Merasionalkan Penyebut Bentuk Akar

Bentuk akar merupakan salah satu materi SMA kelas X. Jika suatu bilangan pecahan pembilangnya berbentuk akar maka tidak menjadi masalah. namun yang menjadi masalah adalah ketika penyebutnya adalah bentuk akar. Bagaimanakan merasionalkan penyebut bentuk akar ?

Misalkan pecahan tersebut berbentuk $\dfrac{a}{\sqrt{b}}$ maka  Bentuk $\dfrac{a}{\sqrt{b}}$ dirasionalkan dengan cara mengalikannya dengan $\dfrac{\sqrt{b}}{\sqrt{b}}$. Karena $\sqrt{b}$ selalu positif maka $\dfrac{\sqrt{b}}{\sqrt{b}}=1$. jadi perkalian $\dfrac{a}{\sqrt{b}}$ dengan $\dfrac{\sqrt{b}}{\sqrt{b}}$ tidak akan mengubah nilai $\dfrac{a}{\sqrt{b}}$ namun menyebabkan penyebut menjadi bilangan rasional.

Jika pecahan tersebut berbentuk  $\dfrac{c}{a\pm\sqrt{b}}$ maupun $\dfrac{c}{\sqrt{a}\pm\sqrt{b}}$ dapat  dilakukan  dengan  memperhatikan  sifat  perkalian $\left(a+b\right)\left(a-b\right)=a^2-b^2$ sehingga kita mendapatkan

•  $\left(\sqrt{a}+\sqrt{b}\right)\left(\sqrt{a}-\sqrt{b}\right)=a-b$


•  $\left(a+\sqrt{b}\right)\left(a-\sqrt{b}\right)=a^2-b$

Bentuk $\left(\sqrt{a}+\sqrt{b}\right)$ dan bentuk $\left(\sqrt{a}-\sqrt{b}\right)$ saling sekawan dan bentuk $\left(a+\sqrt{b}\right)$ dan bentuk $\left(a-\sqrt{b}\right)$ juga saling sekawan. Jika perkalian bentuk sekawan tersebut dilakukan maka dapat merasionalkan bentuk akar.

1. $\dfrac{c}{a+\sqrt{b}}\times \dfrac{a-\sqrt{b}}{a-\sqrt{b}}=\dfrac{c\left(a-\sqrt{b}\right)}{a^2-b}$


2. $\dfrac{c}{\sqrt{a}+\sqrt{b}}\times \dfrac{\sqrt{a}-\sqrt{b}}{\sqrt{a}-\sqrt{b}}=\dfrac{c\left(\sqrt{a}-\sqrt{b}\right)}{a-b}$


3. dan seterusnya

Kita langsung saja pada soal.

CONTOH

1. Rasionalkan    penyebut    pecahan-pecahan berikut ini

a. $\dfrac{5}{\sqrt{15}}$


b. $\dfrac{2a}{3\sqrt{a}}$

jawab : 

a. Bentuk tersebut dapat langung di rasionalkan \begin{eqnarray*}\dfrac{5}{\sqrt{15}} & = & \dfrac{5}{\sqrt{15}}\times\frac{\sqrt{15}}{\sqrt{15}}\\& = & \frac{5\sqrt{15}}{15}\\& = & \frac{1}{3}\sqrt{15}\end{eqnarray*}

b. Sama dengan bagian (a)\begin{eqnarray*}\frac{2a}{3\sqrt{a}} & = & \frac{2a}{3\sqrt{a}}\times \frac{\sqrt{a}}{\sqrt{a}}\\& = & \frac{2a\sqrt{a}}{3a}\\& = & \frac{2}{3}\sqrt{a}\end{eqnarray*}

 Bagaimana dengan soal berikut.

2. Sederhanakanlah pecahan berikut

\[\frac{1}{\sqrt{1}+\sqrt{2}}+\frac{1}{\sqrt{2}+\sqrt{3}}+\frac{1}{\sqrt{3}+\sqrt{4}}+\frac{1}{\sqrt{4}+\sqrt{5}}+\cdots+\frac{1}{\sqrt{99}+\sqrt{100}}\]

Jawab:

Permasalahan di atas dapat diselesaikan dengan cara merasionalkan penyebut tiap suku; yaitu,

\begin{eqnarray*}& = & \frac{1}{\sqrt{1}+\sqrt{2}}+\frac{1}{\sqrt{2}+\sqrt{3}}+\frac{1}{\sqrt{3}+\sqrt{4}}+\frac{1}{\sqrt{4}+\sqrt{5}}+\cdots+\frac{1}{\sqrt{99}+\sqrt{100}}\\& = & \frac{1}{\sqrt{1}+\sqrt{2}}\times\left(\frac{\sqrt{1}-\sqrt{2}}{\sqrt{1}-\sqrt{2}}\right)+\frac{1}{\sqrt{2}+\sqrt{3}}\times\left(\frac{\sqrt{2}-\sqrt{3}}{\sqrt{2}-\sqrt{3}}\right)+\frac{1}{\sqrt{3}+\sqrt{4}}\times\left(\frac{\sqrt{3}-\sqrt{4}}{\sqrt{3}-\sqrt{4}}\right)\\& + & \frac{1}{\sqrt{4}+\sqrt{5}}\times\left(\frac{\sqrt{4}-\sqrt{5}}{\sqrt{4}-\sqrt{5}}\right)\cdots+\frac{1}{\sqrt{99}+\sqrt{100}}\times\left(\frac{\sqrt{99}-\sqrt{100}}{\sqrt{99}-\sqrt{100}}\right)\\& = & \frac{\sqrt{1}-\sqrt{2}}{-1}+\frac{\sqrt{2}-\sqrt{3}}{-1}+\frac{\sqrt{3}-\sqrt{4}}{-1}+\frac{\sqrt{4}-\sqrt{5}}{-1}+\cdots+\frac{\sqrt{99}-\sqrt{100}}{-1}\\& = & -\sqrt{1}+\sqrt{2}-\sqrt{2}+\sqrt{3}-\sqrt{3}+\sqrt{4}-\sqrt{4}+\sqrt{5}-\cdots-\sqrt{99}+\sqrt{100}\\& = & -\sqrt{1}+\sqrt{100}\\& = & -1+10\\& = & 9\end{eqnarray*}

Cukup sekian dulu postingannya yah..... lain kali kita tambah postingan yang seru-seru.