Soal-Soal Vektor

Pada kesempatan kali ini saya akan mencoba membahas tentang materi Ujian Nasional (UN) kemaren tahun 2013 tentang vektor.  Biasanya para siswa cenderung tidak suka dengan soal bentuk vektor, matriks, integral dan lain-lain. Namun pada dasarnya materi vektor cukuplah mudah. hanya menggunakan sedikit trik saja kita bisa langsung bisa mendapatkan jawabannya. Apalagi soalnya masih setara dengan Ujian Nasional pastilah kita dengan mudah menjawabnya.

1. Diketahui vektor-vektor $\vec{a}=2i+3j-4k,\vec{b}=4i-6j+5k$ dan $\vec{c}=2i-4j+6k$. Vektor
$2\vec{a}-3\vec{b}+\vec{c}=....$ 

a. $i-7j-15k$ 
b. $i+20j-17k$ 
c. $i-7j-17k$ 
d. $-6i+20j-17k$ 
e. $-6i-7j-15k$

Jawaban

$\vec{a}=2i+3j-4k=\left(\begin{array}{c}
2\\
3\\
-4
\end{array}\right)$,
$\vec{b}=4i-6j+5k=\left(\begin{array}{c}
4\\
-6\\
5
\end{array}\right)$
$\vec{c}=2i-4j+6k=\left(\begin{array}{c}
2\\
-4\\
6
\end{array}\right)$
Sehingga
\begin{eqnarray*}
2\vec{a}-3\vec{b}+\vec{c} & = & 2\left(\begin{array}{c}
2\\
3\\
-4
\end{array}\right)-3\left(\begin{array}{c}
4\\
-6\\
5
\end{array}\right)+\left(\begin{array}{c}
2\\
-4\\
6
\end{array}\right)\\
& = & \left(\begin{array}{c}
4\\
6\\
-8
\end{array}\right)-\left(\begin{array}{c}
12\\
-18\\
15
\end{array}\right)+\left(\begin{array}{c}
2\\
-4\\
6
\end{array}\right)\\
& = & \left(\begin{array}{c}
-6\\
20\\
-17
\end{array}\right)
\end{eqnarray*}
Sehingga $2\vec{a}-3\vec{b}+\vec{c}=-6i+20j-17k$

2. Diketahui vektor $\vec{p}=i+j-4k,\vec{q}=-2i-j$. Nilai sinus sudut antara dua vektor $\vec{p}$ dan $\vec{q}$ = ....
a. $-\dfrac{3}{10}\sqrt{10}$
b. $-\dfrac{1}{10}\sqrt{10}$
c. $\dfrac{1}{10}\sqrt{10}$
d. $-\dfrac{1}{3}\sqrt{10}$
e. $-\dfrac{3}{10}\sqrt{10}$
Jawaban
\begin{eqnarray*}
\cos\theta & = & \frac{\vec{a}\cdot\vec{b}}{|a|\cdot|b|}\\
& = & \frac{\left(\begin{array}{c}
1\\
1\\
-4
\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}
-2\\
-1\\
0
\end{array}\right)}{\sqrt{1^{2}+1^{2}+4^{2}}\cdot\sqrt{\left(-2\right)^{2}+\left(-1\right)^{2}+0}}\\
& = & \frac{-2+\left(-1\right)+0}{\sqrt{18}\cdot\sqrt{5}}\\
& = & \frac{-3}{\sqrt{90}}\\
& = & -\frac{3}{3\sqrt{10}}\\
& = & -\frac{1}{\sqrt{10}}\\
& = & -\frac{\sqrt{10}}{10}
\end{eqnarray*}
Karena yang ditanya dalam soal adalah $\sin\theta$ maka kita menggunakan rumus identitas trigonometri yaitu $\sin^{2}\theta=1-\cos^{2}\theta$
\begin{eqnarray*}
\sin^{2}\theta & = & 1-\cos^{2}\theta\\
\sin\theta & = & \sqrt{1-\cos^{2}\theta}\\
& = & \sqrt{1-\left(-\frac{\sqrt{10}}{10}\right)^{2}}\\
& = & \sqrt{1-\frac{10}{100}}\\
& = & \sqrt{1-\frac{1}{10}}\\
& = & \sqrt{\frac{9}{10}}\\
& = & \frac{3}{\sqrt{10}}\\
& = & \frac{3}{10}\sqrt{10}
\end{eqnarray*}

3. Diketahui vektor $\vec{a}=3i-2j+4k,\vec{b}=-i+j+2k$. Proyeksi vektor orthogonal $\vec{a}$ pada vektor $\vec{b}$ adalah ....
a. $-\dfrac{1}{6}\left( -i+j+2k\right)$
b. $-\dfrac{1}{3}\left( -i+j+2k\right)$
c. $\dfrac{1}{2}\left( -i+j+2k\right)$
d. $-i+j+2k$
e. $-2i+2j+4k$
Jawaban
Kita misalkan Proyeksi vektor orthogonal $\vec{a}$ pada vektor $\vec{b}$ adalah $\vec{e}$. Sehingga
\begin{eqnarray*}
\vec{e} & = & \frac{\vec{a}\cdot\vec{b}}{|\vec{b}|^{2}}\cdot\vec{b}\\
& = & \frac{\left(\begin{array}{c}
3\\
-2\\
4
\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}
-1\\
1\\
2
\end{array}\right)}{\left(\sqrt{\left(-1\right)^{2}+1^{2}+2^{2}}\right)^{2}}\cdot\left(-i+j+2k\right)\\
& = & \frac{-3+\left(-2\right)+8}{\left(\sqrt{6}\right)^{2}}\cdot\left(-i+j+2k\right)\\
& = & \frac{3}{6}\cdot\left(-i+j+2k\right)\\
& = & \frac{1}{2}\cdot\left(-i+j+2k\right)
\end{eqnarray*}

Sekian dulu pembahasan soal Vektor yang sederhana. Soal tersebut diambil dari soal-soal UN tahun 2013. Besar kemungkinan soal tersebut akan keluar lagi pada UN 2014. Selamat belajar.