Melanjutkan Pembahasan Suku Banyak

4:14:00 PM 0
Pada postingan sebelumnya saya sudah sempat membahas tentang soal-soal suku banyak yang sering keluar dalam Ujian Nasional. Pembahasan yang saya buat tentunya tidak terlalu mendetail antara lain untuk metode substitusi maupun eliminasi tidak saya bahas disini. Jadi langsung saya lompati saja. Tentunya anda sudah mahir dalam materi tersebut. Jika belum mengerti, silahkan anda belajar kembali materi kelas X semester 1.

Pembuatan postingan saya selalu memunculkan spoiler yang dapat menghemat area postingan. Gimana spoiler saya keren kan ? hehe :D . Tujuannya yah agar kita mudah saja membacanya. Tulisan dalam spoiler adalah jawaban atas soal yang diberikan diatasnya. Silahkan klik jawaban untuk memunculkan pembahasannya.

Postingan kali ini juga masih seperti postingan sebelumnya. Tidak ada yang spesial namun sudah agak rumit mengingat membutuhkan daya analisis sedikit. Namun pada dasarnya masih cukup gampang kok. Berikut ulasannya.

11. Suku banyak $f\left(x\right)$ habis di bagi oleh $\left(x-1\right)$. Sisa pembagian $f\left(x\right)$ oleh $\left(x-1\right)\left(x+1\right)$ adalah .......

Jawaban

$f\left(x\right)$ habis di bagi oleh $\left(x-1\right)$ diperoleh
\begin{eqnarray*}
f\left(x\right) & = & H\left(x\right)\left(x-1\right)+0\\
f\left(1\right) & = & 0
\end{eqnarray*}
Misalkan sisa dari pembagian tersebut adalah $Ax+B$. Sementara $f\left(x\right)$ dibagi $\left(x-1\right)\left(x+1\right)$ mendapatkan
\begin{eqnarray*}
f\left(x\right) & = & H\left(x\right)\left(x-1\right)\left(x+1\right)+Ax+B\\
f\left(1\right) & = & A+B\\
A+B & = & 0\\
A & = & -B\\
f\left(-1\right) & = & -A+B\\
& = & B+B\\
f\left(-1\right) & = & 2B\\
B & = & \frac{1}{2}f\left(-1\right)\\
A & = & -\frac{1}{2}f\left(-1\right)
\end{eqnarray*}
Sehingga sisanya adalah
\begin{eqnarray*}
Ax+B & = & -\frac{1}{2}f\left(-1\right)x+\frac{1}{2}f\left(-1\right)\\
& = & \frac{1}{2}f\left(-1\right)\left(1-x\right)
\end{eqnarray*}

12. Sisa pembagian $\left(x^{2}+ax+b\right):\left(x-3\right)$ adalah 4. Sisa pembagian $\left(x^{2}+bx+a\right):\left(x-3\right)$ adalah 10. Nilai $a^{2}+b^{2}$ adalah .....

Jawaban

\begin{eqnarray*}
f\left(3\right) & = & 3^{2}+3a+b\\
4 & = & 9+3a+b\\
3a+b & = & -5
\end{eqnarray*}
\begin{eqnarray*}
f\left(3\right) & = & 3^{2}+3b+a\\
10 & = & 9+3b+a\\
3b+a & = & 1
\end{eqnarray*}
Eliminasi dua persamaan diatas di dapatkan nilai $a=-2$ dan $b=1$ sehingga $$a^{2}+b^{2}=\left(-2\right)^{2}+1^{2}=5$$

13. Fungsi $f\left(x\right)$ dibagi $\left(x-1\right)$ sisanya 3 sedangkan jika di bagi $x-2$ sisanya 4. Jika $f\left(x\right)$ dibagi dengan $x^{2}-3+2$ maka sisanya adalah ....

Jawaban

Misalkan sisa pembagian adalah $Ax+B$ Sehingga
\begin{eqnarray*}
f\left(x\right) & = & H\left(x\right)\left(x-1\right)\left(x-2\right)+Ax+B\\
f\left(1\right) & = & 0+A+B\\
3 & = & A+B
\end{eqnarray*}
\begin{eqnarray*}
f\left(x\right) & = & H\left(x\right)\left(x-1\right)\left(x-2\right)+Ax+B\\
f\left(2\right) & = & 0+2A+B\\
4 & = & 2A+B
\end{eqnarray*}
Eliminasi kembali persamaan diatas mendapatkan nilai $A=1$ dan $B=2$ sehingga sisanya adalah $x+2$

14. Jika $f\left(x\right)$ dibagi oleh $x^{2}-2x$ dan $x^{2}-3x$ masing-masing mempunyai sisa $2x+1$ dan $5x+2$, maka $f\left(x\right)$ dibagi oleh $x^{2}-5x+6$ mempunyai sisa ....

Jawaban

Misalkan sisa $Ax+B$
\begin{eqnarray*}
f\left(x\right) & = & H\left(x\right)x\left(x-2\right)+2x+1\\
f\left(2\right) & = & 2\left(2\right)+1\\
f\left(2\right) & = & 5
\end{eqnarray*}
\begin{eqnarray*}
f\left(x\right) & = & H\left(x\right)x\left(x-3\right)+5x+2\\
f\left(3\right) & = & 5\left(3\right)+2\\
f\left(3\right) & = & 17
\end{eqnarray*}
\begin{eqnarray*}
f\left(x\right) & = & H\left(x\right)\cdot\left(x-2\right)\left(x-3\right)+Ax+B\\
f\left(2\right) & = & 2A+B\\
2A+B & = & 5\\
f\left(3\right) & = & 3A+B\\
3A+B & = & 17
\end{eqnarray*}
Eliminasi kedua persamaan diatas mendapatkan $A=12$ dan $B=-19$ sehingga sisanya adalah $12x-19$

15. Suatu suku banyak $P\left(x\right)$ dibagi oleh $\left(x^{2}-1\right)$ sisanya $\left(12x-23\right)$dan jika di bagi oleh $\left(x-2\right)$ sisanya 1. Sisa pembagian suku banyak oleh $\left(x^{2}-3x+2\right)$ adalah ....

Jawaban

Misalkan sisa pembagian adalah $Ax+B$.
\begin{eqnarray*}
P\left(x\right) & = & H\left(x\right)\left(x-1\right)\left(x+1\right)+12x-23\\
P\left(1\right) & = & -11
\end{eqnarray*}
\begin{eqnarray*}
P\left(x\right) & = & H\left(x\right)\left(x-2\right)+1\\
P\left(2\right) & = & 1
\end{eqnarray*}
karena $\left(x^{2}-3x+2=0\right)$ dapat difaktorkan menjadi $\left(x-2\right)\left(x-1\right)$
maka
\begin{eqnarray*}
P\left(x\right) & = & H\left(x\right)\cdot\left(x-2\right)\left(x-1\right)+Ax+B\\
P\left(1\right) & = & A+B\\
A+B & = & -11\qquad\qquad(1)\\
P\left(2\right) & = & 2A+B\\
2A+B & = & 1\qquad\qquad\qquad(2)
\end{eqnarray*}
Eliminasi persamaan (1) dan (2) mendapatkan $A=12$ dan $B=-23$ sehingga sisanya adalah $12x-23$

16. Suku banyak $V\left(x\right)$ dibagi $x^{2}-x$ dan $x^{2}+x$ masing-masing memberikan sisa $5x+1$ dan $3x+1$. Jika $V\left(x\right)$ dibagi $x^{2}-1$ sisanya adalah ....

Jawaban

Misalkan sisa pembagian $V\left(x\right)$ oleh $x^{2}-1$ adalah $Ax+B$
\begin{eqnarray*}
V\left(x\right) & = & H\left(x\right)\cdot x\left(x-1\right)+5x+1\\
V\left(1\right) & = & 6
\end{eqnarray*}
\begin{eqnarray*}
V\left(x\right) & = & H\left(x\right)x\left(x+1\right)+3x+1\\
V\left(-1\right) & = & -2
\end{eqnarray*}
\begin{eqnarray*}
V\left(x\right) & = & H\left(x\right)\left(x+1\right)\left(x-1\right)+Ax+B\\
V\left(1\right) & = & A+B\\
A+B & = & 6\qquad\qquad\qquad(1)\\
V\left(-1\right) & = & -A+B\\
-A+B & = & -2\qquad\qquad\qquad(2)
\end{eqnarray*}
Eliminasi persamaan (1) dan (2) mendapatkan $A=4$ dan $B=2$ sehingga sisanya adalah $4x+2$

Sekian dulu yah... Capek nulisnya.. Setelah ini akan di bahas yang lumayan. Sekaligus akan langsung ke Fungsi komposisi. Selalu kunjungi blog ini yah.... Terima kasih.

Membahas Soal-Soal Suku Banyak

3:45:00 PM 0


Pada kesempatan postingan kali ini saya akan mencoba membahas masalah yang berkaitan dengan suku banyak yang sudah dipelajari saat SMA kelas XI IPA. Soal-soalnya cukup mudah namun biasanya siswa-siswa merasa kesulitan dalam menjawab soal yang bentuknya agak aneh... Untuk itu saya mencoba memposting soal sekaligus dengan jawabannya. Mudah-mudahan bisa membantu para siswa yang sedang mencari materi ini.Mengingat Ujian Nasional sudah di depan mata, ayo jangan bermalas-malasan. Segera latih kemampuanmu agar bisa lulus dengan hasil yang memuaskan. Jangan selalu mengharapkan ada bantuan. Hanya satu yang bisa membantumu yaitu belajar dengan sungguh-sungguh. jadi yang bisa membantu anda dalam menentukan kelulusan adalah anda sendiri.

Tidak usah takut tidak usah gentar menghadapi Ujian Nasional karena Ujian Nasional adalah sesuatu yang tidak harus di takuti melainkan harus dihadapi. Nah rasa takut menghadapi UN adalah kurangnya kesiapan kita dalam menghadapinya. Oleh karena itu mari kita Hajar UN .. jangan takut. jangan Menyerah. Lets go..

1. Nilai suku banyak untuk $f\left(x\right)=2x^{3}-x^{2}-3x+5$ untuk $x=-2$ adalah ....

Jawaban

\begin{eqnarray*}
f\left(-2\right) & = & 2\left(-2\right)^{3}-\left(-2\right)^{2}-3\left(-2\right)+5\\
& = & -16-4+6+5\\
& = & -20+11\\
& = & -9
\end{eqnarray*}



2. Sisa pembagian $3x^{4}+5x^{3}-11x^{2}+6x-10$ oleh $\left(3x-1\right)$ adalah ....

Jawaban

Dengan menggunakan metode Horner maka dengan mudah kita bisa menyelesaikan soal tersebut.

Jadi sisanya adalah $-9$

Catatan : dibandingkan dengan menggunakan metode substitusi, metode ini lebih simpel dan mudah karena tidak perlu menghitung angka dalam jumlah besar. Coba bandingkan dengan menggunakan metode substitusi maka akan terlihat lebih rumit walaupun hasilnya sama. Silahkan anda coba sebagai bahan latihan 


3. Jika $x^{3}-4x^{2}+5x+p$ dan $x^{2}+3x-2$ dibagi oleh $x+1$ memberikan sisa yang sama maka nilai $p$ adalah ....

Jawaban

\begin{eqnarray*}
Q\left(x\right) & = & x^{3}-4x^{2}+5x+p\\
Q\left(-1\right) & = & \left(-1\right)^{3}-4\left(-1\right)^{2}+5\left(-1\right)+p\\
& = & -1-4-5+p\\
Q\left(-1\right) & = & -10+p
\end{eqnarray*}
\begin{eqnarray*}
R\left(x\right) & = & x^{2}+3x-2\\
R\left(-1\right) & = & \left(-1\right)^{2}+3\left(-1\right)-2\\
& = & 1-3-2\\
R\left(-1\right) & = & -4
\end{eqnarray*}
Karena $Q\left(-1\right)=R\left(-1\right)$ maka
\begin{eqnarray*}
-10+p & = & -4\\
p & = & -4+10\\
p & = & 6
\end{eqnarray*}


4. Jika suku banyak $x^{5}+x^{4}-2x^{3}+2$ di bagi oleh $x-1$ maka sisanya adalah ....

Jawaban

\begin{eqnarray*}
f\left(x\right) & = & x^{5}+x^{4}-2x^{3}+2\\
f\left(1\right) & = & 1^{5}+1^{4}-2\left(1\right)^{3}+2\\
& = & 1+1-2+2\\
& = & 2
\end{eqnarray*}


5. Suku banyak $6x^{3}+7x^{2}+px-24$ habis dibagi oleh $2x-3$. Nilai $p$ adalah ....

Jawaban

Dengan menggunakan metode Horner kita dapatkan

Jadi nilai $p$ adalah
\begin{eqnarray*}
\frac{72+3p}{2} & = & 24\\
72+3p & = & 48\\
3p & = & -24\\
p & = & -8
\end{eqnarray*}


6. Jika $x^{3}-2x+a$ habis dibagi oleh $x-2$ maka suku banyak tersebut juga habis dibagi oleh ....

Jawaban

\begin{eqnarray*}
f\left(x\right) & = & x^{3}-2x+a\\
f\left(2\right) & = & 8-4+a\\
a+4 & = & 0\\
a & = & -4
\end{eqnarray*}
Diperoleh $f\left(x\right)=x^{3}-2x-4$ Karena faktor dari 4 adalah $\pm1,\pm2,\pm4$ sehingga dapat kita uji satu persatu.

  • Untuk $x=1$ maka $f\left(1\right)=1^{3}-2\left(1\right)-4=-5$ bukan faktor dari $f\left(x\right)$

  • Untuk $x=-2$ maka $f\left(-2\right)=\left(-2\right)^{3}-2\left(-2\right)-4=-8$ bukan faktor dari $f\left(x\right)$

Dari hasil pengujian ternyata hanya ada satu faktor real dari $f\left(x\right)$ yaitu $x-2$. jadi $f\left(x\right)$ tidak habis di bagi oleh faktor selain $x-2$


7. Hasil dan sisa dari pembagian $4x^{3}+5x^{2}-8$ dibagi oleh $x+2$ berturut-turut adalah ....

Jawaban

dari pembagian Horner diatas di peroleh hasil bagi $4x^{2}-3x+6$ dan sisa $-20$

8. Hasil bagi dan sisa suku banyak $3x^{3}+10x^{2}-8x+3$ dibagi $x^{2}+3x-1$ berturut-turut adalah ....

Jawaban

dari pembagian bersusun pendek diatas di peroleh hasil bagi $3x+1$ dan sisa $-8x+4$

9. Jika $f\left(x\right)$ dibagi dengan $x-2$ sisanya 24 sedangkan jika di bagi dengan $x+5$ sisanya 10. Jika $f\left(x\right)$di bagi dengan $x^{2}+3x-10$ sisanya adalah ....

Jawaban

Misalkan sisa dari pembagian tersebut adalah $Ax+B$. Perhatikan bahwa
\[
f\left(x\right)=H\left(x\right)\cdot P\left(x\right)+S\left(x\right)
\]
dalam hal ini $H\left(x\right)$: Hasil bagi, $P\left(x\right)$: Pembagi dan $S\left(x\right)$: sisa pembagian sehingga dari keterangan soal diperoleh
\[
f\left(x\right)=H\left(x\right)\cdot\left(x-2\right)\left(x-5\right)+Ax+B
\]
Sebelumnya kita peroleh bahwa $f\left(2\right)=24$ dan $f\left(-5\right)=10$. Masukkan kedalam persamaan diatas mendapatkan
\begin{eqnarray*}
f\left(2\right) & = & H\left(2\right)\cdot\left(2-2\right)\left(2-5\right)+2A+B\\
24 & = & 2A+B
\end{eqnarray*}
\begin{eqnarray*}
f\left(-5\right) & = & H\left(-5\right)\cdot\left(-5-2\right)\left(-5-5\right)-5A+B\\
10 & = & -5A+B
\end{eqnarray*}
Eliminasi dua persamaan diatas mendapatkan $A=2$ dan $B=20$ sehingga sisanya adalah $2x+20$


10. Suku banyak $2x^{3}+ax^{2}-bx+3$ dibagi oleh $\left(x^{2}-4\right)$ bersisa $\left(x+23\right).$ Nilai $a+b$ adalah......

Jawaban

Menggunakan pembagian bersusun pendek di dapatkan

Perhatikan bahwa sisa dari pembagian diatas adalah $\left(-bx+8x+3+4a\right)$ sedangkan keterangan dalam soal sisanya adalah $\left(x+23\right)$. Dengan memanfaatkan kesamaan suku banyak kita dengan mudah menyelesaikannya. Perhatikan penjelasan berikut.
\begin{eqnarray*}
-bx+8x+3+4a & = & x+23\\
x\left(-b+8\right)+3+4a & = & x+23
\end{eqnarray*}
Dari kesamaan diatas diperoleh bahwa $-b+8=1\Longrightarrow b=7$ dan $3+4a=23\Longrightarrow a=5$. Sehingga di dapatkan $a+b=7+5=12$

Untuk sementara cukup 10 nomor dulu yah... Pembahasan selanjutnya silahkan ikuti postingan selanjutnya... Selamat Belajar.

Soal-Soal Tentang Aplikasi Turunan

1:51:00 PM 0
Pada waktu bulan januari lalu, saya sempat di minta untuk menjawab soal tentang aplikasi turunan yaitu mengenai titik belok, fungsi naik dan fungsi turun. Menurut saya materi tentang aplikasi turunan sudah jarang diajarkan di tingkatan SMA sehingga ketika siswa menemui soal seperti itu pada saat SBMPTN akan sangat kesulitan. Padahal materi tentang aplikasi turunan sangatlah mudah dipelajari. Hanya jika kita tahu dasarnya maka kita akan mudah menjawab soal-soalnya. OK Langsung saja kita bahas soalnya. Cuma 3 nomor saja kok

1.  Grafik Fungsi $f(x) =2x^3-9x^2+12x-1$ naik untuk ....

Jawaban
Fungsi $f(x)=2x^{3}-9x^{2}+12x-1$ maka $f'(x)=6x^{2}-18x+12$. Syarat dari fungsi naik adalah jika $f'(x)>0$ sehingga di dapatkan $6x^{2}-18x+10>0$ atau disederhanakan menjadi $x^{2}-3x+2>0$ sehingga kita dapatkan faktornya adalah $(x-2)(x-1)=0$ atau $x=2$ dan $x=1$. Karena syarat dari fungsi naik adalah $f'(x)>0$ maka kita harus menguji titik kritis tersebut pada garis bilangan sebagai berikut


diperoleh $f\left(x\right)$naik pada $\left(-\infty,1\right)\cup\left(2,\infty\right)$

2. Grafik fungsi $y=x^3+6x^2+9x+7$ memiliki titik belok di ....

Jawaban
\begin{eqnarray*}
f(x) & = & x^{3}+6x^{2}+9x+7f'(x)\\
f'\left(x\right) & = & 3x^{2}+12x+9\\
f''\left(x\right) & = & 6x+12
\end{eqnarray*}
syarat perlu untuk titik belok adalah $f''\left(x\right)=0$ maka
\begin{eqnarray*}
6x+12 & = & 0\\
6x & = & -12\\
x & = & -2
\end{eqnarray*}
untuk $x=-2$ maka
\begin{eqnarray*}
f(-2) & = & (-2)^{3}+6(-2)^{2}+9(-2)+7\\
& = & -8+24-18+7\\
& = & 5
\end{eqnarray*}
Jadi diperoleh titik belok $\left(-2,5\right)$

3. Nilai minimum dari fungsi $f(x) = x^3+3x^2-9x+3$ pada interval $-2 \leq x \leq 3$ adalah....

Jawaban
\begin{eqnarray*}
f(x) & = & x^{3}+3x^{2}-9x+3\\
f'\left(x\right) & = & 3x^{2}+6x-9
\end{eqnarray*}
Nilai minimum terjadi jika $f'\left(x\right)=0$ sehingga

\begin{eqnarray*}
3x^{2}+6x-9 & = & 0\\
x^{2}+2x-3 & = & 0\\
(x+3)(x-1) & = & 0\\
x=-3 & \text{atau} & x=1
\end{eqnarray*}
Karena interval dibatasi pada $-2\leq x\leq 3$ maka kita ambil nilai $x=1$. Untuk $x=1$ kita dapatkan

\begin{eqnarray*}
f(1) & = & 1^{3}+3(1)^{2}-9(1)+3\\
& = & 1+3-9+3\\
& = & -2
\end{eqnarray*}

Sekian dulu pembahasan dari saya. Nanti kita lanjutkan kembali. Selamat belajar.
Soal-Soal Latihan Menjelang Ujian Nasional

Soal-Soal Latihan Menjelang Ujian Nasional

3:34:00 PM 0
Ujian nasional sudah dekat. Oleh karena itu sebaiknya kita mulai mempersiapkan diri dengan cara belajar yang rutin dan banyak mengerjakan soal-soal latihan. Kali ini saya akan memposting soal-soal yang mungkin tidak asing bagi kita sekalian. Yaitu soal-soal UN terdahulu. Tidak tau tahun berapa yag penting dapat di jadikan sebagai bahan latihan saja.

1. Persamaan kuadrat $x^2-3x-2=0$ akar-akarnya $x_1$ dan $x_2$. Persamaan kuadrat baru yang akar-akarnya $(3x_1+1)$ dan $(3x_2+1)$ adalah......
Jawaban

\begin{eqnarray*}
x_1+x_2 & = & -\frac{b}{a}\\
& = & -\frac{-3}{1}\\
& = & 3
\end{eqnarray*}
\begin{eqnarray*}
x_1.x_2 & = & \frac{c}{a}\\
& = & \frac{-2}{1}\\
& = & -2
\end{eqnarray*}
Akar-akar persamaan kuadrat yang baru.
\begin{eqnarray*}
(3x_1+1)+(3x_2+1) & = & 3x_1+3x_2+2\\
& = & 3(x_1+x_2)+2\\
& = & 3(3)+2\\
& = & 9+2 \\
& = & 11
\end{eqnarray*}
\begin{eqnarray*}
(3x_1+1)(3x_2+1) & = & 9x_1x_2+3x_1+3x_2+1\\
& = & 9(x_1x_2)+3(x_1+x_2)+1\\
& = & 9(-2)+3(3)+1\\
& = & -18+9+1\\
& = & -8
\end{eqnarray*}
Dengan menggunakan Rumus Menyusun akar-akar persamaan kuadrat yaitu:${\displaystyle x^2-x(x_1+x_2)+x_1x_2=0}$ kita mendapatkan:

$x^2-x(11)+(-8)=0$ atau $x^2-11x-8=0$

Jadi, persamaan kuadrat yang baru adalah: $x^2-11x-8=0$

2. Persamaan garis singgung lingkaran $x^2+y^2-6x+4y+11=0$ di titik $(2,-1)$ adalah......

Jawaban

Titik Pusat dari lingkaran $x^2+y^2-6x+4y+11=0$ adalah $P(3,-2)$. Sehingga kita dapat mencari nilai $r^2$. Persamaan bakunya adalah :
\begin{eqnarray*}
(x-3)^2+(y+2)^2 & = & -11+9+4\\
(x-3)^2+(y+2)^2 & = & 2\\
\end{eqnarray*}
Jadi, kita peroleh bahwa $r^2=2$.Persamaan Garis singgung lingkaran yang melalui titik $(a,b)$ adalah:
\begin{eqnarray*}
(x_1-a)(x-a)+(y_1-b)(y-b) & = & r^2\\
(2-3)(x-3)+(-1+2)(y+2) & = & 2\\
(-1)(x-3)+(1)(y+2) & = & 2\\
-x+3+y+2 & = & 2\\
-x+y+3 & = & 0\\
x-y-3 & = & 0
\end{eqnarray*}
Jadi, Persamaan garis singgung lingkaran adalah $x-y-3=0$

3. Fungsi $f$ dan $g$ adalah pemetaan dari $R$ ke $R$ yang dirumuskan oleh $f(x)=3x+5$ dan ${\displaystyle g(x)=\frac{2x}{x+1}, x \neq -1}$. Rumus $(gof)(x)$ adalah ....

Jawaban

\begin{eqnarray*}
(gof)(x) & = & g(f(x))\\
& = & \frac{2(3x+5)}{(3x+5)+1}\\
& = & \frac{6x+10}{3x+6},x\neq -2
\end{eqnarray*}jadi, ${\displaystyle (gof)(x)=\frac{6x+10}{3x+6}, x\neq -2}$

4. Bentuk sederhana dari ${\displaystyle \frac{\sqrt{3}+3\sqrt{2}}{\sqrt{3}-6\sqrt{2}}}$ = ....

Jawaban

${\displaystyle \frac{\sqrt{3}+3\sqrt{2}}{\sqrt{3}-6\sqrt{2}}}$ kita rasionalkan penyebutnya dengan cara mengkalikan dengan ${\displaystyle \frac{\sqrt{3}+6\sqrt{2}}{\sqrt{3}+6\sqrt{2}}}$.\begin{eqnarray*}
\left(\frac{\sqrt{3}+3\sqrt{2}}{\sqrt{3}-6\sqrt{2}}\right) \left(\frac{\sqrt{3}+6\sqrt{2}}{\sqrt{3}+6\sqrt{2}}\right) & = & \frac{3+6\sqrt{6}+3\sqrt{6}+36}{3-72}\\
& = & \frac{6\sqrt{6}+39+3\sqrt{6}}{69}\\
& = & \frac{9\sqrt{6}+39}{69}\\
& = & \frac{3\sqrt{6}+13}{23}\\
& = & \frac{1}{23}(13+3\sqrt{6})
\end{eqnarray*}

5. Bentuk sederhana dari ${\displaystyle \frac{24 a^{-7} b^{-2} c}{6a^{-2} b^{-3} c^{-6}}}$ = ....

Jawaban

\begin{eqnarray*}
\frac{24 a^{-7} b^{-2} c}{6a^{-2} b^{-3} c^{-6}} & = & 4a^{5}bc^7\\
& = & \frac{4bc^7}{a^5}
\end{eqnarray*}

6. Akar-akar persamaan kuadrat $2x^2+mx+16=0$ adalah $\alpha$ dan $\beta$. Jika $\alpha=2\beta$ dan $\alpha,\beta$ positif, maka nilai $m$ = ....

Jawaban

Akar-akar persamaan kuadrat $2x^2+mx+16=0$ adalah $\alpha$ dan $\beta$. Diketahui juga bahwa $\alpha=2\beta$. Maka:\begin{eqnarray*}
\alpha.\beta & = & \frac{c}{a}\\
2\beta.\beta & = & \frac{16}{2}\\
2\beta^2 & = & 8\\
\beta^2 & = & 4\\
\beta & = & 2
\end{eqnarray*}
Nilai $\beta = 2$, maka:
\begin{eqnarray*}
\alpha+\beta & = & -\frac{b}{a}\\
2\beta+\beta & = & -\frac{b}{a}\\
3\beta & = & -\frac{m}{2}\\
\beta & = & -\frac{m}{6}\\
2 & = & -\frac{m}{6}\\
-m & = & 12\\
m & = & -12
\end{eqnarray*}

7. Nilai $x$ yang memenuhi persamaan $^2\log^2(2x-2) - ^2\log(2x-2)=2$ adalah ....

Jawaban

Dari Persamaan $^2\log^2(2x-2) - ^2\log(2x-2)=2$, Kita ubah bentuknya menjadi $^2\log^2(2x-2)-^2\log(2x-2)-2=0$.
Kita misalkan $^2\log(2x-2)=P$. Maka kita mendapatkan persamaan:
\begin{eqnarray*}
^2\log^2(2x-2) - ^2\log(2x-2)-2&=&0\\
P^2-P-2&=&0\\
(P-2)(P+1)&=&0\\
P=2 & dan & P=-1
\end{eqnarray*}
\begin{eqnarray*}
^2\log(2x-2)&=&2\\
2x-2&=&2^2\\
2x&=&6\\
x&=&3
\end{eqnarray*}
\begin{eqnarray*}
^2\log(2x-2)&=&-1\\
2x-2&=&2^{-1}\\
2x-2&=&\frac{1}{2}\\
2x&=&\frac{5}{2}\\
x&=&\frac{5}{4}\\
x&=&1\frac{1}{4}
\end{eqnarray*}
Jadi, nilai $x$ yang memenuhi adalah $x=3$ atau ${\displaystyle x=1\frac{1}{4}}$

8. Grafik fungsi kuadrat $f(x)=ax^2+2\sqrt{2}x+(a-1), a\neq 0$ memotong sumbu $X$ di dua titik berbeda. Batas-batas nilai $a$ yang memenuhi adalah ....

Jawaban
Grafik Fungsi Kuadrat $f(x)=ax^2+2\sqrt{2}x+(a-1), a\neq 0$ memotong sumbu $X$ di dua titik berbeda, maka kita mendapatkan bahwa $D>0$. Sehingga
\begin{eqnarray*}
D&>&0\\
b^2-4ac&>&0\\
(2\sqrt{2})^2-4.a.(a-1)&>&0\\
8-4a^2-4a&>&0\\
-a^2-a+8&>&0\\
-a^2-a+8&=&0\\
(-a-2)(a-1)&=&0\\
a=-2 &dan& a=1
\end{eqnarray*}
Jika kita mengujinya dalam garis bilangan, maka kita dapatkan batas-batas $x$ berada pada $(-2,1)$

9. Diketahui suku banyak $f(x)=ax^3+2x^2+bx+5, a\neq 0$ dibagi oleh $(x+1)$ sisanya $4$ dan dibagi oleh $(2x-1)$ sisanya juga $4$. Nilai dari $(a+2b)$ adalah ....

Jawaban
Penyelesaian soal ini dengan menggunakan Teorema sisa $f(x)=ax^3+2x^2+bx+5, a\neq 0$ dibagi oleh $(x+1)$ sisanya $4$
\begin{eqnarray}
f(-1)&=&-a+2-b+5\\
4&=&-a-b+7\\
-3&=&-a-b
\end{eqnarray}
$f(x)=ax^3+2x^2+bx+5, a\neq 0$ dibagi oleh $(2x-1)$ sisanya $4$
\begin{eqnarray}
f\left(\frac{1}{2}\right)&=&\left(\frac{1}{2}\right)^3a+2\left(\frac{1}{2}\right)^2+b\left(\frac{1}{2}\right)+5\\
4&=&\frac{a}{8}+\frac{1}{2}+\frac{1}{2}b+5\\
32&=&a+4+4b+40\\
32&=&a+4b+44\\
-12&=&a+4b
\end{eqnarray}
Dari 2 persamaan diatas kita dapat melakukan eliminasi untuk mendapatkan nilai $a$ dan $b$.
\begin{eqnarray*}
-3&=&-a-b\\
-12&=&a+4b\\
\end{eqnarray*}
Dengan mengeliminasi kedua persamaan diatas di dapat nilai $a=8$ dan $b=-5$. Sehingga hasil dari $a+2b$ adalah:
\begin{eqnarray*}
a+2b&=&8+2(-5)\\
&=&8-10\\
&=&-2
\end{eqnarray*}

10. Faktor-faktor persamaan suku banyak $x^3+px^2-3x+q=0$ adalah $(x-2)$ dan $(x-3)$. Jika $x_1,x_2,x_3$ adalah akar-akar persamaan suku banyak tersebut, maka nilai $x_1+x_2+x_3$ = ....

Jawaban
 
\begin{eqnarray}
f(-2)&=&-2^3+p(-2)^2-3(-2)+q \\
&=&-8+4p+6+9 \\
&=&-2+4p+q \\
4p+q&=&2
\end{eqnarray}
\begin{eqnarray}
f(3)&=&3^3+p(3)^2-3(3)+q \\
&=&27+9p-9+q \\
&=&18+9p+q \\
9p+q&=&-18
\end{eqnarray}
Eliminasi persamaan pertama dan kedua:
\begin{eqnarray*}
4p+q&=&2\\
9p+q&=&-18
\end{eqnarray*}
Hasil eliminasi dari persamaan diatas kita mendapatkan nilai $p=-4$ dan $q=18$. Sehingga persamaan diatas menjadi $x^3-4x^2-3x+18=0$. Perlu diketahui bahwa dalam materi suku banyak terdapat terluasan teorema Vieta atau biasa di kenal rumus jumlah dan hasil kali yaitu
a. $x_1+x_2+x_3=-\dfrac{b}{a}$
b. $x_1x_2+x_2x_3+x_1x_3 = \dfrac{c}{a}$
c. $x_1x_2x_3 = -\dfrac{d}{a}$
sehingga dalam menjawab soal diatas kita menggunakan teorema yang pertama yaitu untuk fungsi $x^3-4x^2-3x+18=0$ maka $$x_1+x_2+x_3=-\dfrac{-4}{1} = 4$$

Sekian dulu pembahasan kita kali ini. Nanti kita sambung lagi. Jangan lupa komentarnya yah..