Logaritma SMA

Logaritma merupakan lawan (kebalikan) dari pangkat. Kita tentu sudah pernah belajar tentang pangkat dan akar. Sebagai contoh, kita mengetahui bahwa $2^2=4$. Dimana kita mencari pangkat dari suatu hasil bilangan jika diketahui bilangan basisnya.

Secara garis besarnya, jika suatu operasi pemangkatan $a^b=c$, maka untuk rumus logaritmanya dapat kita tulis sebagai $^a\log c=b$, sehingga dengan menggunakan logaritma, kita dapat mencari pangkat dari suatu bilangan.

Ada beberapa sifat operasi dasar yang perlu di hapal yaitu

  1. $^x\log x=1$

  2. ${\displaystyle ^{x^{n}}\log x^{m}=\frac{m}{n}}$

  3. $^b\log x +^b\log y= ^b\log (x\cdot y)$

  4. $^b\log x -^b\log y= ^b\log \left( \frac{x}{y}\right)$

  5. $^a\log b \cdot ^b\log c= ^a\log c$

  6. $^b\log x^n=n\cdot ^b\log x$

  7. $^b\log x = \dfrac{^k\log x}{^k\log b}$

Logaritma sering digunakan untuk pemecahan persamaan yang pangkatnya tidak diketahui. Turunanya mudah dicari dan karena itu logaritma sering digunakan sebagai solusi dari integral.

CONTOH SOAL
1. Hitunglah hasil dari $^2\log 3 \cdot ^3\log 2=....$

Jawab:
Telah kita ketahui bahwa  $^a\log b \cdot ^b\log c=^a\log c$ sehingga $^2\log 3 \cdot ^3\log 2=^2\log 2 = 1$

2. Hitunglah hasil dari $^3\log 4\cdot ^2\log 9$

Jawab:
Perhatikan bahwa $^b\log x^n = n\cdot ^b\log x$. Sehingga
\begin{eqnarray*}
^{3}\log4\cdot^{2}\log9 & = & ^{3}\log2^{2}\cdot^{2}\log3^{2}\\
& = & 2\cdot^{3}\log2\cdot2\cdot^{2}\log3\\
& = & 4\cdot^{3}\log3\\
& = & 4\cdot1\\
& = & 4
\end{eqnarray*}Dua contoh soal diatas sepertinya tidak ada masalah yang berarti. Nah sekarang coba soal berikut.

3. Jika $\log x+\log x^2+\log x^3+\cdots+\log x^{20}=210$ maka $x$ yang memenuhi adalah ....

Jawab:
\begin{eqnarray*}\log x+\log x^{2}+\log x^{3}+\cdots+\log x^{20} & = & 210\\\log x+2\cdot\log x+3\cdot\log x+\cdots+20\cdot\log x & = & 210\\\left(1+2+3+\cdots+20\right)\left(\log x\right) & = & 210\\210\left(\log x\right) & = & 210\\\log x & = & \frac{210}{210}\\\log x & = & 1\\x & = & 10^{1}\\x & = & 10\end{eqnarray*}Nilai $x$ yang memenuhi adalah $x=10$

Bagaimana, Cukup mudah bukan. Cukup sekian materi kali ini. Lain kali kita sambung lagi dengan contoh-contoh soal yang lumayan. hehehe