Soal-Soal SNMPTN 2012 (Sebagian)

Diberikan persamaan $$\cos(x)=\frac{a-1,5}{2-0,5a}$$ banyak bilangan bulat $a$ sehingga persamaan tersebut mempunyai selesaian adalah $\ldots$

Pembahasan : 
Persamaan mempunyai penyelesaian jika $|\cos(x)| \leq 1$. Sehingga
\begin{eqnarray*}|\cos(x)| \leq 1\\-1\leq \cos(x)\leq 1\\-1\leq \frac{a-1,5}{2-0,5a}\leq 1\end{eqnarray*}
Untuk $\dfrac{a-1,5}{2-0,5a}\leq 1$\begin{eqnarray*}\frac{a-1,5}{2-0,5a}&\leq& 1\\
a-1,5 &\leq & 2-0,5a\\a-1,5-2+0,5a&\leq & 0\\1,5a-3,5 &\leq & 0\\1,5a &\leq & 3,5\\a &\leq & \frac{3,5}{1,5}\end{eqnarray*}
Untuk $ -1 \leq \dfrac{a-1,5}{2-0,5a}$
\begin{eqnarray*}-1 \leq \frac{a-1,5}{2-0,5a}\\-2+0,5a &\leq & a-1,5\\-0,5&\leq & 0,5a\\-1&\leq & a\end{eqnarray*}
Sehingga kita dapatkan $$-1\leq a \leq  \frac{3,5}{1,5}$$
Karena $a$ bilangan bulat, maka yang memenuhi adalah $(-1,0,1,2)$. Nilai $a$ yang memenuhi ada 4.

${\displaystyle \lim_{x\to0}\frac{1-\cos^{2}x}{x^{2}\tan\left(x+{\displaystyle \frac{\pi}{3}}\right)}=\ldots}$ 

Pembahasan:

\begin{eqnarray*}\lim_{x\to0}\frac{1-\cos^{2}x}{x^{2}\tan\left(x+{\displaystyle \frac{\pi}{3}}\right)} & = & \lim_{x\to0}\frac{\sin^{2}x}{x^{2}}\cdot\lim_{x\to0}\frac{1}{\tan\left(x+{\displaystyle \frac{\pi}{3}}\right)}\\& = & 1^{2}\cdot\frac{1}{\tan\left(0+{\displaystyle \frac{\pi}{3}}\right)}\\& = & \frac{1}{\tan\left({\displaystyle \frac{\pi}{3}}\right)}\\& = & \frac{1}{\sqrt{3}}\\& = & \frac{\sqrt{3}}{3}\end{eqnarray*}

Di dalam kotak terdapat 1 bola biru, 6 bola merah dan 2 bola putih. Jika diambil 7 bola tanpa pengembalian, maka peluang banyak bola merah yang terambil dua kali banyak bola putih yang terambil adalah $\ldots$

Pembahasan:

Kemungkinan yang akan kita cari adalah terambilnya 4 bola merah, 2 bola putih dan 1 bola biru
\begin{eqnarray*}P\left(4M\cap2P\cap1B\right) & = & \frac{_{6}C_{4}\times_{2}C_{2}\times_{1}C_{1}}{_{9}C_{7}}\\& = & \frac{\frac{6!}{2!4!}\times\frac{2!}{0!2!}\times\frac{1!}{0!1!}}{\frac{9!}{2!7!}}\\& = & \frac{\frac{6\cdot5\cdot4!}{2!4!}\times1\times1}{\frac{9\cdot8\cdot7!}{2!7!}}\\
& = & \frac{15}{36}\\& = & \frac{5}{12}\end{eqnarray*}

Lingkaran $\left(x-4\right)^{2}+\left(y-2\right)^{2}=64$ menyinggung garis $x=-4$ di titik$\cdots$

Pembahasan :
\begin{eqnarray*}
\left(x-4\right)^{2}+\left(y-2\right)^{2} & = & 64\\\left(\left(-4\right)-4\right)^{2}+\left(y-2\right)^{2} & = & 64\\\left(-8\right)^{2}+\left(y-2\right)^{2} & = & 64\\64+y^{2}-4y+4 & = & 64\\
y^{2}-4y+4 & = & 0\\\left(y-2\right)^{2} & = & 0\\y & = & 2\end{eqnarray*}Sehingga titik yang dimaksud adalah $(-4,2)$

Jika suku banyak $2x^{3}-x^{2}+6x-1$ dibagi $2x-1$ maka sisanya adalah ....

Pembahasan :
Dengan memanfaatkan teorema sisa kita dapatkan
\begin{eqnarray*}f\left(x\right) & = & 2x^{3}-x^{2}+6x-1\\f\left(\frac{1}{2}\right) & = & 2\left(\frac{1}{2}\right)^{3}-\left(\frac{1}{2}\right)^{2}+6\left(\frac{1}{2}\right)-1\\& = & 2\left(\frac{1}{8}\right)-\left(\frac{1}{4}\right)+3-1\\& = & \frac{1}{4}-\frac{1}{4}+2\\& = & 2\end{eqnarray*}