Masih Soal Matematika Tentang Pangkat

Ketika saya baca-baca buku matematika kurikulum 2013 kelas VII SMP saya menemukan ada soal yang menggelitik dan tergolong cukup rumit. Menurut saya soal tersebut tergolong dalam kategori soal pemecahan masalah karena contoh soal tersebut tidak diberikan dalam pembahasan. Dalam kategori soal pemecahan masalah memang siswa di tuntut untuk berpikir dalam menyelesaikan masalah dengan bantuan materi yang sudah diberikan sebelumnya.


Dari pada berlama-lama mendingan kita coba saja soalnya. Soalnya begini (soal saya ambil dari buku matematika SMP kelas VII kurikulum 2013  no 9  di hal 124.




Tunjukkan bahwa  $$1^{2001}+2^{2001}+3^{2001}+\cdots+2001^{2001}$$ kelipatan $13$

Sejenak terlihat soal tersebut cukup rumit bagi siswa. Namun penyelesaiannya sebenarnya cukup mudah dan sederhana. Tinggal otak-atik saja. Lets Goo


JAWAB


Ingat dalam materi aljabar dijelaskan bahwa

untuk $n$ bilangan ganjil pilih $a$ dan $b$ sembarang berlaku
\[
a^{n}+b^{n}=\left(a+b\right)\left(a^{n-1}-a^{n-2}b+a^{n-3}b-b^{2}-\cdots-ab^{n-2}+b^{n-1}\right)
\]
Sebelum bentuk diatas kita aplikasikan kedalam soal terlebih dahulu
kita harus menyusun $1^{2001}+2^{2001}+3^{2001}+\cdots+2001^{2001}$
menjadi
\begin{eqnarray*}
& \left(1^{2001}+2001^{2001}\right)+\left(2^{2001}+2000^{2001}\right)+\left(3^{2001}+1999^{2001}\right)\\
& +\cdots+\left(1000^{2001}+1002^{2001}\right)+1001^{2011}
\end{eqnarray*}
Perhatikan bahwa bilangan terakhir dalam deret diatas adalah $1001^{2011}$.
Karena $1001=13\times77$ yang sudah tentu adalah kelipatan $13$.
Nah sekarang tinggal menunjukkan bahwa\begin{eqnarray*}
& \left(1^{2001}+2001^{2001}\right)+\left(2^{2001}+2000^{2001}\right)+\left(3^{2001}+1999^{2001}\right)\\
& +\cdots+\left(1000^{2001}+1002^{2001}\right)
\end{eqnarray*}juga kelipatan $13$. Dengan bentuk diatas

\begin{eqnarray*}
\left(1^{2001}+2001^{2001}\right) & = & \left(1+2001\right)(1^{2000}-2001\cdot1^{1999}\\
& + & 2001\cdot1^{1998}-2001^{2}-\cdots-1\cdot2001^{1999}\\
& + & 2001^{2000})\\
\left(2^{2001}+2000^{2001}\right) & = & \left(2+2000\right)(2^{2000}-2000\cdot2^{1999}\\
& + & 2000\cdot2^{1998}-2000^{2}-\cdots-2\cdot2000^{1999}\\
& + & 2000^{2000})\\
\left(3^{2001}+1999^{2001}\right) & = & \left(3+1999\right)(3^{2000}-1999\cdot3^{1999}\\
& + & 1999\cdot3^{1998}-1999^{2}-\cdots-3\cdot1999^{1999}\\
& + & 1999^{2000})\\
\vdots & \vdots & \vdots\\
\vdots & \vdots & \vdots\\
\left(1000^{2001}+1002^{2001}\right) & = & \left(1000+1002\right)(1000^{2000}-1002\cdot1000^{1999}\\
& + & 1002\cdot1000^{1998}-\cdots-1000\cdot1002^{1999}\\
& + & 1002{}^{2000})\end{eqnarray*}

Dari uraian panjang terlihat bahwa sisi kanan faktorisasi diatas adalah $\left(1+2001\right)$, $\left(2+2000\right),\cdots, \left(1000+1002\right)$ yang semua memberikan hasil $2002$. Karena $2002=13\times154$ maka sudah terbukti bahwa bentuk diatas adalah kelipatan $13$. $\blacksquare$

Selesai juga akhirnya. Kira-kira siswa-siswa SMP di Desa Bisa ndak yah.. hehehe