Contoh Soal Persamaan Garis Singgung Lingkaran yang Melalui Titik diLuar Lingkaran

Pada postingan sebelumnya kita sudah membahas tentang materi dan cara menyelesaikan Persamaan Garis  singgung Lingkaran yang Melalui Titik di Luar Lingkaran. Nah pada kesempatan kali ini saya akan mencoba membahas tentang contoh soalnya. Biasanya siswa akan paham kalau melihat contoh soalnya. Walaupun sebenarnya kita harus paham tentang materinya terlebih dahulu baru di aplikasikan pada contoh soal. Langsung saja kita berikan soalnya.

Diketahui persamaan lingkaran $L\equiv x^{2}+y^{2}=25$ dan titik $P\left(-1,7\right)$

1. Tentukan persamaan-persamaan garis singgung pada lingkaran $L$ yang dapat ditarik melalui titik $P\left(-1,7\right)$
2. Misalkan titik-titik singgung pada soal 1 adalah $A$ dan $B$
    a. Tentukan koordinat titik $A$ dan titik $B$
    b. Tentukan persamaan garis $AB$
Jawaban.

Untuk jawaban nomor 1.

Titik $P\left(-1,7\right)$ terletak di luar lingkaran $L\equiv x^{2}+y^{2}=25$ , sebab $\left(-1\right)^{2}+\left(7\right)^{2}=25$

a. Garis yang melalui titik $P\left(-1,7\right)$, dimisalkan gradiennya adalah $m$. Sehingga persamaannya adalah $y-7=m\left(x+1\right)\Rightarrow y=mx+m+7$

b. Substitusi $y=mx+m+7$ kedalam persamaan lingkaran $L\equiv x^{2}+y^{2}=25$, diperoleh

\begin{eqnarray*}x^{2}+\left(mx+m+7\right)^{2} & = & 25\\x^{2}+m^{2}x^{2}+m^{2}+49+m^{2}x+14mx+14m & = & 25\\\left(1+m^{2}\right)x^{2}+\left(2m^{2}+14m\right)x+\left(m^{2}+14m+24\right) & = & 0\end{eqnarray*}Nilai diskriminan $\left(D\right)$ dari persamaan kuadrat gabungan diatas adalah:\begin{eqnarray*}D & = & \left(2m^{2}+14m\right)^{2}-a\left(1+m^{2}\right)\left(m^{2}+14m+24\right)\\D & = & 4m^{4}+56m^{3}+196m^{2}-4\left(m^{4}+14m^{3}+24m^{2}+m^{2}+14m+24\right)\\D & = & 4m^{4}+56m^{3}+196m^{2}-4m^{4}-56m^{3}-100m^{2}-56m-96\\D & = & 96m^{2}-56m-96\end{eqnarray*}

c. Syarat untuk garis singgung adalah $D=0$.
\begin{eqnarray*}
96m^{2}-56m-96 & = & 0\\
12m^{2}-7m-12 & = & 0\\
\left(4m+3\right)\left(3m-4\right) & = & 0\\
m=-\frac{3}{4} & \text{dan} & m=\frac{4}{3}
\end{eqnarray*}d. Substitusi nilai $m=-\frac{3}{4}$ dan  $m=\frac{4}{3}$ kedalam persamaan $y=mx+m+7$

# Untuk $m=-\frac{3}{4}$, diperoleh
\begin{eqnarray*}
y & = & -\frac{3}{4}x-\frac{3}{4}+7\\
4y & = & -3x+25\\
3x+4y-25 & = & 0
\end{eqnarray*}

# Untuk $m=\frac{4}{3}$, diperoleh
\begin{eqnarray*}
y & = & \frac{4}{3}x+\frac{4}{3}+7\\
3y & = & 4x+25\\
4x-3y+25 & = & 0
\end{eqnarray*}

Jadi, persamaan-persamaan garis singgung pada lingkaran $L\equiv x^{2}+y^{2}=25$ yang dapat ditarik melalui titik $P\left(-1,7\right)$ adalah $3x+4y-25=0$ dan $4x-3y+25=0$. Kedua garis singgung dapat anda lihat pada gambar berikut



Kembali membahas lanjutan Contoh Soal Persamaan Garis Singgung Lingkaran yang Melalui Titik di Luar Lingkaran yang belum selesai. Pada contoh soal sebelumnya baru bagian 1 yang selesai. Nah sekarang kita akan mencoba membahas soal nomor 2 tentunya masih berkaitan dengan soal nomor 1.

2. (a). Titik $A$ adalah titik singgung garis $3x+4y-25=0$ dengan lingkaran $L$

\[
3x+4y-25=0\Rightarrow y=-\frac{3}{4}x+\frac{25}{4}
\]Kemudian substitus $y=-\frac{3}{4}x+\frac{25}{4}$ kedalam persamaan lingkaran $L\equiv x^{2}+y^{2}=25$ diperoleh
\begin{eqnarray*}
x^{2}+\left(-\frac{3}{4}x+\frac{25}{4}\right)^{2} & = & 25\\
x^{2}+\frac{9}{16}x^{2}-\frac{75}{8}x+\frac{625}{16} & = & 25\\
\frac{25}{16}x^{2}-\frac{75}{8}x+\frac{225}{16} & = & 25\\
x^{2}-6x+9 & = & 0\\
\left(x-3\right)^{2} & = & 0\\
x & = & 3
\end{eqnarray*}Untuk $x=3$ diperoleh $y=-\dfrac{3}{4}\left(3\right)+\dfrac{25}{4}=4\Rightarrow\left(3,4\right)$

Titik $B$ adalah titik singgung garis $4x-3y+25=0$ dengan lingkaran $L$ \[4x-3y+25=0\Rightarrow y=\frac{4}{3}x+\frac{25}{3}\] Kemudian kita substitusi $y=\frac{4}{3}x+\frac{25}{3}$ kedalam $x^{2}+y^{2}=25$
mendapatkan
\begin{eqnarray*}
x^{2}+\left(\frac{4}{3}x+\frac{25}{3}\right)^{2} & = & 25\\
x^{2}+\frac{16}{9}x^{2}+\frac{200}{9}x+\frac{625}{9} & = & 25\\
\frac{25}{9}x^{2}+\frac{200}{9}x+\frac{400}{9} & = & 0\\
x^{2}+8x+16 & = & 0\\
\left(x+4\right)^{2} & = & 0\\
x & = & -4
\end{eqnarray*}Untuk $x=-4$ diperoleh ${\displaystyle y=\frac{4}{3}\left(-4\right)+\frac{25}{3}=3\Rightarrow B\left(-4,3\right)}$
Jadi koordinat titik $A\left(3,4\right)$ dan titik $B\left(-4,3\right)$

(b). Persamaan garis $AB$, untuk $A\left(3,4\right)$ dan $B\left(-4,3\right)$ adalah
\begin{eqnarray*}
\frac{y-y_{1}}{y_{2}-y_{1}} & = & \frac{x-x_{1}}{x_{2}-x_{1}}\\
\frac{y-4}{3-4} & = & \frac{x-3}{-4-3}\\
\frac{y-4}{-1} & = & \frac{x-3}{-7}\\
-7y+28 & = & -x+3\\
-x+7y & = & 25
\end{eqnarray*} Persamaan garis $AB$ adalah $-x+7y=25$ $\blacksquare$