Persamaan Matematika Tercantik (Euler’s Identity)

3:13:00 PM 0
Tulisan ini sebenarnya sudah di jabarkan oleh mas Aria dalam blognya disini. Namun kali ini saya ingin sedikit menulis kembali mengingat banyak yang bertanya kepada saya tentang persamaan matematika yang tercantik itu yang seperti apa. Dengan adanya pertanyaan tersebut saya ingin memberikan gambaran ulang tentang apa yang sudah di tulis oleh mas Aria dalam blognya. Sekalian dengan mengaplikasikan apa yang sudah saya dapatkan pada kuliah Analisis Kompleks dulu.




Persamaan ini juga pernah dikatakan oleh Prof. Iwan Pranoto dalam Pidato Guru Besarnya yang mengatakan bahwa persamaan tercantik dalam matematika adalah $$e^{i\pi}+1=0$$ Nah cara mendapatkan persamaan tersebut bagaimana sih ? :D. Mas Aria Sudah menjelaskan dalam blognya. Saya tinggal menulisnya saja. Hehehehe. OK Kita langsung saja ya.

Pertama kita ambil $z=\cos \theta + i \sin \theta$. Persamaan ini ada dalam persamaan bilangan kompleks. Kemudian persamaan diatas kita turunkan menjadi $\dfrac{dz}{d \theta}= -\sin \theta + i \cos \theta$. Nah bisa anda perhatikan bahwa $iz=i\cos \theta + i ^2 \sin \theta = i\cos \theta - \sin \theta$ (Ingat definisi $i^2=-1$ dalam bilangan kompleks).

Dari uraian diatas terlihat bahwa $\dfrac{dz}{d \theta}=iz$. Dengan menggunakan pengintegralan kita dapatkan \begin{eqnarray*} \frac{dz}{d \theta}&=&iz\\ \int \frac{dz}{z}&=&\int i d \theta \\ \ln z &=& i \theta +C\\ z&=&e^{i\theta+C} \end{eqnarray*}Nah tugas kita sekarang mencari konstanta $C$. Perhatikan kembali persamaan $z=\cos \theta + i \sin \theta$. jika $\theta = 0$ maka $z=1$. Sehingga $C=0$. Kita mendapatkan $$z=\cos \theta + i \sin \theta=e^{i\theta}$$ yang dikenal dengan nama Persamaan Euler.

Nah jika $\theta=\pi$ maka  $\cos \pi + i \sin \pi=e^{i\pi}$. Kita mendapatkan $-1=e^{i\pi}$ atau $e^{i\pi}+1=0$
QED.

Pertanyaannya adalah .......... Nah Kenapa itu disebut persamaan yang paling cantik...?

Karena ke-5 bilangan paling penting dalam matematika ada disitu $e,i,1,0,\pi$ dan menggunakan 3 operasi terpenting dalam matematika penjumlahan perkalian dan eksponensial. Ada yang bilang persamaan tersebut mengandung makna filosofi dan spritual. Bisa kita bayangkan perpaduan antara bilangan real dan imajiner menghasilkan kosong . Jadi kekosongan, kehampaan dihasilkan dari perpaduan antara kenyataan dan imajinasi.  

Referensi.

  • https://ariaturns.wordpress.com/2008/09/20/persamaan-matematika-yang-paling-cantik/
Pembagian Istimewa dan Deret Teleskoping

Pembagian Istimewa dan Deret Teleskoping

3:43:00 PM 0
Sudah lama sekali rasanya tidak menulis di blog ini. Pada kesempatan kali ini saya akan mencoba memuat materi yang ada kaitannya dengan deret Teleskoping. Namun sebelum kita membahas deret tersebut, ada kalanya kita akan membahas dulu pembagian istimewa dalam suku banyak. Kemudian kita aplikasikan dalam masalah.

Pada pembagian instimewa diperoleh sisa $S=0$ dan hasil bagi merupakan faktor dari $f(x)$. Pembagian istimewa tersebut adalah


  1. $\dfrac{a^n-b^n}{a-b}=a^{n-1}+a^{n-2}b+a^{n-3}b^2+\cdots +ab^{n-2}+b^{n-1}$
  2. $\dfrac{a^{2n}-b^{2n}}{a+b}=a^{2n-1}-a^{2n-2}b+a^{2n-3}b^2-\cdots -b^{2n-1}$
  3. $\dfrac{a^{2n+1}+b^{2n+1}}{a+b}=a^{2n}-a^{2n-1}b+a^{2n-2}b^2-\cdots +b^{2n}$



Jadi seandainya  $\dfrac{a^3-b^3}{a-b}=a^2+ab+b^2$ atau jika $\dfrac{a-b}{a^3-b^3}=\dfrac{1}{a^2+ab+b^2}$. Ada soal yang membahas ataupun menggunakan aplikasi pembagian istimewa diatas kemudian dilanjutkan dengan menggunakan deret teleskoping.

Jika diketahui  \begin{equation*} f(n)=\frac{1}{\sqrt[3]{n^2+2n+1}+\sqrt[3]{n^2-1}+\sqrt[3]{n^2-2n+1}} \end{equation*} untuk setiap $n\in \mathbb{N}$. Nilai dari $f(1)+f(3)+f(5)+\cdots+f(999999)$ adalah ....


Sekilas terlihat bahwa soal diatas cukup sulit dikerjakan dengan menggunakan cara biasa. namun dengan sedikit operasi aljabar akan memudahkan kita dalam mengerjakan soal diatas.

Perhatikan bahwa $n^2-2n+1=(n-1)^2, n^2+2n+1=(n+1)^2$ dan $n^2-1=(n-1)(n+1)$. kemudian kita misalkan $\sqrt[3]{n+1}=a$ dan $\sqrt[3]{n-1}=b$. Selanjutnya fungsi $f(n)$ dapat kita sederhanakan sebagai berikut.
\begin{align*} f(n)&=\frac{1}{\sqrt[3]{n^2+2n+1}+\sqrt[3]{n^2-1}+\sqrt[3]{n^2-2n+1}}\\ &=\frac{1}{\left(\sqrt[3]{n+1}\right)^2+\sqrt[3]{n+1}\sqrt[3]{n-1}+\left(\sqrt[3]{n-1}\right)^2}\\ &=\frac{1}{a^2+ab+b^2}\\ &=\frac{a-b}{a^3-b^3}\\ &=\frac{\sqrt[3]{n+1}-\sqrt[3]{n-1}}{(n+1)-(n-1)}\\ &=\frac{1}{2}\left(\sqrt[3]{n+1}-\sqrt[3]{n-1}\right) \end{align*}

Setelah itu terlihat bahwa
\begin{align*} &f(1)+f(3)+f(5)+\cdots+f(999999)\\ &=\frac{1}{2}\left(\sqrt[3]{2}-\sqrt[3]{0}+\sqrt[3]{4}-\sqrt[3]{2}+\sqrt[3]{6}-\sqrt[3]{4}+\cdots+\sqrt[3]{1000000}-\sqrt[3]{999998}\right)\\ &=\frac{1}{2}\left(\sqrt[3]{1000000}-\sqrt[3]{0}\right)\\ &=50 \end{align*}

Sekian dulu. Jika masih ada yang ingin ditanyakan silahkan menghubungi kotak komentar dibawah. Terima kasih buat Mas Tutur atas tulisan di blognya yang membuat saya ada inspirasi mengerjakan soal ini.

Membuat Fungsi Terbilang di Microsoft Office Excel 2013 $2^{nd}$ Edition

1:12:00 PM 0
Pada postingan saya yang lalu mengenai fungsi terbilang di Microsoft Excel 2013, ada yang sempat menanyakan mengenai fungsi terbilang yang tidak memakai kata "Rupiah" dibelakangnya dengan alasan digunakan untuk menulis raport. Hal tersebut masuk akal sekali mengingat dalam rapor (Jenis Legger) menggunakan huruf dan angka. Nah dengan permasalahan tersebut maka saya membuat postingan ini.

Fungsi ini sebenarnya sudah banyak dibahas di blog-blog yang bertebaran di google. Namun saya akan membahas disini dengan dalih ingin berbagi. Script yang saya upload disini bukan script hasil karya saya melainkan hanya tutorial nya saja yang saya buat sendiri. Oke langsung saja kita bahas saja

Membuat Fungsi Terbilang di Microsoft Office Excel


Pertama kali yang harus anda lakukan adalah mendownload file ini. Setelah itu lakukan ekstrak pada file yang telah anda download tadi. Kemudian Buka Microsoft Office Excel 2013. (Microsoft office Excel versi lama juga bisa)



Kemudian klik "File" di pojok kiri atas sehingga menghasilkan tampilan sebagai berikut.



Kemudian klik "option" dan akan muncul tampilan jendela option sebagai berikut.




Setelah itu silahkan klik "Add-Ins" dan terlihat tampilan berikut


 

Silahkan klik "Go..." dan akan muncul kotak dialog Add-Ins




Silahkan klik "Browse" dan carilah file "Terbilang.xlam" yang sudah anda download tadi. Setelah itu klik "OK".


Setelah anda mengklik "OK", maka akan kembali pada kotak dialog Add-Ins tadi. namun kita mendapatkan fungsi baru yaitu fungsi "Terbilang". Silahkan klik "OK".




Dengan berakhirnya step tadi maka kita sudah dapat menguji keampuhan fungsi tersebut. Saya sendiri mencoba dengan angka-angka kecil saja karena memang tutorial ini dikhususkan untuk penulisan raport yang dasarnya cuma angka di bawah 100. Namun tidak menutup kemungkinan bisa juga dilakukan untuk membilang angka-angka yang besar seperti yang dilakukan oleh para akuntan. Berikut uji coba dan saya nyatakan berhasil.



 


Script diatas tentunya belum bisa dikatakan berhasil $100$ $\%$ mengingat tidak bisa membilang angka $0$ dibelakang koma. jadi jika nilai itu $80,00$ maka hanya akan terbaca "delapan puluh"

Sebagai tambahan, jika anda ingin menambahkan kata Rupiah di belakang, maka anda harus melakukan perintah sebagai berikut.


=terbilang(CELL)&" Rupiah "


Keterangan :

Fungsi & digunakan untuk menggabungkan isi cell dengan formula atau dengan cell lain

Terima kasih juga atas pertanyaan dari Bpk Puan Muridi pada tulisan saya sebelumnya disini sehingga saya dapat menulis artikel ini.


Sekian dulu tutorial dari saya. Jika ada yang perlu ditanyakan silahkan lakukan komentar di bawah. Terima kasih.

Pembahasan Ujian Nasional Tahun Pelajaran 2013-2014 Paket Soal 1

4:43:00 PM 1
Kali ini saya akan memposting tentang pembahasan Ujian Nasional Matematika tingkat SMA yang baru saja selesai bebrapa hari yang lalu. Soal matematika ini katanya sulit dan berstandar internasional. Namun setelah saya melihat beberapa soal ternyata hanya soal yang seperti biasa muncul pada tahun-tahun sebelumnya. Mengingat saya belum memiliki soal secara utuh maka saya hanya memposting 7 soal saja. Itupun saya dapatkan dari blog pak anang. Soal hanya diperlihatkan 7 nomor sehingga itu saja yang saya bahas kali ini. Mudah-mudahan secepatnya bisa saya dapatkan yang full versi. Langung saja kita bahas soalnya

1. Bentuk sederhana dari $\dfrac{12}{3\sqrt{2}-2\sqrt{3}}$ adalah ....

Jawaban

\begin{eqnarray*}
\dfrac{12}{3\sqrt{2}-2\sqrt{3}} & = & \dfrac{12}{3\sqrt{2}-2\sqrt{3}}\times\frac{3\sqrt{2}+2\sqrt{3}}{3\sqrt{2}+2\sqrt{3}}\\
& = & \frac{12\left(3\sqrt{2}+2\sqrt{3}\right)}{18-12}\\
& = & \frac{12\left(3\sqrt{2}+2\sqrt{3}\right)}{6}\\
& = & \frac{12}{6}\left(3\sqrt{2}+2\sqrt{3}\right)\\
& = & 2\left(3\sqrt{2}+2\sqrt{3}\right)\\
\dfrac{12}{3\sqrt{2}-2\sqrt{3}} & = & 6\sqrt{2}+4\sqrt{3}
\end{eqnarray*}

2. Bentuk sederhana dari $\left(\dfrac{a^{3}b^{-2}c}{ab^{-4}c^{2}}\right)^{-1}$ = ....

Jawaban

\begin{eqnarray*}
\left(\dfrac{a^{3}b^{-2}c}{ab^{-4}c^{2}}\right)^{-1} & = & \frac{a^{-3}b^{2}c^{-1}}{a^{-1}b^{4}c^{-2}}\\
& = & a^{\left(-3+1\right)}b^{\left(2-4\right)}c^{\left(-1+2\right)}\\
& = & a^{-2}b^{-2}c\\
& = & \frac{c}{a^{2}b^{2}}
\end{eqnarray*}

3. Himpunan penyelesaian dari $3^{2x}-6\cdot3^{x}<27$ adalah ....

Jawaban

\begin{eqnarray*}
3^{2x}-6\cdot3^{x} & < & 27\\
\left(3^{x}\right)^{2}-6\cdot3^{x}-27 & < & 0
\end{eqnarray*}
Misalkan $3^{x}=P$
\begin{eqnarray*}
P^{2}-6P-27 & < & 0\\
P^{2}-6P-27 & = & 0\\
\left(P-9\right)\left(P+3\right) & = & 0\\
P=9 & \text{atau} & P=-3
\end{eqnarray*}
Nilai $P$ yang memnuhi pada pertidaksamaan eksponen tersebut dapat dilihat pada garis bilangan berikut

Batas-batas yang memenuhi nilai $P$ adalah $-3<P<9$ sehingga
\begin{eqnarray*}
P>-3 & \text{dan} & P<9\\
3^{x}>-3 & \text{dan} & 3^{x}<9\\
\left(\text{tidak memenuhi}\right) & \text{dan} & 3^{x}<3^{2}\\
& & x<2
\end{eqnarray*}
Diperoleh $HP=\left\{ x|x<2\, x\in\mathbb{R}\right\} $

4. Akar-akar persamaan $x^{2}+(p+1)x-18=0$ adalah $\alpha$ dan $\beta$. Jika $\alpha+2\beta=0$ dan $p\geq0$, nilai $p$ = .....
Jawaban

\begin{eqnarray*}
\alpha+\beta & = & -\frac{b}{a}\\
& = & -\frac{\left(p+1\right)}{1}\\
\alpha+\beta & = & -p-1\\
\alpha\times\beta & = & \frac{c}{a}\\
& = & \frac{-18}{1}\\
\alpha\times\beta & = & -18
\end{eqnarray*}
Karena $\alpha+2\beta=0$ maka diperoleh $\alpha=-2\beta$. Substitusikan kedalam $\alpha\times\beta=-18$ menjadi
\begin{eqnarray*}
\alpha\times\beta & = & -18\\
-2\beta\times\beta & = & -18\\
-2\beta^{2} & = & -18\\
\beta^{2} & = & \frac{-18}{-2}\\
& = & 9\\
\beta & = & \sqrt{9}\\
\beta & = & 3
\end{eqnarray*}
Karena $\beta=3$ maka diperoleh $\alpha=-6$ maka
\begin{eqnarray*}
\alpha+\beta & = & -p-1\\
-6+3 & = & -p-1\\
-2 & = & -p\\
p & = & 2
\end{eqnarray*}

5. Dina, Ety dan Feby belanja di toko yang sama. Dina membeli 5 bungkus mie dan 2 kaleng susu kental seharga Rp 25.500,00. Ety membeli 10 bungkus mie dan 3 kaleng susu kental seharga Rp 42.000,00. Jika Feby membeli 1 bungkus mie dan 1 kaleng susu kental, Feby harus membayar sebesar ....

Jawaban

Misalkan $x=$ Mie dan $y=$ susu kental maka didapatkan persaman
\begin{eqnarray*}
5x+2y & = & 25.000\\
10x+3y & = & 42.000
\end{eqnarray*}
Eliminasi dua persamaan diatas mendapatkan nilai $y=8.000$. Untuk $y=8.000$ maka
\begin{eqnarray*}
5x+2\left(9.000\right) & = & 25.500\\
5x+18.000 & = & 25.500\\
5x & = & 7.500\\
x & = & 1.500
\end{eqnarray*}
Jadi, jika Feby membeli 1 bungkus mie dan 1 kaleng susu kental, Feby harus membayar sebesar $9.000,00+1.500,00=Rp\,10.500,00$

6. Persamaan garis singgung lingkaran $2x^{2}+2y^{2}-4x+8y-8=0$ yang sejajar dengan garis $5x+12y-15=0$ adalah ....
Jawaban

Persamaan lingkaran $2x^{2}+2y^{2}-4x+8y-8=0$ kita sederhanakan menjadi $x^{2}+y^{2}-2x+4y-4=0$. Kemudian kita mencari jari-jarinya dengan memanfaatkan kuadrat sempurna yaitu
\begin{eqnarray*}
x^{2}+y^{2}-2x+4y-4 & = & 0\\
\underset{\left(x-1\right)^{2}}{\underbrace{x^{2}-2x+1}}-1+\underset{\left(y+2\right)^{2}}{\underbrace{y^{2}+4y+4}}-4 & = & 4\\
\left(x-1\right)^{2}+\left(y+2\right)^{2} & = & 4+1+4\\
\left(x-1\right)^{2}+\left(y+2\right)^{2} & = & 9\\
\left(x-1\right)^{2}+\left(y+2\right)^{2} & = & 3^{2}
\end{eqnarray*}
Terlihat bahwa lingkaran tersebut berpusat di $P\left(1,-2\right)$ dengan $r=3$. Karena lingkaran tersebut sejajar dengan garis $5x+12y-15=0$ maka kita dapat mencari gradien garis $5x+12y-15=0$
\begin{eqnarray*}
5x+12y-15 & = & 0\\
12y & = & -5x+15\\
y & = & -\frac{5}{12}x+\frac{15}{12}
\end{eqnarray*}
Terlihat bahwa $=-\dfrac{5}{12}$. Persamaan garis singgung pada lingkaran $L\equiv\left(x-a\right)^{2}+\left(y-b\right)^{2}=r^{2}$ dengan gradien $m$ dapat ditentukan dengan rumus $\left(y-b\right)=m\left(x-a\right)\pm r\sqrt{m^{2}+1}$ dengan $a=1$ $b=-2$ $r=3$ dan $m=-\dfrac{5}{12}$ Sehingga kita dapatkan
\begin{eqnarray*}
y+2 & = & -\frac{5}{12}\left(x-1\right)\pm3\sqrt{\left(-\frac{5}{12}\right)^{2}+1}\\
y+2 & = & -\frac{5}{12}x+\frac{5}{12}\pm3\sqrt{\frac{25}{144}+\frac{144}{144}}\\
y+2 & = & -\frac{5}{12}x+\frac{5}{12}\pm3\sqrt{\frac{169}{144}}\\
y+2 & = & -\frac{5}{12}x+\frac{5}{12}\pm3\left(\frac{13}{12}\right)\\
12y+24 & = & -5x+5\pm39\\
5x+12y-20=0 & \text{atau} & 5x+12y+58=0
\end{eqnarray*}
Jadi ada dua garis singgung lingkaran yaitu $5x+12y-20=0\text{ atau }5x+12y+58=0$

Catatan :Cara lain mencari titik pusat dan jari-jari adalah jika persamaan lingkaran  $x^{2}+y^{2}+Ax+By+C=0$ maka jari-jari dihitung dengan
\[
P\left(-\frac{A}{2},-\frac{B}{2}\right)
\]
sedangkan $r=\sqrt{\left(-\frac{A}{2},\right)^{2}+\left(-\frac{B}{2}\right)^{2}-C}$

7. Diketahui fungsi $f\left(x\right)=3x+4$ dan $g\left(x\right)=\dfrac{4x-5}{2x+1},x\neq-\dfrac{1}{2}$,
invers $\left(f\circ g\right)\left(x\right)$ adalah ....

Jawaban

\begin{eqnarray*}
\left(f\circ g\right)\left(x\right) & = & f\left(g\left(x\right)\right)\\
& = & 3\left(\dfrac{4x-5}{2x+1}\right)+4\\
& = & \frac{12x-15}{2x+1}+4\\
& = & \frac{12x-15}{2x+1}+\frac{4\left(2x+1\right)}{2x+1}\\
& = & \frac{12x-15}{2x+1}+\frac{8x+4}{2x+1}\\
\left(f\circ g\right)\left(x\right) & = & \frac{20x-11}{2x+1}\\
y & = & \frac{20x-11}{2x+1}\\
2xy+y & = & 20x-11\\
20x-2xy & = & y+11\\
x\left(20-2y\right) & = & y+11\\
x & = & \frac{y+11}{20-2y}\\
\left(f\circ g\right)^{-1}\left(x\right) & = & \frac{x+11}{20-2x},x\neq10
\end{eqnarray*}
Cukup sekian dulu yah. Mengingat saya belum mendapatkan soalnya dalam bentuk full versi maka cukup 7 nomor dulu pembahasan Ujian Nasional matematika tahun 2014 ini. Mudah-mudahan saya cepat mendapatkan soalnya secara lengkap dan akan saya bahas langsung disini. Pantau terus blog kami di http://blogmatematika.net.

Pembahasan Soal-Soal Fungsi Komposisi Dan Invers Fungsi Format PDF

3:37:00 PM 0
Seperti yang sudah saya janjikan, saya akan mengupload pambahasan Soal-Soal Fungsi Komposisi Dan Invers Fungsi dalam format PDF sehingga mudah dipelajari di rumah maupun disekolah. Pembahasan ini dapat anda cetak, anda sebarkan, anda gandakan tanpa harus menunggu persetujuan dari saya. Para pembaca juga dapat melakukan penulisan ulang pada pembahasan yang saya buat ini. Intinya adalah semua itu diniatkan untuk berbagi.

Tulisan pada pembahasan dibawah ini menggunakan format $\LaTeX$ yang kemudian saya convert menjadi bentuk PDF. Anda dapat melihat tulisannya agak sedikit berbeda jika kita menggunakan Microsoft Word. Untuk penggunaan banyak equation saya lebih menyukai penggunaan $\LaTeX$ ketimbang Microsoft Word. Silahkan anda menyimpulkan sendiri. Jika ada yang ingin ditanyakan seputar pembahasan tersebut bisa menghubungi saya di kotak komentar di bawah ini maupun melalui facebook saya. Pertanyaan seputar $\LaTeX$ pun akan saya tanggapi secepatnya dan semampu saya. Berikut screen shoot cover ebooknya





Pembahasan Soal-Soal Fungsi Komposisi Dan Invers Fungsi Format PDF dapat anda download di link dibawah ini

DOWNLOAD PEMBAHASAN FUNGSI KOMPOSISI



Sekian dulu pembahasan yang dapat saya berikan. Mudah-mudahan dapat berguna bagi kita sekalian. Jika pembahasan diatas terdapat kesalahan agar kiranya dapat langsung menghubungi penulis lewat blog kami di Blog Matematika. Kesalahan penulisan maupun pengerjaan tidak terlepas dari kodrat kita sebagai manusia biasa. Jika anda memiliki ide yang lebih sederhana dapat langsung mengirimkannya juga di blog kami. Terima kasih


Minakarya, 9 Maret 2014

Penulis




Fendi Alfi Fauzi

Pembahasan Soal-Soal Fungsi Komposisi Dan Invers Fungsi (Lanjutan)

Pembahasan Soal-Soal Fungsi Komposisi Dan Invers Fungsi (Lanjutan)

3:13:00 PM 0
Melanjutkan postingan sebelumnya untuk soal yang belum tuntas. Kali ini akan saya tuntaskan dan sudah saya convert menjadi PDF. namun format PDF saya posting di postingan selanjutnya. Kali ini saya memposting sisa 6 soal yang nampaknya cukup lumayan tapi masih dalam kategori mudah. Mari kita lihat soal dan pembahasannya.Pembahasan kali ini agak sedikit panjang dan kurang praktis karena semua bagian di jelaskan secara detail. Bagi anda yang sudah paham mengenai konsep komposisi dan invers fungsi dapat langsung menggunakan trik-trik jitu yang anda pahami.

27. Dari fungsi $f$ dan $g$ diketahui $f\left(x\right)=2x^{2}+3x-5$ dan $g\left(x\right)=3x-2$. Agar $\left(g\circ f\right)\left(a\right)=-11$ maka nilai $a$ yang positif adalah ....

Jawaban

\begin{eqnarray*}
\left(g\circ f\right)\left(x\right) & = & g\left(f\left(x\right)\right)\\
& = & 3\left(2x^{2}+3x-5\right)-2\\
& = & 6x^{2}+9x-15-2\\
& = & 6x^{2}+9x-17\\
\left(g\circ f\right)\left(a\right) & = & 6a^{2}+9a-17\\
-11 & = & 6a^{2}+9a-17\\
6a^{2}+9a-6 & = & 0\\
2a^{2}+3a-2 & = & 0\\
\left(2a-1\right)\left(a+2\right) & = & 0\\
a=\frac{1}{2} & \text{atau} & a=-2
\end{eqnarray*}
Jadi $a$ positif adalah $a=\dfrac{1}{2}$

28. Diketahui $f\left(x\right)=\dfrac{1-x}{x}$ untuk setiap bilangan Real $x\neq1$. Jika $g:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ adalah suatu fungsi sehingga $\left(g\circ f\right)\left(x\right)=g\left(f\left(x\right)\right)=2x+1$ maka fungsi invers $g^{-1}\left(x\right)=$....

Jawaban

\begin{eqnarray*}
\left(g\circ f\right)\left(x\right) & = & 2x+1\\
g\left(f\left(x\right)\right) & = & 2x+1\\
f\left(\frac{1-x}{x}\right) & = & 2x+2
\end{eqnarray*}
Misalkan
\begin{eqnarray*}
t & = & \dfrac{1-x}{x}\\
tx & = & 1-x\\
tx+x & = & 1\\
x\left(t+1\right) & = & 1\\
x & = & \frac{1}{t+1}
\end{eqnarray*}
\begin{eqnarray*}
g\left(t\right) & = & 2\left(\frac{1}{t+1}\right)+1\\
& = & \frac{2}{t+1}+\frac{t+1}{t+1}\\
& = & \frac{t+3}{t+1}\\
g\left(x\right) & = & \frac{x+3}{x+1}\\
y & = & \frac{x+3}{x+1}\\
xy+y & = & x+3\\
x-xy & = & y-3\\
x\left(1-y\right) & = & y-3\\
x & = & \frac{y-3}{1-y}\\
g^{-1}\left(x\right) & = & \frac{x-3}{1-x},x\neq1
\end{eqnarray*}

29. Jika $f\left(x\right)=\dfrac{1}{x+1}$ dan $g\left(x\right)=\dfrac{2}{3-x},x\neq3$ maka $\left(f\circ g\right)^{-1}\left(x\right)=.....$
Jawaban

\begin{eqnarray*}
\left(f\circ g\right)\left(x\right) & = & f\left(g\left(x\right)\right)\\
& = & \frac{1}{{\displaystyle \dfrac{2}{3-x}+1}}\\
& = & \frac{1}{{\displaystyle \dfrac{2}{3-x}+\dfrac{\left(3-x\right)}{3-x}}}\\
& = & \frac{1}{\dfrac{5-x}{3-x}}\\
\left(f\circ g\right)\left(x\right) & = & \frac{3-x}{5-x}\\
y & = & \frac{3-x}{5-x}\\
5y-xy & = & 3-x\\
5y-3 & = & xy-x\\
5y-3 & = & x\left(y-1\right)\\
x & = & \frac{5y-3}{y-1}\\
\left(f\circ g\right)^{-1}\left(x\right) & = & \frac{5x-3}{x-1},x\neq1
\end{eqnarray*}

30. Jika $f\left(x\right)=\sqrt{x},x\geq0,$ dan $g\left(x\right)=\dfrac{x}{x+1},x\neq1$ maka $\left(g\circ f\right)\left(2\right)=$......

Jawaban

\begin{eqnarray*}
\left(g\circ f\right)\left(x\right) & = & g\left(f\left(x\right)\right)\\
\left(g\circ f\right)\left(x\right) & = & \frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}+1}\\
y & = & \frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}+1}\\
y\sqrt{x}+y & = & \sqrt{x}\\
\sqrt{x}-y\sqrt{x} & = & y\\
\sqrt{x}\left(1-y\right) & = & y\\
\sqrt{x} & = & \frac{y}{1-y}\\
\left(\sqrt{x}\right)^{2} & = & \left(\frac{y}{1-y}\right)^{2}\\
x & = & \left(\frac{y}{1-y}\right)^{2}\\
\left(g\circ f\right)^{-1}\left(x\right) & = & \left(\frac{x}{1-x}\right)^{2}\\
\left(g\circ f\right)^{-1}\left(2\right) & = & \left(\frac{2}{1-2}\right)^{2}\\
& = & \left(-2\right)^{2}\\
\left(g\circ f\right)^{-1}\left(2\right) & = & 4
\end{eqnarray*}

31. Diberikan fungsi $f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ dan $g:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ ditentukan oleh $f\left(x\right)=x^{3}$ dan $g\left(x\right)=3x-4$. Jika $a=\left(g^{-1}\circ f^{-1}\right)\left(8\right)$ maka nilai
dari $\left(f^{-1}\circ g^{-1}\right)\left(10a\right)$ adalah ....


Jawaban

\begin{eqnarray*}
g\left(x\right) & = & 3x-4\\
y & = & 3x-4\\
x & = & \frac{y+4}{3}\\
g^{-1}\left(x\right) & = & \frac{x+4}{3}
\end{eqnarray*}
\begin{eqnarray*}
f\left(x\right) & = & x^{3}\\
y & = & x^{3}\\
x & = & \sqrt[3]{y}\\
f^{-1}\left(x\right) & = & \sqrt[3]{x}
\end{eqnarray*}
\begin{eqnarray*}
\left(g^{-1}\circ f^{-1}\right)\left(x\right) & = & g^{-1}\left(f^{-1}\left(x\right)\right)\\
\left(g^{-1}\circ f^{-1}\right)\left(x\right) & = & \frac{\sqrt[3]{x}+4}{3}\\
\left(g^{-1}\circ f^{-1}\right)\left(8\right) & = & \frac{\sqrt[3]{8}+4}{3}\\
a & = & \frac{2+4}{3}\\
a & = & 2
\end{eqnarray*}
\begin{eqnarray*}
\left(f^{-1}\circ g^{-1}\right)\left(x\right) & = & f^{-1}\left(g^{-1}\left(x\right)\right)\\
& = & \sqrt[3]{\frac{x+4}{3}}\\
\left(f^{-1}\circ g^{-1}\right)\left(10a\right) & = & \sqrt[3]{\frac{10a+4}{3}}\\
& = & \sqrt[3]{\frac{10\left(2\right)+4}{3}}\\
& = & \sqrt[3]{\frac{20+4}{3}}\\
& = & \sqrt[3]{8}\\
\left(f^{-1}\circ g^{-1}\right)\left(10a\right) & = & 2
\end{eqnarray*}

32. Fungsi $f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ ditentukan oleh $f\left(x\right)=3x-1$ dan $g:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ memenuhi $\left(f\circ g\right)^{-1}\left(x\right)={\displaystyle \frac{1}{6}x-\frac{4}{3}}$ maka $g\left(x\right)=$....


Jawaban

\begin{eqnarray*}
f\left(x\right) & = & 3x-1\\
y & = & 3x-1\\
x & = & \frac{y+1}{3}\\
f^{-1}\left(x\right) & = & \frac{x+1}{3}
\end{eqnarray*}
\begin{eqnarray*}
\left(f\circ g\right)^{-1}\left(x\right) & = & f^{-1}\left(g^{-1}\left(x\right)\right)\\
\frac{\left(g^{-1}\left(x\right)\right)+1}{3} & = & {\displaystyle \frac{1}{6}x-\frac{4}{3}}\\
\left(g^{-1}\left(x\right)\right)+1 & = & {\displaystyle \frac{3}{6}x-\frac{12}{3}}\\
\left(g^{-1}\left(x\right)\right) & = & {\displaystyle \frac{3}{6}x-\frac{12}{3}}-1\\
g^{-1}\left(x\right) & = & \frac{3}{6}x-\frac{15}{3}
\end{eqnarray*}
Kita sudah mengetahui bahwa $\left(g^{-1}\right)^{-1}\left(x\right)=g\left(x\right)$ sehingga tugas kita tinggal meng inverskan saja fungsi $g^{-1}\left(x\right)$ diatas menjadi
\begin{eqnarray*}
g^{-1}\left(x\right) & = & \frac{3}{6}x-\frac{15}{3}\\
y & = & \frac{3}{6}x-\frac{15}{3}\\
y & = & \frac{3x-30}{6}\\
6y & = & 3x-30\\
3x & = & 6y+30\\
x & = & \frac{6y+30}{3}\\
x & = & 2y+10\\
g\left(x\right) & = & 2x+10
\end{eqnarray*}



Sekian dulu pembahasan yang dapat saya berikan. Mudah-mudahan dapat berguna bagi kita sekalian. Jika pembahasan diatas terdapat kesalahan agar kiranya dapat langsung menghubungi penulis lewat blog kami di http://blogmatematika.net. Kesalahan penulisan maupun pengerjaan tidak terlepas dari kodrat kita sebagai manusia biasa. Jika anda memiliki ide yang lebih sederhana dapat langsung mengirimkannya juga di blog kami. Terima kasih 


Minakarya, 9 Maret 2014 

Penulis 


Fendi Alfi Fauzi
Pembahasan Soal-Soal Fungsi Komposisi Dan Invers Fungsi (Lanjutan)

Pembahasan Soal-Soal Fungsi Komposisi Dan Invers Fungsi (Lanjutan)

2:51:00 PM 0
Untuk postingan yang kemaren saya sudah berusaha untuk membahas kurang lebih 20 nomor soal tentang fungsi komposisi. Nah kesempatan kali ini saya ingin membahas kembali beberapa soal saja kurang lebih 6 nomor dan sisa 6 nomor lagi akan saya posting di pembahasan berikutnya. Pembahasan kali ini tetap sama seperti yang kemarin yakni menggunakan spoiler berbasis CSS. Mari kita coba membahas soalnya.

21. Ditentukan $g\left(f\left(x\right)\right)=f\left(g\left(x\right)\right)$, jika $f\left(x\right)=2x+p$ dan $g\left(x\right)=3x+120$, maka nilai $p$ adalah ....

Jawaban

\begin{eqnarray*}
g\left(f\left(x\right)\right) & = & 3\left(2x+p\right)+120\\
& = & 6x+3p+120
\end{eqnarray*}
\begin{eqnarray*}
f\left(g\left(x\right)\right) & = & 2\left(3x+120\right)+p\\
& = & 6x+240+p
\end{eqnarray*}
Karena $g\left(f\left(x\right)\right)=f\left(g\left(x\right)\right)$ maka
\begin{eqnarray*}
6x+3p+120 & = & 6x+240+p\\
2p & = & 120\\
p & = & 60
\end{eqnarray*}

22. Jika $f\left(3+2x\right)=4-2x+x^{2}$, maka $f\left(1\right)=.....$

Jawaban

Diketahui : $f\left(3+2x\right)=4-2x+x^{2}$.
Misalkan
\begin{eqnarray*}
y & = & 3+2x\\
x & = & \frac{y-3}{2}
\end{eqnarray*}
\begin{eqnarray*}
f\left(y\right) & = & 4-2\left(\frac{y-3}{2}\right)+\left(\frac{y-3}{2}\right)^{2}\\
& = & 4-y+3+\frac{1}{4}\left(y^{2}-6y+9\right)\\
& = & 7-y+\frac{y^{2}}{4}-\frac{6y}{4}+\frac{9}{4}\\
& = & \frac{28}{4}-\frac{4y}{4}+\frac{y^{2}}{4}-\frac{6y}{4}+\frac{9}{4}\\
& = & \frac{y^{2}}{4}-\frac{10y}{4}+\frac{37}{4}\\
f\left(x\right) & = & \frac{x^{2}}{4}-\frac{10x}{4}+\frac{37}{4}\\
f\left(1\right) & = & \frac{1}{4}-\frac{10}{4}+\frac{37}{4}\\
& = & \frac{28}{4}\\
f\left(1\right) & = & 7
\end{eqnarray*}

23. Dari fungsi $f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ dan $g:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ diketahui bahwa $f\left(x\right)=x+3$ dan $\left(f\circ g\right)\left(x\right)=x^{2}+6x+7$ maka $g\left(-1\right)=$. ....

Jawaban

\begin{eqnarray*}
\left(f\circ g\right)\left(x\right) & = & x^{2}+6x+7\\
f\left(g\left(x\right)\right) & = & x^{2}+6x+7\\
g\left(x\right)+3 & = & x^{2}+6x+7\\
g\left(x\right) & = & x^{2}+6x+4\\
g\left(-1\right) & = & 1-6+4\\
g\left(-1\right) & = & -1
\end{eqnarray*}

24. Diberikan fungsi $f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ dan $g:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ ditentukan oleh $g\left(x\right)=x^{2}-3x+1$. Jika $\left(f\circ g\right)\left(x\right)=2x^{2}-6x-1$ maka $f\left(x\right)=....$

Jawaban

\begin{eqnarray*}
f\left(g\left(x\right)\right) & = & 2x^{2}-6x-1\\
f\left(x^{2}-3x+1\right) & = & 2x^{2}-6x-1
\end{eqnarray*}
Misalkan
\begin{eqnarray*}
y & = & x^{2}-3x+1\\
y & = & \left(x-1,5\right)\left(x-1,5\right)-1,25\\
y & = & \left(x-1,5\right)^{2}-1,25\\
y+1,25 & = & \left(x-1,5\right)^{2}\\
\sqrt{y+1,25} & = & x-1,5\\
x & = & \sqrt{y+1,25}+1,5
\end{eqnarray*}
\begin{eqnarray*}
f\left(y\right) & = & 2\left(\sqrt{y+1,25}+1,5\right)^{2}-6\left(\sqrt{y+1,25}+1,5\right)-1\\
& = & 2\left(y+1,25+3\sqrt{y+1,25}+2,25\right)-6\left(\sqrt{y+1,25}+1,5\right)-1\\
& = & 2y+2,5+6\sqrt{y+1,25}+4,5-6\sqrt{y+1,25}-9-1\\
& = & 2y+7-9-1\\
f\left(y\right) & = & 2y-3\\
f\left(x\right) & = & 2x-3
\end{eqnarray*}

25. Suatu pemetaan $f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ dengan $\left(g\circ f\right)\left(x\right)=2x^{2}+4x+5$
dan $g\left(x\right)=2x+3$ maka $f\left(x\right)=$.....


Jawaban

\begin{eqnarray*}
g\left(f\left(x\right)\right) & = & 2x^{2}+4x+5\\
2f\left(x\right)+3 & = & 2x^{2}+4x+5\\
2f\left(x\right) & = & 2x^{2}+4x+2\\
f\left(x\right) & = & x^{2}+2x+1
\end{eqnarray*}

26. Jika fungsi $f$ dan $g$ adalah $f:x\to2x^{\frac{2}{3}}$ dan $g:x\to x^{\frac{2}{3}}$ maka $\left(g\circ f^{-1}\right)\left(\sqrt{2}\right)$ adalah ....

Jawaban
 
\begin{eqnarray*}
f\left(x\right) & = & 2x^{\frac{2}{3}}\\
y & = & 2x^{\frac{2}{3}}\\
y^{3} & = & 2x^{2}\\
x^{2} & = & \frac{y^{3}}{2}\\
x & = & \sqrt{\frac{y^{3}}{2}}\\
f^{-1}\left(x\right) & = & \sqrt{\frac{x^{3}}{2}}
\end{eqnarray*}
\begin{eqnarray*}
\left(g\circ f^{-1}\right)\left(x\right) & = & g\left(f^{-1}\left(x\right)\right)\\
& = & \left(\sqrt{\frac{x^{3}}{2}}\right)^{\frac{2}{3}}\\
& = & \left(\left(\frac{x^{3}}{2}\right)^{\frac{1}{2}}\right)^{\frac{2}{3}}\\
& = & \left(\frac{x^{3}}{2}\right)^{\frac{1}{3}}\\
\left(g\circ f^{-1}\right)\left(x\right) & = & \frac{x}{2^{\frac{1}{3}}}\\
\left(g\circ f^{-1}\right)\left(x\right) & = & x\cdot2^{-\frac{1}{3}}\\
\left(g\circ f^{-1}\right)\left(\sqrt{2}\right) & = & 2^{\frac{1}{2}}\cdot2^{-\frac{1}{3}}\\
& = & 2^{\frac{1}{2}-\frac{1}{3}}\\
\left(g\circ f^{-1}\right)\left(\sqrt{2}\right) & = & 2^{\frac{1}{6}}
\end{eqnarray*}

Sekian dulu yah. Pembahasan selanjutnya saya posting pada postingan mendatang. Selamat belajar

Membahas Soal-Soal Fungsi Komposisi Dan Invers Fungsi (Lanjutan)

2:32:00 PM 0
Sudah hampir satu bulan saya tidak melanjutkan pembahasan mengenai fungsi komposisi dan fungsi invers seperti yang sudah saya janjikan. Dalam postingan sebelumnya  saya menjanjikan membahas 10 nomor soal mengenai fungsi komposisi dan fungsi invers  dan pada akhir postingan pembahasan saya berikan pembahasan dalam bentuk PDF. Namun karena kesibukan yang mendadak saya belum bisa memberikan pembahasan dalam bentuk PDF namun saya akan melanjutkan pembahasan nomor 11 sampai nomor 20.



Soal-soal yang saya bahas disini tentunya tidak terlalu rumit dan masih bisa dijangkau oleh pemikiran siswa SMA di desa. Soal pembahasan ini juga sebagian diambil dari soal Ujian Nasional dan kumpulan soal-soal latihan di buku. Postingan tetap menggunakan spoiler untuk menghemat area postingan. Silahkan belajar dengan mengerjakan soalnya dulu dan jika sudah mendapatkan jawabannya bisa dicocokkan dengan membuka spoiler yang sudah saya sediakan.

11. Bila $f\left(x\right)=\dfrac{x+2}{3-x}$ dengan $x\neq3$ maka invers dari $f\left(x\right)$ adalah $f^{-1}\left(x\right)=.....$

Jawaban
 
\begin{eqnarray*}
f\left(x\right) & = & \dfrac{x+2}{3-x}\\
y & = & \dfrac{x+2}{3-x}\\
3y-xy & = & x+2\\
3y-2 & = & x+xy\\
3y-2 & = & x\left(1+y\right)\\
x & = & \frac{3y-2}{1+y}\\
f^{-1}\left(x\right) & = & \frac{3x-2}{1+x},x\neq-1
\end{eqnarray*}


12. Invers dari $f\left(x\right)=\left(1-x^{3}\right)^{\frac{1}{5}}+2$ adalah....

Jawaban

\begin{eqnarray*}
f\left(x\right) & = & \left(1-x^{3}\right)^{\frac{1}{5}}+2\\
y & = & \left(1-x^{3}\right)^{\frac{1}{5}}+2\\
y-2 & = & \left(1-x^{3}\right)^{\frac{1}{5}}\\
\left(y-2\right)^{5} & = & 1-x^{3}\\
x^{3} & = & 1-\left(y-2\right)^{5}\\
x & = & \sqrt[3]{1-\left(y-2\right)^{5}}\\
x & = & \left(1-\left(y-2\right)^{5}\right)^{\frac{1}{3}}\\
f^{-1}\left(x\right) & = & \left(1-\left(x-2\right)^{5}\right)^{\frac{1}{3}}
\end{eqnarray*}

13. Jika $f\left(x\right)=3^{x-1}$ maka $f^{-1}\left(81\right)=$.....

Jawaban

\begin{eqnarray*}
f\left(x\right) & = & 3^{x-1}\\
y & = & 3^{x-1}\\
y & = & 3^{x}\cdot3^{-1}\\
y & = & 3^{x}\cdot\frac{1}{3}\\
3y & = & 3^{x}\\
x & = & ^{3}\log\left(3y\right)\\
f^{-1}\left(x\right) & = & ^{3}\log\left(3x\right)\\
f^{-1}\left(81\right) & = & ^{3}\log\left(3\cdot81\right)\\
& = & ^{3}\log\left(243\right)\\
& = & ^{3}\log\left(3^{5}\right)\\
& = & 5\cdot^{3}\log3\\
& = & 5\times1\\
f^{-1}\left(81\right) & = & 5
\end{eqnarray*}

14. Fungsi $f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ dan $g:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ dirumuskan dengan $f\left(x\right)=\dfrac{1}{2}x-1$ dan $g\left(x\right)=2x+4$ maka $\left(g\circ f\right)^{-1}\left(10\right)$ adalah ....

Jawaban
\begin{eqnarray*}
\left(g\circ f\right)\left(x\right) & = & g\left(f\left(x\right)\right)\\
& = & 2\left(\frac{1}{2}x-1\right)+4\\
& = & x-2+4\\
& = & x+2
\end{eqnarray*}
\begin{eqnarray*}
\left(g\circ f\right)\left(x\right) & = & y\\
y & = & x+2\\
x & = & y-2\\
\left(g\circ f\right)^{-1}\left(x\right) & = & x-2\\
\left(g\circ f\right)^{-1}\left(10\right) & = & 10-2\\
& = & 8
\end{eqnarray*}

15. Jika $f^{-1}\left(x\right)=\dfrac{x-1}{5}$ dan $g^{-1}\left(x\right)=\dfrac{3-x}{2}$ maka $\left(f\circ g\right)^{-1}\left(6\right)=....$

Jawaban

\begin{eqnarray*}
\left(f\circ g\right)^{-1}\left(x\right) & = & \left(f^{-1}\circ g^{-1}\right)\left(x\right)\\
& = & \frac{\left(\dfrac{3-x}{2}\right)-1}{5}\\
& = & \frac{\left(\dfrac{3-x}{2}\right)-\dfrac{2}{2}}{5}\\
& = & \frac{\dfrac{1-x}{2}}{5}\\
\left(f\circ g\right)^{-1}\left(x\right) & = & \frac{1-x}{10}\\
\left(f\circ g\right)^{-1}\left(6\right) & = & \frac{1-6}{10}\\
& = & \frac{-5}{10}\\
& = & -\frac{1}{2}
\end{eqnarray*}

16. Jika $f\left(x\right)=\dfrac{1}{x-1}$ dan $g\left(x\right)=x-2$ maka $\left(g\circ f\right)^{-1}\left(x\right)$= .......

Jawaban

\begin{eqnarray*}
\left(g\circ f\right)\left(x\right) & = & g\left(f\left(x\right)\right)\\
& = & \frac{1}{x-1}-2\\
& = & \frac{1}{x-1}-\frac{2\left(x-1\right)}{x-1}\\
& = & \frac{1}{x-1}-\frac{2x+2}{x-1}\\
\left(g\circ f\right)\left(x\right) & = & \frac{-2x+3}{x-1}\\
\left(g\circ f\right)\left(x\right) & = & y\\
y & = & \frac{-2x+3}{x-1}\\
xy-y & = & -2x+3\\
xy+2x & = & y+3\\
x\left(y+2\right) & = & y+3\\
x & = & \frac{y+3}{y+2}\\
\left(g\circ f\right)^{-1}\left(x\right) & = & \frac{x+3}{x+2},x\neq-2
\end{eqnarray*}

17. Diketahui $f\left(x\right)=^{5}\log\, x$ dan $g\left(x\right)=\dfrac{x+3}{3x-4}$ maka $\left(f\circ g\right)^{-1}\left(x\right)=.......$

Jawaban

\begin{eqnarray*}
\left(f\circ g\right)\left(x\right) & = & f\left(g\left(x\right)\right)\\
\left(f\circ g\right)\left(x\right) & = & ^{5}\log\left(\dfrac{x+3}{3x-4}\right)\\
\left(f\circ g\right)^{-1}\left(x\right) & = & y\\
y & = & ^{5}\log\left(\dfrac{x+3}{3x-4}\right)\\
5^{y} & = & \dfrac{x+3}{3x-4}\\
3x\cdot5^{y}-4\cdot5^{y} & = & x+3\\
3x\cdot5^{y}-x & = & 4\cdot5^{y}+3\\
x\left(3\cdot5^{y}-1\right) & = & 4\cdot5^{y}+3\\
x & = & \frac{4\cdot5^{y}+3}{3\cdot5^{y}-1}\\
\left(f\circ g\right)^{-1}\left(x\right) & = & \frac{4\cdot5^{x}+3}{3\cdot5^{x}-1}
\end{eqnarray*}

18. Jika $\left(f\circ g\right)\left(x\right)=4x^{2}+8x-3$ dan $g\left(x\right)=2x+4$ maka $f^{-1}\left(x\right)=$......

Jawaban

\begin{eqnarray*}
\left(f\circ g\right)\left(x\right) & = & f\left(g\left(x\right)\right)\\
f\left(g\left(x\right)\right) & = & 4x^{2}+8x-3\\
f\left(2x+4\right) & = & 4x^{2}+8x-3
\end{eqnarray*}
Misalkan $u=2x+4$ maka $2x=u-4\Rightarrow x=\dfrac{u-4}{2}$
\begin{eqnarray*}
f\left(u\right) & = & 4\left(\dfrac{u-4}{2}\right)^{2}+8\left(\dfrac{u-4}{2}\right)-3\\
& = & 4\left(\frac{1}{4}\left(u^{2}-8u+16\right)\right)+4u-16-3\\
& = & u^{2}-8u+16+4u-16-3\\
& = & u^{2}-4u-3\\
f\left(x\right) & = & x^{2}-4x-3
\end{eqnarray*}
Misalkan $f\left(x\right)=y$ maka
\begin{eqnarray*}
y & = & x^{2}-4x-3\\
y & = & x^{2}-4x+4-7\\
y & = & \left(x-2\right)^{2}-7\\
y+7 & = & \left(x-2\right)^{2}\\
x-2 & = & \sqrt{y+7}\\
x & = & \sqrt{y+7}+2\\
f^{-1}\left(x\right) & = & \sqrt{x+7}+2
\end{eqnarray*}

19. Diketahui fungsi $f$ dan $g$ dinyatakan dengan $f\left(x\right)=2x+4,g\left(x\right)=\dfrac{2x+5}{x-4}$ dan $h\left(x\right)=\left(g\circ f^{-1}\right)\left(x\right)$ dengan $f^{-1}$ adalah fungsi invers dari $f$ dan $h^{-1}$ adalah invers dari $h$. Rumus fungsi $h^{-1}\left(x\right)$ adalah ....

Jawaban

\begin{eqnarray*}
f\left(x\right) & = & 2x+4\\
y & = & 2x+4\\
2x & = & y-4\\
x & = & \frac{y-4}{2}\\
f^{-1}\left(x\right) & = & \frac{x-4}{2}
\end{eqnarray*}
\begin{eqnarray*}
\left(g\circ f^{-1}\right)\left(x\right) & = & g\left(f^{-1}\left(x\right)\right)\\
& = & \frac{2\left({\displaystyle \frac{x-4}{2}}\right)+5}{\left({\displaystyle \frac{x-4}{2}}\right)-4}\\
& = & \frac{x-4+5}{\dfrac{x-4}{2}-\dfrac{8}{2}}\\
& = & \frac{x+1}{\dfrac{x-12}{2}}\\
h\left(x\right) & = & \frac{2x+2}{x-12}
\end{eqnarray*}
Misalkan $h\left(x\right)=y$ maka
\begin{eqnarray*}
y & = & {\displaystyle \frac{2x+2}{x-12}}\\
xy-12y & = & 2x+2\\
xy-2x & = & 12y+2\\
x\left(y-2\right) & = & 12y+2\\
x & = & \frac{12y+2}{y-2}\\
h^{-1}\left(x\right) & = & \frac{12x+2}{x-2}
\end{eqnarray*}

20. Fungsi $f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ dan $g:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ ditentukan oleh $f\left(x\right)=x+2$ dan $g\left(x\right)=2x$. Jumlah akar-akar persamaan $\left(g\circ f\right)\left(x^{2}-24x\right)=0$ adalah ....

Jawaban

\begin{eqnarray*}
\left(g\circ f\right)\left(x\right) & = & g\left(f\left(x\right)\right)\\
& = & 2\left(x+2\right)\\
\left(g\circ f\right)\left(x\right) & = & 2x+4\\
y & = & 2x+4\\
2x & = & y-4\\
x & = & \frac{y-4}{2}\\
\left(g\circ f\right)^{-1}\left(x\right) & = & \frac{x-4}{2}
\end{eqnarray*}
\begin{eqnarray*}
\left(g\circ f\right)^{-1}\left(x^{2}-24x\right) & = & \frac{\left(x^{2}-24x\right)-4}{2}\\
0 & = & \frac{x^{2}-24x-4}{2}\\
x^{2}-24x-4 & = & 0
\end{eqnarray*}
Berdasarkan teorema Vieta diperoleh
\begin{eqnarray*}
x_{1}+x_{2} & = & -\dfrac{b}{a}\\
& = & -\frac{\left(-24\right)}{1}\\
& = & 24
\end{eqnarray*}

Pada postingan pembahasan selanjutnya Insya Allah akan saya berikan pembahasan dalam bentuk PDF. Mengingat banyaknya equation yang cukup merepotkan penulisan namun akan tetap saya usahakan untuk bisa segera diposting dan dinikmati oleh pembaca. Sekian dulu postingan saya kali ini. Jika ada trik yang lebih singkat dan cepat, silahkan komentar di bawah.

Lomba Penulisan Karya Tulis Ilmiah Forum Komunikasi Mahasiswa Toili

12:41:00 PM 0

Dalam rangka kegiatan lomba tulis karya ilmiah yang diadakan oleh Forum Komunikasi Mahasiswa Toili (PANPEL) maka dari itu kami informasikan bagi seluruh anggota Forum Komunikasi Mahasiswa Toili bahwa pada hari ini telah dibuka kesempatan untuk memasukkan karya tulis ilmiahnya dalam bentuk artikel di grup (FKMT GORONTALO dan KELUARGA BESAR FKMT). Bagi yang belum bergabung di Grup bisa langsung bawa artikelnya dalam bentuk file kesekretariat FKMT.


HTML5

Catatan:





  1. Pemasukan artikel berakhir pada tnggal 13 April 2014

  2. Tulisan yang dikumpulkan akan diterbitkan dalam bentuk buku.

  3. Tema penulisan terbagi atas 2 yaitu Toili Raya dan FKMT

  4. Total Hadiah 500 Ribu bagi 3 orang pemenang

Cp: Rusdi (082187554313 atau 085756292674)
Thanks. Mohon Partisipasinya.
Sebarkan!!!

Untuk info lebih lanjut terkait mekanisme penulisan:

  1. Huruf yang digunakan adalah Comic Sans/Times New Roman

  2. Tulisan berisi minimal 500 kata

  3. Tema penulisan: Toili raya (seluruh aspek yang punnya kaitan persoalan dgn dataran toili) dan FKMT (seluruh aspek yang punya kaitan persoalan dgn FKMT)

  4. Tulisan yang sudah terkumpul akan dibukukan (menjadi buku pertama FKMT)

So…Mari kita budayakan menulis!!!

Perubahan ada ditangan kita!!



Beberapa Pamflet dan Banner Pendukung Kegiatan lihat di http://blogfkmt.wordpress.com …… Silahkan dilihat, dibaca, Dicetak juga bisa, disebarkan juga bisa

Menentukan Akar-Akar Persamaan Kuadrat dengan Menggunakan Rumus Kuadrat(Rumus abc)

Menentukan Akar-Akar Persamaan Kuadrat dengan Menggunakan Rumus Kuadrat(Rumus abc)

2:05:00 PM 0
Metode melengkapkan kuadrat sempurna kadang dirasa cukup rumit jika bentuk persamaan kuadratnya berbentuk bilangan pecahan maupun bilangan desimal. Nah, dalam materi kali ini akan dibahas perluasan dari metode melengkapkan kuadrat sempurna yang dikenal dengan rumus kuadrat atau rumus $abc$. Rumus kuadrat diperoleh dari proses melengkapkan kuadrat sempurna pada persamaan kuadrat $ax^{2}+bx+c=0$.

Manipulasi aljabar dalam proses melengkapkan kuadrat sempurna untuk persamaan kuadrat $ax^{2}+bx+c=0$ dapat kita simak sebagai berikut
\begin{eqnarray*}
ax^{2}+bx+c & = & 0\\
ax^{2}+bx & = & -c\\
x^{2}+\frac{b}{a}x & = & -\frac{c}{a}\\
x^{2}+\frac{b}{a}x+\left(\frac{b}{2a}\right)^{2} & = & -\frac{c}{a}+\left(\frac{b}{2a}\right)^{2}\\
\underset{\left(x+\frac{b}{2a}\right)^{2}}{\underbrace{x^{2}+\frac{b}{a}x+\frac{b^{2}}{4a^{2}}}} & = & \frac{b^{2}}{4a^{2}}-\frac{c}{a}\\
\left(x+\frac{b}{2a}\right)^{2} & = & \frac{b^{2}-4ac}{4a^{2}}\\
\left(x+\frac{b}{2a}\right) & = & \sqrt{\frac{b^{2}-4ac}{4a^{2}}}\\
\left(x+\frac{b}{2a}\right) & = & \pm\frac{1}{2a}\sqrt{b^{2}-4ac}\\
\left(x+\frac{b}{2a}\right) & = & \pm\frac{\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}\\
x & = & -\frac{b}{2a}\pm\frac{\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}\\
x & = & \frac{-b\pm\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}\\
x=\frac{-b+\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} & \text{atau} & x=\frac{-b-\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}
\end{eqnarray*}
Dari uraian panjang diatas dapat kita simpulkan bahwa
Misalkan $a,b$ dan $c$ bilangan-bilangan real dan $a\neq0$, maka akar-akar persamaan kuadrat $ax^{2}+bx+c=0$ dapat ditentukan dengan
\[
x_{1}=\frac{-b+\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}\,\,\,\,\text{atau}\,\,\,\, x_{2}=\frac{-b-\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}
\]

Rumus kuadrat ini dianggap rumus paling mudah digunakan untuk mencari akar-akar persamaan kuadrat. Oleh karen itu, diharapkan kepada para siswa agar memahami rumus ini, dan kalau perlu dihapalkan. Untuk lebih memahami penggunaan rumus diatas, silahkan simak contoh berikut.


CONTOH 
Dengan menggunakan rumus kuadrat, tentukan akar-akar persamaan kuadrat berikut
a. $x^{2}-6+8=0$
b. $3x^{2}-4x+\frac{1}{3}=0$

JAWAB
a. Koefisien dari $x^{2}-6+8=0$ adalah $a=1,b=-6$ dan $c=8$
\begin{eqnarray*}
x_{1,2} & = & \frac{-b\pm\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}\\
& = & \frac{-\left(-6\right)\pm\sqrt{\left(-6\right)^{2}-4\left(1\right)\left(8\right)}}{2\left(1\right)}\\
& = & \frac{6\pm\sqrt{36-32}}{2}\\
& = & \frac{6\pm\sqrt{4}}{2}\\
x & = & \frac{6\pm2}{2}\\
x_{1}=\frac{6+2}{2} & \text{atau} & x_{2}=\frac{6-2}{2}\\
x_{1}=4 & \text{atau} & x_{2}=2
\end{eqnarray*}
Jadi himpunan penyelesaiannya adalah $HP=\left\{ 2,4\right\} $

b. Koefisien dari $3x^{2}-4x+\frac{1}{3}=0$ adalah $a=3,b=-4$
dan $c=\frac{1}{3}$}
\begin{eqnarray*}
x_{1,2} & = & \frac{-b\pm\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}\\
& = & \frac{-\left(-4\right)\pm\sqrt{\left(-4\right)^{2}-4\left(3\right)\left(\frac{1}{3}\right)}}{2\left(3\right)}\\
& = & \frac{4\pm\sqrt{16-4}}{6}\\
& = & \frac{4\pm\sqrt{12}}{6}\\
x & = & \frac{4\pm2\sqrt{3}}{6}\\
x_{1}=\frac{4+2\sqrt{3}}{6} & \text{atau} & x_{2}=\frac{4-2\sqrt{3}}{6}\\
x_{1}=\frac{2+\sqrt{3}}{3} & \text{atau} & x_{2}=\frac{2-\sqrt{3}}{3}
\end{eqnarray*}

Jadi himpunan penyelesaiannya adalah $HP=\left\{ {\displaystyle \frac{2-\sqrt{3}}{3},\frac{2+\sqrt{3}}{3}}\right\} $

Contoh berikut mungkin akan memberikan pemahaman lain untuk anda. Anda mungkin akan terkejut melihat penyelesaian dari persamaan berikut.

CONTOH
Dengan menggunakan rumus kuadrat, tentukan akar-akar persamaan kuadrat $2x^{2}+3x+5=0$}

JAWAB
Koefisien dari $2x^{2}+3x+5=0$ adalah $a=2,b=3$ dan $c=5$.
\begin{eqnarray*}
x_{1,2} & = & \frac{-b\pm\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}\\
& = & \frac{-3\pm\sqrt{3^{2}-4\left(2\right)\left(5\right)}}{2\left(2\right)}\\
& = & \frac{-3\pm\sqrt{9-40}}{4}\\
& = & \frac{-3\pm\sqrt{-31}}{4}
\end{eqnarray*}
Perhatikan bahwa dalam tanda akar muncul bilangan negatif yaitu $\sqrt{-31}$. Hal ini bertentangan dengan sifat pada melengkapkan kuadrat sempurna yang sudah kita pelajari bahwa $\sqrt{p}$ dengan $p\geq0$. Nah bagaimana jika $p<0$

Jika $\sqrt{p}$ dengan $p<0$ maka dapat disimpulkan bahwa persamaan kuadrat $2x^{2}+3x+5=0$ tidak memiliki pernyelesaian. Himpunan penyelesaiannya adalah himpunan kosong atau dapat dilambangkan dengan $\emptyset$.

Jika kita berbicara tentang $\sqrt{-31}$ maka kita akan belajar tentang bilangan imajiner (bilangan khayal). Kenapa dikatakan bilangan khayal ? Karena bilangan tersebut ada, tetapi ada dalam khayalan kita namun
tidak bisa kita tuliskan. Untuk lebih jelasnya perhatikan ilustrasi berikut

  • $\sqrt{4}=2$ karena $2\times2=4$

  • $\sqrt{16}=4$ karena $4\times4=16$

  • $\sqrt{-16}=?$ jika kita mengatakan $\sqrt{-16}=-4$ tentu saja salah karena $\left(-4\right)\times\left(-4\right)=16$ . Bilangan $\sqrt{-16}$ itu ada, namun berada dalam khayalan kita, sehingga para pakar matematika memberikan nama bilangan imajiner yang dilambangkan dengan $i$ dengan
    defenisi $i^{2}=-1$. Sehingga dapat dengan mudah kita menyebutkan bahwa $\sqrt{-16}=\sqrt{\left(-1\right)16}=\sqrt{\left(-1\right)}\times\sqrt{16}=4\sqrt{-1}$. Karena berdasarkan defenisi $i^{2}=-1$ maka $i=\sqrt{-1}$ sehingga kita dapat menuliskan $\sqrt{-16}=4i$.

Sebagai bahan tambahan kita tentang bilangan imajiner yaitu sifat-sifat imajiner yaitu

  • $i^{2}=\left(\sqrt{-1}\right)^{2}=-1$

  • $i^{3}=i^{2}\cdot i=-i$

  • $i^{4}=i^{2}\cdot i^{2}=1$

  • $i^{5}=i^{4}\cdot i=i$

  • Dan seterusnya

Pembahasan bilangan imajiner dalam matematika lanjutan dikenal pada materi analisis kompleks atau peubah kompleks.

Cara Membackup Blog Dengan Mudah

1:39:00 PM 5
Ketika saya membuka blog teman saya, saya melihat blognya dihapus oleh blogger. Tentu saja saya kaget melihatnya. Karena penasaran saya mulai menjelajah ke facebooknya dan ternyata benar bahwa blognya sudah di hapus oleh blogger. Entah kenapa blog tersebut sampai dihapus. Berikut saya berikan screen shoot dari terhapusnya blog tersebut.



Padahal blog tersebut sudah banyak pengunjungnya dan sudah memiliki pagerank 1. Sudah lumayanlah untuk ukuran blog pribadi. Saya sendiri pun belum bisa mendapatkan pagerank 1 dari google. Tapi tetap bersabar saja mudah-mudahan google bisa menaikkan pagerank ku. hehe.

Untuk menghindari hal tersebut saya mulai mencari-cari artikel tentang kenapa blogger menghapus sebuah blog dan ternyata ketemu jawabannya. Jawabannya ternyata sudah di jawab sendiri oleh blogger yang dapat anda lihat disini. Dari situs tersebut dapat langsung saya simpulkan bahwa blogger akan menghapus blog seseorang jika melanggar aturan yang sudah di tetapkan walaupun blog tersebut sudah terkenal (Silahkan baca disini). Berikut alasan kenapa blog dihapus oleh blogger



11 alasan kenapa blog dihapus oleh blogger



1. Materi Khusus Dewasa.

2. Keamanan anak.

3. Perkataan yang mendorong kebencian.

4. Konten Kasar.

5. Kekerasan.

6. Hak cipta.

7. Informasi pribadi dan rahasia.

8. Meniru identitas orang lain.

9. Kegiatan ilegal.

10. Spam.

 11. Perangkat lunak jahat dan virus.


Cukup rumit juga ternyata aturan yang di buat oleh blogger. Saya sendiri pun baru tahu dan tidak ingin blog saya dihapus oleh blogger. Walaupun tulisan kita tidak meliputi 11 poin diatas ada kalanya blogger juga menghapusnya. Berangkat dari situ, saya membuat postingan sederhana bagaimana cara membackup blog agar nantinya jika blog kita dihapus bisa membuat blog lagi dan mengembalikan postingan-postingan yang sudah kita buat selama bertahun-tahun.


Cara Membackup Blog


Berikut cara membackup blog platform blogger.com. Caranya cukup mudah kok.

  1. Buka blog kita dengan mengetikkan www.blogger.com

  2. Silahkan login dengan akun blogger anda masing-masing

  3. Silahkan pilih SETELAN terus klik Lainnya kemudian klik ekspor blog seperti pada gambar berikut

     


  4. Maka akan muncul kotak dialog seperti gambar berikut ini




  5. Silahkan klik Unduh Blog untuk mengunduh postingan blog anda. Simpanlah hasil ekspor ditempat yang aman. Disarankan agar melakukan backup minimal sebulan sekali agar tulisan anda bisa terselamatkan jika blog anda terhapus.

Untuk melakukan impor blog silahkan anda coba sendiri dengan melakukan impor blog dan cari file ekspor tadi. Selamat mencoba

Referensi


  1. http://www.blogger.com/content.g?hl=id

  2. http://teknologi.kompasiana.com/internet/2013/12/21/blog-terkenal-cara-ririn-dihapus-google-620455.html
Menentukan Akar-Akar Persamaan Kuadrat dengan Melengkapkan KuadratSempurna

Menentukan Akar-Akar Persamaan Kuadrat dengan Melengkapkan KuadratSempurna

12:52:00 PM 0
Melanjutkan postingan sebelumnya kali ini saya akan membahas tentang bagaimana cara memnentukan Akar-Akar Persamaan Kuadrat dengan Melengkapkan Kuadrat Sempurna. Perlu diketahui, metode pemfaktoran hanya bisa digunakan untuk mencari akar-akar persamaan kuadrat jika persamaan kuadratnya berbentuk sederhana. Namun untuk kasus yang cukup kompleks, metode pemfaktoran sulit diaplikasikan dan salah satu metode yang digunakan adalah melengkapkan kuadrat sempurna.

Anda tentunya pernah mendengar bahkan mempelajari bentuk kuadrat sempurna. Bentuk-bentuk yang merupakan kuadrat sempurna adalah $9=3^{2}$, $4x^{2}=\left(2x\right)^{2}$, $\left(x-1\right)^{2}$ dan masih banyak yang lain. Pada dasarnya tiap bentuk kuadrat dapat dimanipulasi secara aljabar menjadi bentuk kuadrat sempurna. Manipulasi aljabar yang diperlukan dalam proses pengubahan itu adalah dengan menambah dan mengurangi bagian konstanta. Sebagai contoh, bentuk $x^{2}-2x+4$ dapat dimanipulasi secara aljabar sebagai berikut
\begin{eqnarray*}
x^{2}-2x+4 & = & 0\\
x^{2}-2x & = & -4\\
x^{2}-2x+1 & = & -4+1\\
\left(x-1\right)^{2} & = & -3
\end{eqnarray*} Untuk mencari akar-akar persamaan kuadrat dengan melengkapkan kuadrat sempurna dapat diterapkan langkah-langkah sebagai berikut.

  1. Ubahlah $a=1$

  2. Pada persamaan kuadrat tersebut, kedua ruas kita kurangkan dengan $c$ (atau dengan kata lain, pindahkan $c$ ke ruas kanan)

  3. Tambahkan kedua ruas dengan $\left({\displaystyle \frac{1}{2}b}\right)^{2}$

  4. Buatlah bentuk kuadrat

  5. Carilah akar-akar persamaan kuadrat tersebut dengan menggunakan sifat
Jika $p\geq0$ dan berlaku $x^{2}=p$, maka $x=\pm\sqrt{p}$
dengan $p\geq0$

Implementasi langkah-langkah melengkapkan kuadrat sempurna dapat kita lakukan pada contoh berikut

CONTOH
Dengan melengkapkan kuadrat sempurna, tentukan akar-akar persamaan kuadrat $x^{2}-10x+21=0$

  1. Perhatikan bahwa persamaan $x^{2}-10x+21=0$ sudah memiliki nilai $a=1$ sehingga dapat kita lanjutkan pada langkah kedua yaitu mengurangi kedua ruas dengan $c$.

  2. Langkah selanjutnya adalah mengurangi kedua ruas pada persamaanku adrat dengan $c$ menghasilkan \begin{eqnarray*}
    x^{2}-10x+21 & = & 0\\
    x^{2}-10x+21-21 & = & 0-21\\
    x^{2}-10x & = & -21
    \end{eqnarray*}

  3. Jika nilai $c$ negatif maka kita harus menambahkan dengan nilai $c$ agar nilai $c$ pada ruas kanan menjadi nol.

  4. Langkah selanjutnya adalah menambahkan kedua ruas dengan $\left({\displaystyle \frac{b}{2}}\right)^{2}$. Karena nilai $b=-10$ maka kita mendapatkan $\left({\displaystyle \frac{b}{2}}\right)^{2}=\left({\displaystyle \frac{-10}{2}}\right)^{2}=\left(-5\right)^{2}=25$. Kita tambahkan nilai $25$ pada masing-masing ruas.}
    \begin{eqnarray*}
    x^{2}-10x & = & -21\\
    x^{2}-10x+25 & = & -21+25\\
    \underset{\left(x-5\right)^{2}}{\underbrace{x^{2}-10x+25}} & = & 4\\
    \left(x-5\right)^{2} & = & 4
    \end{eqnarray*}

  5. Langkah selanjutnya adalah mencari akar-akar persamaan kuadrat tersebut.
    \begin{eqnarray*}
    \left(x-5\right)^{2} & = & 4\\
    x-5 & = & \sqrt{4}\\
    x-5 & = & \pm2\\
    x & = & 5\pm2\\
    x=5+2 & \text{atau} & x=5-2\\
    x=7 & \text{atau} & x=3
    \end{eqnarray*}
    Diperoleh akar-akar persamaan kuadrat dari $x^{2}-10x+21=0$ adalah $x_{1}=7$ dan $x_{2}=3$, sehingga dapat kita tulis $HP=\left\{ 3,7\right\} $

Dari contoh diatas secara jelas diberikan langkah-langkah yang harus dilakukan untuk melengkapkan kuadrat sempurna. Jika anda sudah menguasai materi diatas, silahkan coba latihan dasar di bawah ini.

Dengan cara melengkapkan kuadrat sempurna, tentukan akar-akar persamaan kuadrat berikut
a. $x^{2}-25=0$
b. $x^{2}-2x-2=0$
c. $x^{2}-5x+6=0$
d. $2x^{2}-5x-3=0$

Sama halnya dengan pembahasan pada contoh soal sebelumnya. Cukup mudah kok. Silahkan dikerjakan sebagai bahan latihan $\blacksquare$
Menentukan Akar-Akar Persamaan Kuadrat dengan Memfaktorkan

Menentukan Akar-Akar Persamaan Kuadrat dengan Memfaktorkan

12:58:00 PM 0
Menentukan akar-akar persamaan kuadrat dengan memfaktorkan menggunakan sebuah sifat yang berlaku pada bilangan real. Sifat itu dapat dinyatakan sebagai berikut.
Jika $a,b\in\mathbb{R}$ dan berlaku $a\cdot b=0$, maka $a=0$ atau $b=0$
Catatan :

Pengertian $a=0$ atau $b=0$ dapat ditafsirkan sebagai :
1. $a=0$ dan $b\neq0$
2. $a\neq0$ dan $b=0$
3. $a=0$ dan $b=0$

Cara pemfaktoran ini sebenarnya sudah kita pelajari pada materi matematika di SMP. Disini saya hanya akan mengulang kembali agar semakin mantap. Sebagai pemahaman selanjutnya silahkan perhatikan contoh dibawah ini.

CONTOH:
Dengan cara memfaktorkan, tentukan akar-akar tiap persamaan berikut
a. $x^{2}-4=0$
b. $x^{2}-4x+4$
c. $x^{2}-5x+6=0$
d. $2x^{2}-5x-3=0$

JAWAB
a. $x^{2}-4=0$ dapat kita faktorkan menjadi \begin{eqnarray*} x^{2}-4 & = & 0\\ \left(x-2\right)\left(x+2\right) & = & 0\\ x=2 & \text{atau} & x=-2 \end{eqnarray*} Jadi, akar-akarnya adalah $x_{1}=-2$ dan $x_{2}=2$. Dalam bentuk himpunan penyelesaian dituliskan sebagai $HP=\left\{ -2,2\right\} $

b. $x^{2}-4x+4=0$ dapat kita faktorkan menjadi \begin{eqnarray*} x^{2}-4x+4 & = & 0\\ \left(x-2\right)\left(x-2\right) & = & 0\\ x=2 & \text{atau} & x=2 \end{eqnarray*} Jadi, akar-akarnya adalah $x_{1}=2$ dan $x_{2}=2$. Dalam bentuk himpunan penyelesaian dituliskan sebagai $HP=\left\{ 2\right\} $

c. $x^{2}-5x+6=0$ dapat kita faktorkan menjadi \begin{eqnarray*} x^{2}-5x+6 & = & 0\\ \left(x-2\right)\left(x-3\right) & = & 0\\ x=2 & \text{atau} & x=3 \end{eqnarray*} Jadi, akar-akarnya adalah $x_{1}=2$ dan $x_{2}=3$. Dalam bentuk himpunan penyelesaian dituliskan sebagai $HP=\left\{ 2,3\right\} $

d. $2x^{2}-5x-3=0$ dapat kita faktorkan menjadi \begin{eqnarray*} 2x^{2}-5x-3 & = & 0\\ \left(2x+1\right)\left(x-3\right) & = & 0\\ 2x+1=0 & \text{atau} & x-3=0\\ x=-\frac{1}{2} & \text{atau} & x=3 \end{eqnarray*} Jadi, akar-akarnya adalah $x_{1}=-\frac{1}{2}$ dan $x_{2}=3$. Dalam bentuk himpunan penyelesaian dituliskan sebagai $HP=\left\{ -\frac{1}{2},3\right\} $

Sekian dulu yah nulisnya... Capek nih.
Bentuk Umum Persamaan Kuadrat

Bentuk Umum Persamaan Kuadrat

12:48:00 PM 0
Rasanya sudah lama saya tidak menulis di blog ini. Kesibukan mungkin membuat saya sedikit lupa untuk menulis. Namun pada kesempatan kali ini saya ingin mencoba menulis materi persamaan kuadrat kelas X SMA. Materinya mungkin terdengar tidak asik, namun saya harap bisa berguna.

Pada waktu SMP dulu kita pernah belajar tentang persamaan kuadrat. bahkan kita sudah mempelajari bentuk umum persamaan kuadrat. Namun pada kesempatan kali ini kita kembali akan membahas bentuk umum persamaan kuadrat. Sebelum kita membahas persamaan kuadrat lebih jauh alangkah baiknya kita mengetahui bentuk umumnya. Untuk itu, simaklah beberapa persamaan berikut.

# $x^{2}-3=0$
# $x^{2}-12x=0$
# $x^{2}-6x+10=0$
# $3x^{2}-2x+5=0$

Jika kita perhatikan tiap persamaan di atas mempunyai pangkat tertinggi pada variabel $x$ adalah dua. Persamaan yang mempunyai bentuk ini disebut persamaan kuadrat dalam variabel $x$ atau persamaan berderajat dua dalam variabel $x$. Berdasarkan fakta yang telah kita uraikan ini maka bentuk umum atau bentuk baku dari persamaan kuadrat dapat didefenisikan sebagai berikut
Misalkan $a,b,c\in\mathbb{R}$ dan $a\neq0$, maka persamaan yang berbentuk $$ax^{2}+bx+c=0$$ dinamakan persamaan kuadrat dalam variabel $x$


Dalam persamaan kuadrat $ax^{2}+bx+c$, $a$ adalah koefisien dari $x^{2}$, $b$ adalah koefisien dari $x$, dan $c$ adalah konstanta.

Sebagai contoh nilai $a,b,c$ pada persamaan kuadrat diatas adalah sebagai berikut

# $x^{2}+2x+3=0$, nilai-nilai $a=1,b=2,c=3$
# $x^{2}-3x=0$, nilai-nilai $a=1,b=-3,c=0$
Berkaitan dengan nilai-nilai dari $a,b$ dan $c$, dikenal beberapa nama persamaan kuadrat, diantaranya adalah

  1. Jika $a=1,$ maka persamaan menjadi $ax^{2}+bx+c=0$ dan persamaan seperti ini disebut persamaan kuadrat biasa
  2. Jika $b=0$, maka persamaan menjadi $ax^{2}+c=0$ dan persamaan kuadrat seperti ini disebut persamaan kuadrat sempurna.
  3. Jika $c=0$, maka persamaan menjadi $ax^{2}+bx=0$ dan persamaan kuadrat seperti ini disebut persamaan kuadrat tak lengkap
  4. Jika $a,b$, dan $c$ bilangan-bilangan real, maka $ax^{2}+bx+c=0$ disebut persamaan kuadrat real
  5. Jika $a,b$, dan $c$ bilangan-bilangan rasional, maka $ax^{2}+bx+c=0$ disebut persamaan kuadrat rasional.

Selain itu, ada beberapa persamaan kuadrat yang dinyatakan dalam bentuk baku. Misalnya.

  1. $2x^{2}=3x-8$
  2. $x^{2}=2\left(x^{2}-3x+1\right)$
  3. $2x-3={\displaystyle \frac{5}{x}}$
  4. ${\displaystyle \frac{2}{x-1}+\frac{1}{x-2}=2}$

Persamaan kuadrat diatas dapat kita ubah bentuknya menjadi persamaan kuadrat bentuk baku dengan melakukan beberapa manipulasi aljabar. Manipulasi aljabar dilakukan dengan menggunakan sifat-sifat yang berlaku pada persamaan pada umumnya. Sifat-sifat yang dimaksudkan itu adalah :

  1. Kedua ruas suatu persamaan dapat ditambah atau dikurangi dengan suatu bilangan atau variabel yang sama. Persamaan baru yang diperoleh tetap ekuivalen dengan persamaan semula

  2. Kedua ruas persamaan tersebut dapat dikalikan atau dibagi dengan suatu bilangan atau variabel yang sama, asalkan bilangan atau variabel tidak sama dengan nol. Persamaan baru yang diperoleh tetap ekuivalen dengan persamaan semula.

Sebagai bahan latihan anda, coba kerjakan latihan sederhana berikut.


Nyatakan persamaan-persamaan berikut kedalam bentuk baku, kemudian tentukan nilai $a,b,$ dan $c$
  1. $2x^{2}=3x-8$
  2. $x^{2}=2\left(x^{2}-3x+1\right)$
  3. $2x-3={\displaystyle \frac{5}{x}}$
  4. ${\displaystyle \frac{2}{x-1}+\frac{1}{x-2}=2}$

Tulisan ini berlanjut pada postingan selanjutnya.


Membahas Soal-Soal Fungsi Komposisi Dan Invers Fungsi

2:23:00 PM 1
Kemarin saya sudah memberikan postingan tentang pembahasan suku banyak dengan format PDF. Nah kali ini saya kembali akan memberikan postingan seperti kemarin tapi dengan materi yang berbeda yakni fungsi komposisi dan fungsi invers. Postingan saya bagi menjadi beberapa bagian masing-masing postingan berisi 7 sampai 10 soal. Karena kalau banyak soal nantinya pengunjung akan merasa tidak nyaman karena postingan terlalu panjang. Nah Kali ini saya mencoba untuk membuat lebih sederhana.

Perlu diketahui, materi fungsi komposisi dan invers fungsi cukup rumit bagi siswa SMA tentunya. Karena disitu ada materi fungsi yang cukup abstrak. Materi fungsi jika diteliti lebih jauh tidak akan ada habisnya. Namun kita hanya akan belajar fungsi yang umum dipelajari di tingkatan SMA.



komposisi fungsi




Saya disini belum menyertakan pembahasan dalam bentuk PDF mengingat masih dalam proses pengetikan. Jika sudah selesai saya ketik maka akan langsung saya share. Yah hitung-hitung mencicil tulisan tersebut setiap selesai 10 nomor akan langsung saya share. Terakhir akan saya share bentuk PDF. Harap bersabar saja. Postingan ini juga tidak jauh beda dengan PDF yang akan saya share nanti. OK langsung saja kita mainkan. Pembahasan ada di dalam spoiler ya ... Klik saja spoilernya maka jawabannya akan langsung muncul

1. Jika $f\left(x\right)=p^{x}$, $p$ konstanta positif, maka $\dfrac{f\left(x^{2}+x\right)} {f\left(x+1\right)}=\cdots\cdots$

Jawaban

\begin{eqnarray*}
f\left(x\right) & = & p^{x}\\
f\left(x^{2}+x\right) & = & p^{x^{2}+x}\\
f\left(x+1\right) & = & p^{x+1}\\
\dfrac{f\left(x^{2}+x\right)}{f\left(x+1\right)} & = & \frac{p^{x^{2}+x}}{p^{x+1}}\\
& = & \frac{p^{x^{2}}\cdot p^{x}}{p^{x}\cdot p}\\
& = & \frac{p^{x^{2}}}{p}\\
& = & p^{x^{2}}\cdot p^{-1}\\
\dfrac{f\left(x^{2}+x\right)}{f\left(x+1\right)} & = & p^{\left(x^{2}-1\right)}
\end{eqnarray*}
Perhatikan pada ruas kanan menghasilkan $p^{\left(x^{2}-1\right)}$. Karena $f\left(x\right)=p^{x}$ maka $\dfrac{f\left(x^{2}+x\right)}{f\left(x+1\right)}=f\left(x^{2}-1\right)$

2. Fungsi $f\left(x\right)=\sqrt{\dfrac{x^{2}-2x+1}{16-x^{2}}}$ terdefenisi untuk ......

Jawaban

Fungsi $f\left(x\right)=\sqrt{\dfrac{x^{2}-2x+1}{16-x^{2}}}$ terdefenisi jika $\dfrac{x^{2}-2x+1}{16-x^{2}}\geq 0$. Perhatikan pada bagian pembilang yaitu $x^{2}-2x+1=0$ dapat difaktorkan menjadi $\left(x-1\right)^{2}$. Karena fungsi kuadrat selalu bernilai positif, maka kita hanya perlu meninjau penyebutnya yaitu $16-x^{2}>0$. Perlu diketahui juga bahwa $\dfrac{x^{2}-2x+1}{16-x^{2}}$ tidak boleh bernilai negatif karena akar dari bilangan negatif akan menghasilkan bilangan imajiner. Kembali pada
\begin{eqnarray*}
16-x^{2} & > & 0\\
\left(4-x\right)\left(4+x\right) & > & 0
\end{eqnarray*}
Dengan menguji pada garis bilangan, kita mendapatkan batas-batas nilai $x$ yaitu $(-4,4)$

3. Jika fungsi $f$ di defenisikan sebagai $f\left(x\right)=2^{x}$ maka nilai $\left[\dfrac{f\left(x+3\right)}{f\left(x-1\right)}\right]^{2}=$......

Jawaban

Diketahui : $f\left(x\right)=2^{x}$ , $f\left(x+3\right)=2^{x+3}$ dan $f\left(x-1\right)=2^{x-1}$.
\begin{eqnarray*}
\dfrac{f\left(x+3\right)}{f\left(x-1\right)} & = & \frac{2^{x+3}}{2^{x-1}}\\
\left[\dfrac{f\left(x+3\right)}{f\left(x-1\right)}\right]^{2} & = & \left[\frac{2^{x+3}}{2^{x-1}}\right]^{2}\\
& = & \frac{2^{2x+6}}{2^{2x-2}}\\
& = & \frac{2^{2x}\cdot2^{6}}{2^{2x}\cdot\left(2\right)^{-2}}\\
& = & \frac{2^{6}}{2^{-2}}\\
& = & 2^{6}\cdot2^{2}\\
& = & 64\times4\\
\left[\dfrac{f\left(x+3\right)}{f\left(x-1\right)}\right]^{2} & = & 256
\end{eqnarray*}

4. Jika $f\left(x\right)=-x+3$ maka $f\left(x^{2}\right)+f^{2}\left(x\right)-2f\left(x\right)=$......

Jawaban

$f\left(x\right)=-x+3$
$f\left(x^{2}\right)=-x^{2}+3$
$f^{2}\left(x\right)=\left(-x+3\right)\left(-x+3\right)=x^{2}-6x+9$
$2f\left(x\right)=-2x+6$
\begin{eqnarray*}
f\left(x^{2}\right)+f^{2}\left(x\right)-2f\left(x\right) & = & -x^{2}+3+x^{2}-6x+9-\left(-2x+6\right)\\
& = & -6x+12+2x-6\\
& = & -4x+6
\end{eqnarray*}

5. Diketahui $f\left(x+1\right)=x^{2}-1$ dan $g\left(x\right)=2x$ maka $\left(g\circ f\right)\left(x\right)=$......

Jawaban

$f\left(x+1\right)=x^{2}-1$ misalkan $t=x+1\rightarrow x=t-1$ sehingga
\begin{eqnarray*}
f\left(t\right) & = & \left(t-1\right)^{2}-1\\
& = & t^{2}-2t+1-1\\
f\left(t\right) & = & t^{2}-2t\\
f\left(x\right) & = & x^{2}-2x
\end{eqnarray*}
\begin{eqnarray*}
\left(g\circ f\right)\left(x\right) & = & g\left(f\left(x\right)\right)\\
& = & 2\left(x^{2}-2x\right)\\
& = & 2x^{2}-4x
\end{eqnarray*}

6. Jika $f\left(x\right)=x^{3}+2$ dan $g\left(x\right)=\dfrac{2}{x-1}:x\neq1$ maka $\left(g\circ f\right)\left(x\right)$ adalah .....

Jawaban

\begin{eqnarray*}
\left(g\circ f\right)\left(x\right) & = & g\left(f\left(x\right)\right)\\
& = & \frac{2}{x^{3}+2-1}\\
\left(g\circ f\right)\left(x\right) & = & \frac{2}{x^{3}+1}
\end{eqnarray*}

7. Jika $f\left(x\right)=\dfrac{2x}{x^{2}-4}$ dan $g\left(x\right)=\sqrt{2x}$ maka $\left(f\circ g\right)\left(x\right)$ adalah .....

Jawaban

\begin{eqnarray*}
\left(f\circ g\right)\left(x\right) & = & f\left(g\left(x\right)\right)\\
& = & \frac{2\left(\sqrt{2x}\right)}{\left(\sqrt{2x}\right)^{2}-4}\\
& = & \frac{2\sqrt{2x}}{2x-4}\\
& = & \frac{2\sqrt{2x}}{2\left(x-2\right)}\\
\left(f\circ g\right)\left(x\right) & = & \frac{\sqrt{2x}}{x-2}
\end{eqnarray*}

8. Jika $f\left(x\right)=-4x$ dan $f\left(g\left(x\right)\right)=-\frac{x}{2}+1$ maka $g\left(x\right)=$......

Jawaban

\begin{eqnarray*}
f\left(g\left(x\right)\right) & = & -\frac{x}{2}+1\\
-4\left(g\left(x\right)\right) & = & -\frac{x}{2}+1\\
g\left(x\right) & = & \frac{-\frac{x}{2}+1}{-4}\\
& = & \frac{-\frac{x+2}{2}}{-4}\\
& = & \frac{-x+2}{2}\times\frac{1}{-4}\\
& = & -\frac{1}{8}\left(-x+2\right)\\
g\left(x\right) & = & \frac{1}{8}\left(x-2\right)
\end{eqnarray*}

9. Diketahui $\left(f\circ g\right)\left(x\right)=\dfrac{2x-3}{x+4}:x\neq-4$ dan $g\left(x\right)=\left(1-x\right)$. Maka $f\left(x\right)$ adalah ....

Jawaban

\begin{eqnarray*}
\left(f\circ g\right)\left(x\right) & = & \dfrac{2x-3}{x+4}\\
f\left(g\left(x\right)\right) & = & \dfrac{2x-3}{x+4}\\
f\left(1-x\right) & = & \dfrac{2x-3}{x+4}
\end{eqnarray*}
Misalkan $u=1-x$ maka $x=1-u$ sehingga
\begin{eqnarray*}
f\left(u\right) & = & \frac{2\left(1-u\right)-3}{\left(1-u\right)+4}\\
& = & \frac{2-2u-3}{5-u}\\
f\left(u\right) & = & \frac{-2u-1}{5-u}\\
f\left(x\right) & = & \frac{-2x-1}{5-x}
\end{eqnarray*}

10. Fungsi $f:\mathbb{R\to\mathbb{R}}$ dan $g:\mathbb{R\to\mathbb{R}}$ dinyatakan oleh $f\left(x\right)=x+2$ dan $\left(g\circ f\right)\left(x\right)=2x^{2}+4x+1$ maka $g\left(2x\right)=$......

Jawaban

\begin{eqnarray*}
\left(g\circ f\right)\left(x\right) & = & 2x^{2}+4x+1\\
g\left(f\left(x\right)\right) & = & 2x^{2}+4x+1\\
g\left(x+2\right) & = & 2x^{2}+4x+1
\end{eqnarray*}
Misalkan $x+2=y$ maka $x=y-2$ sehingga
\begin{eqnarray*}
g\left(y\right) & = & 2\left(y-2\right)^{2}+4\left(y-2\right)+1\\
& = & 2\left(y^{2}-4x+4\right)+4y-8+1\\
& = & 2y^{2}-8y+8+4y-8+1\\
g\left(y\right) & = & 2y^{2}-4y+1\\
g\left(x\right) & = & 2x^{2}-4x+1\\
g\left(2x\right) & = & 2\left(2x\right)^{2}-4\left(2x\right)+1\\
& = & 2\left(4x^{2}\right)-8x+1\\
g\left(2x\right) & = & 8x^{2}-8x+1
\end{eqnarray*}

Cukup 10 omor dulu pembahasan dari saya. Menurut saya tidak ada soal yang terlihat sulit. Semua  mudah dan gampang. Siapa saja bisa mengerjakannya. Pada postingan selanjutnya saya akan mencoba memposting soal nomor 11 - 20. Mungkin soal tersebut akan tergolong lumayan. Tetap semangat belajar.

Pembahasan Soal-Soal Suku Banyak Format PDF

1:59:00 PM 0
Janji saya pada postingan sebelumnya akan mengupload pembahasan dalam bentuk (format) PDF. Pembahasan tersebut saya tulis dengan $\LaTeX$ sehingga terlihat menarik. Namun untuk pembagian polinomialnya agak berantakan. Kenapa yah ?? saya sendiri tidak tahu. namun pada dasarnya pembaca pasti mengerti kok. berikut screen shoot covernya.


Tulisan saya kali ini dimaksudkan untuk anda yang ingin membaca dan mempelajarinya dirumah. Anda juga saya persilahkan untuk melakukan pencetakan maupun penulisan ulang dengan tanpa menyebutkan sumbernya. Karena saya tidak bertanggung jawab jika ada ketersesatan tulisan itu. hehe.

Sebelum mendownload tulisan tersebut ada baiknya untuk berkomentar di blog ini yah. Kritik dan saran sangat kami harapkan. Jika ada kesalahan mohon di salahkan dan dibenarkan. Masih dalam tahap belajar.

Untuk selanjutnya saya akan mengupload dan menulis pembahasan tentang Fungsi komposisi dan invers fungsi. Soal dan pembahasannya sudah selesai saya buat namun masih dalam tahap pengetikan. Maklumlah banyak equation sangat melelahkan tangan. hehe . namun semua itu diniati belajar dan berbagi. Semoga semua bermanfaat.


Silahkan di download disini langsung terdownload (no receh)




Masih Membahas Tentang Suku Banyak

1:26:00 PM 0
Kembali saya akan melanjutkan postingan saya yaitu tentang suku banyak. Pada postingan sebelumnya saya sudah membahas soal sebanyak 16 nomor. Kali ini saya akan mencoba membahas sisanya sekitar 6 nomor saja. Setelah itu akan saya upload dalam bentuk PDF. Para pembaca mungkin akan merasa mudah jika file tersebut saya convert dalam format PDF. Namun pada postingan kali ini saya masih menuliskan dalam bentuk postingan dengan bantuan $\LaTeX$. Mari kita mulai pembahasannya


17. Diketahui suku banyak $f\left(x\right)$ jika dibagi $\left(x+1\right)$ bersisa $8$ dan dibagi $\left(x-3\right)$ bersisa $4$. Suku banyak $g\left(x\right)$ jika dibagi $\left(x+1\right)$ bersisa $-9$ dan dibagi $\left(x-3\right)$ bersisa $15$. Jika $h\left(x\right)=f\left(x\right)\cdot g\left(x\right)$ maka sisa pembagian $h\left(x\right)$ oleh $\left(x^{2}-2x-3\right)$ adalah ....Jawaban

Misalkan sisa pembagian adalah $Ax+B$ . Perhatikan bahwa suku banyak $f\left(x\right)$ jika dibagi $\left(x+1\right)$ bersisa $8$ dan dibagi $\left(x-3\right)$ bersisa $4$
\begin{eqnarray*}
f\left(-1\right) & = & 8\\
f\left(3\right) & = & 4
\end{eqnarray*}
Suku banyak $g\left(x\right)$ jika dibagi $\left(x+1\right)$ bersisa $-9$ dan dibagi $\left(x-3\right)$ bersisa $15$
\begin{eqnarray*}
g\left(-1\right) & = & -9\\
g\left(3\right) & = & 15
\end{eqnarray*}
Dari keterangan soal selanjutnya terlihat bahwa $\left(x^{2}-2x-3\right)$ dapat difaktorkan menjadi $\left(x+1\right)\left(x-3\right)$. Selain itu $h\left(x\right)=f\left(x\right)\cdot g\left(x\right)$ sehingga
dengan mudah kita menuliskan suku banyak tersebut menjadi \begin{eqnarray*}
h\left(x\right)=f\left(x\right)\cdot g\left(x\right) & = & H\left(x\right)\left(x+1\right)\left(x-3\right)+Ax+B\\
h\left(-1\right)=f\left(-1\right)\cdot g\left(-1\right) & = & H\left(-1\right)\left(-1+1\right)\left(-1-3\right)-A+B\\
8\left(-9\right) & = & -A+B\\
-A+B & = & -72\qquad\qquad\qquad(1)
\end{eqnarray*}
\begin{eqnarray*}
h\left(x\right)=f\left(x\right)\cdot g\left(x\right) & = & H\left(x\right)\left(x+1\right)\left(x-3\right)+Ax+B\\
h\left(3\right)=f\left(3\right)\cdot g\left(3\right) & = & H\left(3\right)\left(3+1\right)\left(3-3\right)+3A+B\\
\left(4\right)\cdot\left(15\right) & = & 3A+B\\
3A+B & = & 60\qquad\qquad\qquad\quad(2)
\end{eqnarray*}
Dari persamaan (1) dan persamaan (2) dapat kita eliminasi dan mendapatkan nilai $A=33$ dan $B=-39$ (Untuk kebenarannya silahkan dicek sebagai bahan latihan), Sehingga sisa pembagian $h\left(x\right)$ oleh $\left(x^{2}-2x-3\right)$ adalah $33x-39$


18. Suku banyak berderajat $3$ habis dibagi dengan $x+1$ dan $x-2$.
Bersisa $2$ jika dibagi dengan $x+1$ dan bersisa $2$ jika dibagi
dengan $x$. Suku banyak itu adalah ....


Jawaban

Misalkan suku banyak tersebut adalah $f\left(x\right)=Ax^3+Bx^2+Cx+D$. Dari keterangan soal diperoleh
\begin{eqnarray*}
f\left(x\right) & = & H\left(x\right)\left(x-1\right)+0\\
f\left(1\right) & = & 0\\
f\left(2\right) & = & 0\\
f\left(x\right) & = & H\left(x\right)\left(x+1\right)+2\\
f\left(-1\right) & = & 2\\
f\left(x\right) & = & H\left(x\right)\left(x\right)+2\\
f\left(0\right) & = & 2
\end{eqnarray*}
Substitusikan nilai-nilai suku banyak diatas kedalam $f\left(x\right)$ mendapatkan
\begin{eqnarray*}
f\left(1\right) & = & A+B+C+D=0\qquad\qquad\qquad(1)\\
f\left(2\right) & = & 8A+4B+2C+D=0\qquad\qquad\quad(2)\\
f\left(-1\right) & = & -A+B-C+D=2\qquad\qquad\qquad(3)\\
f\left(0\right) & = & D=2\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad(4)
\end{eqnarray*}
Dengan memanfaatkan metode eliminasi dan substitusi diperoleh nilai
$A=\dfrac{2}{3},B=-1,C=-\dfrac{5}{3},D=2$ (Silahkan dicoba sebagai
bahan latihan). Jadi suku banyak tersebut adalah $f\left(x\right)=\dfrac{2}{3}x^{3}-x^{2}-\dfrac{5}{3}x+2$

19. Jika salah satu akar persamaan $2x^{3}-7x^{2}-7x+30=0$ adalah $3$
maka jumlah dua akar yang lain adalah ......


Jawaban

Gunakan metode Horner untuk mendapatkan hasil bagi $2x^{3}-7x^{2}-7x+30=0$ dengan $3$

(Cara 1). Terlihat bahwa hasil pembagiannya adalah $2x^{2}-x-10=0$. Jumlah akar-akarnya dapat kita cari dengan menggunakan rumus jumlah akar-akar persamaan kuadrat yaitu
\begin{eqnarray*}
x_{1}+x_{2} & = & -\frac{b}{a}\\
x_{1}+x_{2} & = & -\frac{\left(-1\right)}{2}\\
x_{1}+x_{2} & = & \frac{1}{2}
\end{eqnarray*}

(Cara 2) Selain cara diatas kita juga dapat menggunakan cara pemfaktoran dari $2x^{2}-x-10=0$. Faktor dari
\begin{eqnarray*}
2x^{2}-x-10 & = & 0\\
\left(2x-5\right)\left(x+2\right) & = & 0\\
x=\frac{5}{2} & \text{atau} & x=-2
\end{eqnarray*}
Jumlahkan kedua akar tersebut $x_{1}+x_{2}=\dfrac{5}{2}-2=\dfrac{1}{2}$

20. Jumlah akar-akar dari persamaan $2x^{3}-3x^{2}-11x+6=0$ adalah ....

Jawaban

Dengan memanfaatkan perluasan rumus jumlah dan hasil kali akar-akar persamaan kuadrat (atau lebih dikenal dengan teorema Vieta) kita akan dengan mudah menjawab soal tersebut.
\begin{eqnarray*}
x_{1}+x_{2}+x_{3} & = & -\frac{b}{a}\\
& = & -\frac{\left(-3\right)}{2}\\
& = & \frac{3}{2}
\end{eqnarray*}
Jika anda ingin mencari akar-akar dari persamaan tersebut tidak ada salahnya dan hasilnya pun akan sama. Silahkan dicoba sebagai latihan.

21. Banyaknya akar-akar rasional bulat dari persamaan $4x^{4}-15x^{2}+5x+6=0$ adalah .......

Jawaban

Faktor bulat dari $6$ adalah $\pm6,\pm1,\pm2,\pm3$
Untuk $x=1$ maka
\begin{eqnarray*}
f\left(1\right) & = & 4-15+5+6\\
& = & 0\,\,\,\left(x-1\right)\text{ adalah faktor dari }f\left(x\right)
\end{eqnarray*}

Mendapatkan hasil $4x^{3}+4x^{2}-11x-6=0$. Sekarang kita mencoba membagi $4x^{3}+4x^{2}-11x-6=0$
dengan $x=-2$ mendapatkan

Mendapatkan hasil $4x^{2}-4x-3=0$ dengan sisa $0$. Sehingga disimpulkan $x+2$ juga merupakan faktor bulat dari $f\left(x\right)$. Untuk mencari faktor yang lainnya kita dapat menggunakan rumus kuadrat (rumus abc) yaitu
\begin{eqnarray*}
x_{1,2} & = & \frac{-b\pm\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}\\
& = & \frac{4\pm\sqrt{16+48}}{8}\\
& = & \frac{4\pm\sqrt{64}}{8}\\
& = & \frac{4\pm8}{8}\\
x_{1}=\frac{4+8}{8} & \text{atau} & x_{2}=\frac{4-8}{8}\\
x_{1}=\frac{12}{8} & \text{atau} & x_{2}=-\frac{4}{8}\\
x_{1}=\frac{3}{2} & \text{atau} & x_{2}=-\frac{1}{2}
\end{eqnarray*}
Sehingga terlihat akar-akarnya adalah $1,-2,\frac{3}{2},-\frac{1}{2}$. Sehingga dapat disimpulkan Banyaknya akar-akar rasional bulat dari persamaan $4x^{4}-15x^{2}+5x+6=0$ adalah $2$

22. Banyaknya akar-akar real dari persamaan $x^{5}+x^{4}-2x^{3}+x^{2}+x-2=0$ adalah ....

Jawaban

Faktor bulat dari $2$ adalah $\pm1,\pm2$
Untuk $x=1$ maka
\begin{eqnarray*}
f\left(1\right) & = & 1^{5}+1^{4}-2\left(1\right)^{3}+\left(1\right)^{2}+1-2=0\\
& = & 2-2+2-2\\
& = & 0\qquad\qquad\left(x-1\right)\text{ adalah akar dari }f\left(x\right)
\end{eqnarray*}
Untuk $x=-1$ maka
\begin{eqnarray*}
f\left(1\right) & = & \left(-1\right)^{5}+\left(-1\right)^{4}-2\left(-1\right)^{3}+\left(-1\right)^{2}+\left(-1\right)-2=0\\
& = & 0+0\\
& = & 0\qquad\qquad\left(x+1\right)\text{ adalah akar dari }f\left(x\right)
\end{eqnarray*}
Untuk $x=2$ maka
\begin{eqnarray*}
f\left(2\right) & = & \left(2\right)^{5}+\left(2\right)^{4}-2\left(2\right)^{3}+\left(2\right)^{2}+\left(2\right)-2=0\\
& = & 32+16-16+4\\
& = & 36\qquad\qquad\left(x-2\right)\text{ bukan akar dari }f\left(x\right)
\end{eqnarray*}
Untuk $x=-2$ maka
\begin{eqnarray*}
f\left(-2\right) & = & \left(-2\right)^{5}+\left(-2\right)^{4}-2\left(-2\right)^{3}+\left(-2\right)^{2}+\left(-2\right)-2=0\\
& = & -32+16+16+4-2-2\\
& = & 0\qquad\qquad\left(x+2\right)\text{ adalah akar dari }f\left(x\right)
\end{eqnarray*}
Jadi akar-akar realnya adalah $x_{1}=-1,x_{2}=-2$ dan $x_{3}=1$. Sehingga disimpulkan ada $3$ akar-akar real.



Sekian dulu postingan kali ini. Untuk mendapatkan pembahasan dalam format PDF saya sudah sediakan di postingan selanjutnya. Terima kasih. Oyah Jika anda mempunyai cara yang lebih praktis mengerjakan soal-soal diatas silahkan share disini. Selain itu, jika anda menemukan kesalahan dalam pembahasan saya diatas, mohon segera disalahkan dan dibenarkan. Mudah-mudahan bermanfaat bagi kita semua.

Melanjutkan Pembahasan Suku Banyak

4:14:00 PM 0
Pada postingan sebelumnya saya sudah sempat membahas tentang soal-soal suku banyak yang sering keluar dalam Ujian Nasional. Pembahasan yang saya buat tentunya tidak terlalu mendetail antara lain untuk metode substitusi maupun eliminasi tidak saya bahas disini. Jadi langsung saya lompati saja. Tentunya anda sudah mahir dalam materi tersebut. Jika belum mengerti, silahkan anda belajar kembali materi kelas X semester 1.

Pembuatan postingan saya selalu memunculkan spoiler yang dapat menghemat area postingan. Gimana spoiler saya keren kan ? hehe :D . Tujuannya yah agar kita mudah saja membacanya. Tulisan dalam spoiler adalah jawaban atas soal yang diberikan diatasnya. Silahkan klik jawaban untuk memunculkan pembahasannya.

Postingan kali ini juga masih seperti postingan sebelumnya. Tidak ada yang spesial namun sudah agak rumit mengingat membutuhkan daya analisis sedikit. Namun pada dasarnya masih cukup gampang kok. Berikut ulasannya.

11. Suku banyak $f\left(x\right)$ habis di bagi oleh $\left(x-1\right)$. Sisa pembagian $f\left(x\right)$ oleh $\left(x-1\right)\left(x+1\right)$ adalah .......

Jawaban

$f\left(x\right)$ habis di bagi oleh $\left(x-1\right)$ diperoleh
\begin{eqnarray*}
f\left(x\right) & = & H\left(x\right)\left(x-1\right)+0\\
f\left(1\right) & = & 0
\end{eqnarray*}
Misalkan sisa dari pembagian tersebut adalah $Ax+B$. Sementara $f\left(x\right)$ dibagi $\left(x-1\right)\left(x+1\right)$ mendapatkan
\begin{eqnarray*}
f\left(x\right) & = & H\left(x\right)\left(x-1\right)\left(x+1\right)+Ax+B\\
f\left(1\right) & = & A+B\\
A+B & = & 0\\
A & = & -B\\
f\left(-1\right) & = & -A+B\\
& = & B+B\\
f\left(-1\right) & = & 2B\\
B & = & \frac{1}{2}f\left(-1\right)\\
A & = & -\frac{1}{2}f\left(-1\right)
\end{eqnarray*}
Sehingga sisanya adalah
\begin{eqnarray*}
Ax+B & = & -\frac{1}{2}f\left(-1\right)x+\frac{1}{2}f\left(-1\right)\\
& = & \frac{1}{2}f\left(-1\right)\left(1-x\right)
\end{eqnarray*}

12. Sisa pembagian $\left(x^{2}+ax+b\right):\left(x-3\right)$ adalah 4. Sisa pembagian $\left(x^{2}+bx+a\right):\left(x-3\right)$ adalah 10. Nilai $a^{2}+b^{2}$ adalah .....

Jawaban

\begin{eqnarray*}
f\left(3\right) & = & 3^{2}+3a+b\\
4 & = & 9+3a+b\\
3a+b & = & -5
\end{eqnarray*}
\begin{eqnarray*}
f\left(3\right) & = & 3^{2}+3b+a\\
10 & = & 9+3b+a\\
3b+a & = & 1
\end{eqnarray*}
Eliminasi dua persamaan diatas di dapatkan nilai $a=-2$ dan $b=1$ sehingga $$a^{2}+b^{2}=\left(-2\right)^{2}+1^{2}=5$$

13. Fungsi $f\left(x\right)$ dibagi $\left(x-1\right)$ sisanya 3 sedangkan jika di bagi $x-2$ sisanya 4. Jika $f\left(x\right)$ dibagi dengan $x^{2}-3+2$ maka sisanya adalah ....

Jawaban

Misalkan sisa pembagian adalah $Ax+B$ Sehingga
\begin{eqnarray*}
f\left(x\right) & = & H\left(x\right)\left(x-1\right)\left(x-2\right)+Ax+B\\
f\left(1\right) & = & 0+A+B\\
3 & = & A+B
\end{eqnarray*}
\begin{eqnarray*}
f\left(x\right) & = & H\left(x\right)\left(x-1\right)\left(x-2\right)+Ax+B\\
f\left(2\right) & = & 0+2A+B\\
4 & = & 2A+B
\end{eqnarray*}
Eliminasi kembali persamaan diatas mendapatkan nilai $A=1$ dan $B=2$ sehingga sisanya adalah $x+2$

14. Jika $f\left(x\right)$ dibagi oleh $x^{2}-2x$ dan $x^{2}-3x$ masing-masing mempunyai sisa $2x+1$ dan $5x+2$, maka $f\left(x\right)$ dibagi oleh $x^{2}-5x+6$ mempunyai sisa ....

Jawaban

Misalkan sisa $Ax+B$
\begin{eqnarray*}
f\left(x\right) & = & H\left(x\right)x\left(x-2\right)+2x+1\\
f\left(2\right) & = & 2\left(2\right)+1\\
f\left(2\right) & = & 5
\end{eqnarray*}
\begin{eqnarray*}
f\left(x\right) & = & H\left(x\right)x\left(x-3\right)+5x+2\\
f\left(3\right) & = & 5\left(3\right)+2\\
f\left(3\right) & = & 17
\end{eqnarray*}
\begin{eqnarray*}
f\left(x\right) & = & H\left(x\right)\cdot\left(x-2\right)\left(x-3\right)+Ax+B\\
f\left(2\right) & = & 2A+B\\
2A+B & = & 5\\
f\left(3\right) & = & 3A+B\\
3A+B & = & 17
\end{eqnarray*}
Eliminasi kedua persamaan diatas mendapatkan $A=12$ dan $B=-19$ sehingga sisanya adalah $12x-19$

15. Suatu suku banyak $P\left(x\right)$ dibagi oleh $\left(x^{2}-1\right)$ sisanya $\left(12x-23\right)$dan jika di bagi oleh $\left(x-2\right)$ sisanya 1. Sisa pembagian suku banyak oleh $\left(x^{2}-3x+2\right)$ adalah ....

Jawaban

Misalkan sisa pembagian adalah $Ax+B$.
\begin{eqnarray*}
P\left(x\right) & = & H\left(x\right)\left(x-1\right)\left(x+1\right)+12x-23\\
P\left(1\right) & = & -11
\end{eqnarray*}
\begin{eqnarray*}
P\left(x\right) & = & H\left(x\right)\left(x-2\right)+1\\
P\left(2\right) & = & 1
\end{eqnarray*}
karena $\left(x^{2}-3x+2=0\right)$ dapat difaktorkan menjadi $\left(x-2\right)\left(x-1\right)$
maka
\begin{eqnarray*}
P\left(x\right) & = & H\left(x\right)\cdot\left(x-2\right)\left(x-1\right)+Ax+B\\
P\left(1\right) & = & A+B\\
A+B & = & -11\qquad\qquad(1)\\
P\left(2\right) & = & 2A+B\\
2A+B & = & 1\qquad\qquad\qquad(2)
\end{eqnarray*}
Eliminasi persamaan (1) dan (2) mendapatkan $A=12$ dan $B=-23$ sehingga sisanya adalah $12x-23$

16. Suku banyak $V\left(x\right)$ dibagi $x^{2}-x$ dan $x^{2}+x$ masing-masing memberikan sisa $5x+1$ dan $3x+1$. Jika $V\left(x\right)$ dibagi $x^{2}-1$ sisanya adalah ....

Jawaban

Misalkan sisa pembagian $V\left(x\right)$ oleh $x^{2}-1$ adalah $Ax+B$
\begin{eqnarray*}
V\left(x\right) & = & H\left(x\right)\cdot x\left(x-1\right)+5x+1\\
V\left(1\right) & = & 6
\end{eqnarray*}
\begin{eqnarray*}
V\left(x\right) & = & H\left(x\right)x\left(x+1\right)+3x+1\\
V\left(-1\right) & = & -2
\end{eqnarray*}
\begin{eqnarray*}
V\left(x\right) & = & H\left(x\right)\left(x+1\right)\left(x-1\right)+Ax+B\\
V\left(1\right) & = & A+B\\
A+B & = & 6\qquad\qquad\qquad(1)\\
V\left(-1\right) & = & -A+B\\
-A+B & = & -2\qquad\qquad\qquad(2)
\end{eqnarray*}
Eliminasi persamaan (1) dan (2) mendapatkan $A=4$ dan $B=2$ sehingga sisanya adalah $4x+2$

Sekian dulu yah... Capek nulisnya.. Setelah ini akan di bahas yang lumayan. Sekaligus akan langsung ke Fungsi komposisi. Selalu kunjungi blog ini yah.... Terima kasih.