Integral Bentuk $\int\sqrt{\frac{a+x}{a-x}}dx$
Pada postingan yang dulu, saya pernah membahas tentang integral tak wajar bentuk $ \displaystyle \int_{-1}^1\sqrt{\frac{1+x}{1-x}}dx$ namun pada kesempatan kali ini saya akan mencoba melakukan posting tentang pengintegralan tapi tidak memakai batas pengintegralan.
Saya coba dengan bentuk umum $ \int \displaystyle \sqrt{\frac{a+x}{a-x}}dx$. Ternyata dengan memanfaatkan substitusi trigonometri kita dapat menjawab soal tersebut dengan mudah. Tentunya dengan sedikit manipulasi dan trik aljabar.
\begin{eqnarray*} \int\sqrt{\frac{a+x}{a-x}}dx & = & \int\sqrt{\frac{a+x}{a-x}}\times\frac{\sqrt{a-x}}{\sqrt{a-x}}dx\\ & = & \int\frac{\left(\sqrt{a+x}\right)\left(\sqrt{a-x}\right)}{a-x}dx\\ & = & \int\frac{\sqrt{\left(a+x\right)\left(a-x\right)}}{a-x}dx\\ & = & \int\frac{\sqrt{a^{2}-x^{2}}}{a-x}dx \end{eqnarray*} Kita lakukan pemisalan
$x=a\sin\theta$
$dx=a\cos\theta d\theta$
$\sin\theta=\dfrac{x}{a}$
$\theta=\arcsin\dfrac{x}{a}$
Substitusikan kedalam integral diatas.
Catatan :
nilai $\cos\left(\arcsin\left(\frac{x}{a}\right)\right)$ dapat dicari dengan menggunakan bantuan segitiga siku-siku. Jika masih bingung bisa ditanyakan saja di kolom komentar. Terima kasih
gan coba posting kalo pake batas tq
BalasHapusKlw menggunakan batas tinggal masukkan batasnya ke hasil integral tersebut $${\displaystyle \int\sqrt{\frac{a+x}{a-x}}dx=arc\sin\dfrac{x}{a}-\sqrt{a^{2}-x^{2}}+C}$$
BalasHapussilahkan ganti $x$ dengan batas yang ditanyakan...
terima kasih