Soal ONMIPA PT 2011 Bidang Aljabar Linier Bagian Kedua

Pada postingan sebelumnya saya sudah memposting soal ONMIPA Matematika bidang aljabar linear bagian pertama. nah kali ini saya akan memposting bagian kedua. Pada bagian kedua ini hanya terdiri dari 3 soal. Namun yah wooowww soalnya sangat sulit. Tidak usah berlama-lama langsung kita lihat saja soalnya.

1. Misalkan $A=[a_{i,j}]$ matriks berukuran $2011 \times 2011$ dengan $$a_{ij}=\begin{cases} \left(-1\right)^{|i-j|} & \text{jika }i\neq j\\ 2 & \text{jika }i=j \end{cases}$$ tentukan $\det\left(A\right)$


2. Misalkan $G$ operator linear pada $\mathbb{R}^{2\times2}$ yang memetakan $A\in\mathbb{R}^{2\times2}$ ke $G\left(A\right)=A^{T}$ yaitu transpos dari $A$. Periksalah apakah $G$ dapat di diagonalkan. Jika ya, berikan suatu diagonalisasi dari $G$


3. Misalkan $V$ adalah subruang dari $\mathbb{R}^{50}$ yang dibangun oleh vektor-vektor $v_1,v_2, \cdots , v_{50}$. Jika himpunan semua entri (komponen) $v_1,v_2, \cdots , v_{50}$ adalah himpunan bilangan ${1,2, \cdots , 2500}$, tentukan nilai terkecil dan nilai terbesar yang mungkin untuk $\dim \left( V \right)$.

Sekian dulu yah. Capek :). Jika anda yang bisa mengerjakannya silahkan share di bawah yah....