Soal Logaritma Lanjutan

Pada potingan sebelumnya  saya sempat memposting soal logaritma SMA sederhana saja. namun pada kesempatan kali ini saya akan mencoba memposting soal logaritma yang melibatkan fungsi trigonometri yaitu $\tan \alpha^{\circ}$.  Soal ini agaknya cukup rumit jika kita tidak memiliki kemampuan bernalar yang tinggi. Namun jika kita bersungguh-sungguh dalam mengerjakannya maka kita akan mudah menyelesaikan soal tersebut. Soalnya adalah

Nilai dari $$\log \tan 1^{\circ} + \log \tan 2^{\circ} + \log \tan 3^{\circ} + \cdots + \log \tan 89^{\circ}$$ adalah .....

Penyelesaian

Kita ingat kembali konsep $\log a+\log b=\log\left(a+b\right)$. Sehingga

\begin{eqnarray*}
& = & \log\tan1^{\circ}+\log\tan2^{\circ}+\log\tan3^{\circ}+\cdots+\log\tan89^{\circ}\\
& = & \log\left(\tan1^{\circ}\times\tan2^{\circ}\times\tan3^{\circ}\times\cdots\times\tan89^{\circ}\right)\\
&=&\log\left(\tan1^{\circ}\times\tan89^{\circ}\times\tan2^{\circ}\times\tan88^{\circ}\times\tan3^{\circ}\times\tan87^{\circ}\times\cdots\times\tan45^{\circ}\right)\\
&=&\log\left(\tan1^{\circ}\times\tan\left(90^{\circ}-1^{\circ}\right)\times\tan2^{\circ}\times\tan\left(90^{\circ}-2^{\circ}\right)\times\tan3^{\circ}\times\tan\left(90^{\circ}-3^{\circ}\right)\times\cdots\times\tan45^{\circ}\right)\\
&=&\log\left(\left(\tan1^{\circ}\times\cot1^{\circ}\right)\times\left(\tan2^{\circ}\times\cot2^{\circ}\right)\times\left(\tan3^{\circ}\times\cot3^{\circ}\right)\times\cdots\times\tan45^{\circ}\right)\\
& = & \log\left(1\times1\times1\times\cdots\times1\right)\\
& = & \log1\\
& = & 0
\end{eqnarray*}Ternyata kita mendapatkan hasil $\log \tan 1^{\circ} + \log \tan 2^{\circ} + \log \tan 3^{\circ} + \cdots + \log \tan 89^{\circ}=0$