)
\]
dalam hal ini $H\left(x\right)$: Hasil bagi, $P\left(x\right)$: Pembagi dan $S\left(x\right)$: sisa pembagian sehingga dari keterangan soal diperoleh
\[
f\left(x\right)=H\left(x\right)\cdot\left(x-2\right)\left(x-5\right)+Ax+B
\]
Sebelumnya kita peroleh bahwa $f\left(2\right)=24$ dan $f\left(-5\right)=10$. Masukkan kedalam persamaan diatas mendapatkan
\begin{eqnarray*}
f\left(2\right) & = & H\left(2\right)\cdot\left(2-2\right)\left(2-5\right)+2A+B\\
24 & = & 2A+B
\end{eqnarray*}
\begin{eqnarray*}
f\left(-5\right) & = & H\left(-5\right)\cdot\left(-5-2\right)\left(-5-5\right)-5A+B\\
10 & = & -5A+B
\end{eqnarray*}
Eliminasi dua persamaan diatas mendapatkan $A=2$ dan $B=20$ sehingga sisanya adalah $2x+20$


10. Suku banyak $2x^{3}+ax^{2}-bx+3$ dibagi oleh $\left(x^{2}-4\right)$ bersisa $\left(x+23\right).$ Nilai $a+b$ adalah......

Jawaban

Menggunakan pembagian bersusun pendek di dapatkan

Perhatikan bahwa sisa dari pembagian diatas adalah $\left(-bx+8x+3+4a\right)$ sedangkan keterangan dalam soal sisanya adalah $\left(x+23\right)$. Dengan memanfaatkan kesamaan suku banyak kita dengan mudah menyelesaikannya. Perhatikan penjelasan berikut.
\begin{eqnarray*}
-bx+8x+3+4a & = & x+23\\
x\left(-b+8\right)+3+4a & = & x+23
\end{eqnarray*}
Dari kesamaan diatas diperoleh bahwa $-b+8=1\Longrightarrow b=7$ dan $3+4a=23\Longrightarrow a=5$. Sehingga di dapatkan $a+b=7+5=12$

Untuk sementara cukup 10 nomor dulu yah... Pembahasan selanjutnya silahkan ikuti postingan selanjutnya... Selamat Belajar.