Pembahasan Kalkulus (Integral)

Pada postingan sebelumnya sebelumnya saya telah memposting soal-soal kalkulus yang kelihatannya cukup rumit. Namun pada kesempatan ini saya akan coba untuk mengerjakan soal-soal yang sudah saya posting sebelumnya. Soalnya cukup rumit, namun ada beberapa soal yang saya masih bingung cara menyelesaikannya. Oleh karena itu, kritikan dan saran sangat diharapkan. Mengenai kebenaran pembahasan kalkulus ini, penulis tidak dapat menjamin sepenuhnya karena tidak terlepas dari kodrat manusia biasa. Oleh karena itu, kritik dan saran sangat kami harapkan demi kesempurnaan pembahasan ini.

Petunjuk Pengerjaan Soal : Kerjakan Soal Berikut dengan uraian yang lengkap jelas dan rapi.

1.  ${\displaystyle \int\frac{x^{2}}{x^{2}+1}dx}$

Penyelesaian : 

Bentuk ${\displaystyle \int\frac{x^{2}}{x^{2}+1}dx}$ dapat kita tulis menjadi

\begin{eqnarray*}
{\displaystyle \int\frac{x^{2}}{x^{2}+1}dx} & = & {\displaystyle \int\frac{x^{2}+1-1}{x^{2}+1}dx}\\
& = & \int\frac{x^{2}+1}{x^{2}+1}dx-\int\frac{1}{x^{2}+1}dx\\
& = & \int dx-\int\frac{1}{x^{2}+1}dx\\
& = & x-\tan^{-1}x+C
\end{eqnarray*}Sehingga ${\displaystyle \int\frac{x^{2}}{x^{2}+1}dx}=x-\tan^{-1}x+C$

2.   ${\displaystyle \int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\frac{\sin\left(x\right)}{16+\cos^{2}\left(x\right)}}dx$

Penyelesaian :

Untuk lebih memudahkan pengerjaan integral diatas terlebih dahulu kita selesaikan integral tak tentu terlebih dahulu.

\[
{\displaystyle \int\frac{\sin\left(x\right)}{16+\cos^{2}\left(x\right)}}dx
\]

Misalkan $u=\cos\left(x\right)$ maka $du=-\sin\left(x\right)dx$
atau $-du=\sin\left(x\right)dx$ sehingga bentuk integral diatas menjadi
\[
-\int\frac{1}{16+u^{2}}du
\] Misalkan

$u=4\tan\left(t\right)$
$du=4\sec^{2}\left(t\right)dt$

$u^{2}=16\tan^{2}\left(t\right)$

$t=\tan^{-1}\left(\frac{u}{4}\right)$

Substitusikan kedalam integral diatas menjadi

\begin{eqnarray*}
-\int\frac{4\sec^{2}\left(t\right)}{16+16\tan^{2}\left(t\right)}dt & = & -\int\frac{4\sec^{2}\left(t\right)}{16\left(1+\tan^{2}\left(t\right)\right)}dt\\
& = & -\frac{4}{16}\int\frac{\sec^{2}\left(t\right)}{1+\tan^{2}\left(t\right)}dt\\
& = & -\frac{1}{4}\int\frac{\sec^{2}\left(t\right)}{\sec^{2}\left(t\right)}dt\\
& = & -\frac{1}{4}\int dt\\
& = & -\frac{1}{4}t\\
& = & -\frac{1}{4}\left(\tan^{-1}\left(\frac{u}{4}\right)\right)\\
& = & -\frac{1}{4}\left(\tan^{-1}\left(\frac{\cos\left(x\right)}{4}\right)\right)
\end{eqnarray*}

Karena ${\displaystyle {\displaystyle \int\frac{\sin\left(x\right)}{16+\cos^{2}\left(x\right)}}dx=-\frac{1}{4}\left(\tan^{-1}\left(\frac{\cos\left(x\right)}{4}\right)\right)}$
maka dengan menggunakan batas-batas yang diberikan kita dapatkan

\begin{eqnarray*}
& = &{\displaystyle \int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\frac{\sin\left(x\right)}{16+\cos^{2}\left(x\right)}}dx\\
& = & -\frac{1}{4}\left(\tan^{-1}\left(\frac{\cos\left(x\right)}{4}\right)\right)\bigg|_{0}^{\frac{\pi}{2}}\\
& = & \left(-\frac{1}{4}\left(\tan^{-1}\left(\frac{\cos\left(\frac{\pi}{2}\right)}{4}\right)\right)\right)-\left(-\frac{1}{4}\left(\tan^{-1}\left(\frac{\cos\left(0\right)}{4}\right)\right)\right)\\
& = & \left(-\frac{1}{4}\left(\tan^{-1}\left(0\right)\right)\right)-\left(-\frac{1}{4}\left(\tan^{-1}\left(\frac{1}{4}\right)\right)\right)\\
& = & \frac{1}{4}\left(\tan^{-1}\left(\frac{1}{4}\right)\right)
\end{eqnarray*}
Sehingga dapat disimpulkan bahwa ${\displaystyle {\displaystyle \int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\frac{\sin\left(x\right)}{16+\cos^{2}\left(x\right)}}dx=\frac{1}{4}\left(\tan^{-1}\left(\frac{1}{4}\right)\right)}$

Soal lainnya dibahas pada postingan selanjutnya....