Integral Bentuk $\int\sqrt{\frac{a+x}{a-x}}dx$

Pada postingan yang dulu, saya pernah membahas tentang integral tak wajar bentuk $ \displaystyle \int_{-1}^1\sqrt{\frac{1+x}{1-x}}dx$ namun pada kesempatan kali ini saya akan mencoba melakukan posting tentang pengintegralan tapi tidak memakai batas pengintegralan.

Saya coba dengan bentuk umum  $ \int \displaystyle \sqrt{\frac{a+x}{a-x}}dx$. Ternyata dengan memanfaatkan substitusi trigonometri kita dapat menjawab soal tersebut dengan mudah. Tentunya dengan sedikit manipulasi dan trik aljabar.
\begin{eqnarray*} \int\sqrt{\frac{a+x}{a-x}}dx & = & \int\sqrt{\frac{a+x}{a-x}}\times\frac{\sqrt{a-x}}{\sqrt{a-x}}dx\\ & = & \int\frac{\left(\sqrt{a+x}\right)\left(\sqrt{a-x}\right)}{a-x}dx\\ & = & \int\frac{\sqrt{\left(a+x\right)\left(a-x\right)}}{a-x}dx\\ & = & \int\frac{\sqrt{a^{2}-x^{2}}}{a-x}dx \end{eqnarray*} Kita lakukan pemisalan

$x=a\sin\theta$
$dx=a\cos\theta d\theta$
$\sin\theta=\dfrac{x}{a}$
$\theta=\arcsin\dfrac{x}{a}$

Substitusikan kedalam integral diatas.

\begin{eqnarray*}
\int\frac{\sqrt{a^{2}-x^{2}}}{a-x}dx & = & \int\frac{\sqrt{a^{2}-a^{2}\sin^{2}\theta}}{a-a\sin\theta}\cdot a\cos\theta d\theta\\
& = & \int\frac{\sqrt{a^{2}\left(1-\sin^{2}\theta\right)}}{a\left(1-\sin\theta\right)}\cdot a\cos\theta d\theta\\
& = & \int\frac{\sqrt{a^{2}\left(\cos^{2}\theta\right)}}{a\left(1-\sin\theta\right)}\cdot a\cos\theta d\theta\\
& = & \int\frac{\not{a}\cos\theta}{\not{a}\left(1-\sin\theta\right)}\cdot a\cos\theta d\theta\\
& = & \int\frac{\cos\theta}{1-\sin\theta}\cdot a\cos\theta d\theta\\
& = & \int\frac{a\cos^{2}\theta}{1-\sin\theta}d\theta\\
& = & \int\frac{a\left(1-\sin^{2}\theta\right)}{1-\sin\theta}d\theta\\
& = & \int\frac{a\left(\not{1-\sin\theta}\right)\left(1+\sin\theta\right)}{\not{1-\sin\theta}}d\theta\\
& = & \int a\left(1+\sin\theta\right)d\theta\\
& = & \int\left(a+a\sin\theta\right)d\theta\\
& = & a\theta-a\cos\theta+C\\
& = & a\arcsin\dfrac{x}{a}-a\cos\left(\arcsin\dfrac{x}{a}\right)+C\\
& = & a\arcsin\dfrac{x}{a}-\not{a}\cdot\frac{\sqrt{a^{2}-x^{2}}}{\not{a}}+C\\
& = & a\arcsin\dfrac{x}{a}-\sqrt{a^{2}-x^{2}}+C
\end{eqnarray*}
Disimpulkan bahwa ${\displaystyle \int\sqrt{\frac{a+x}{a-x}}dx=a\arcsin\dfrac{x}{a}-\sqrt{a^{2}-x^{2}}+C}$

Catatan :

nilai $\cos\left(\arcsin\left(\frac{x}{a}\right)\right)$ dapat dicari dengan menggunakan bantuan segitiga siku-siku. Jika masih bingung bisa ditanyakan saja di kolom komentar. Terima kasih