Uji Keterbagian

3:04:00 PM
Berdasarkan Teorema Fundamental Aritmatika kita selalu dapat menyajikan sebarang bilangan bulat dalam bentuk perkalian bilangan prima berpangkat. Permasalahannya adalah bagaimana cara efektif untuk menemukan semua faktor tersebut. Metoda coba-coba sangat tidak efektif terutama bilangannya besar. Untuk itu diperlukan cara untuk mendeteksi awal suatu bilangan bulat dapat terbagi oleh bilangan bulat lainnya.

Suatu bilangan bulat $n$ dalam bentuk desimal dan dalam basis 10 ditulis sebagai berikut
$$n=a_ka_{k-1}\cdots a_1a_0 \Leftrightarrow n=a_k10^k+a_{k-1}10^{k-1}+\cdots+a_110+a_0$$
Sebagai contoh $n = 3457$ berarti $ k = 3$ dan $n = 3\cdot 10^3 + 4\cdot 10^2 + 5 \cdot 10^1 + 7$.

Berikut beberapa proposisi untuk uji keterbagian.

Bilangan bulat $n$ habis terbagi $2$ jika dan hanya jika $a_0$ genap.

Bilangan bulat $n$ habis dibagi $3$ jika dan hanya jika jumlah angka-angka pembangunnya habis dibagi 3.

Bilangan 372 habis dibagi 3 sebab $3 + 7 + 2 = 12$ habis dibagi 3, tetapi bilangan 4561 tidak dapat dibagi 3 sebab $4+5+6+1 = 16$ tidak terbagi oleh 3

Bilangan bulat $n$ habis dibagi 4 jika dan hanya jika bilangan yang dibentuk oleh dua digit terakhirnya habis dibagi 4.

Bilangan 4567 tidak habis dibagi 4 sebab 67 tidak habis dibagi 4, sedangkan 34216 habis dibagi 4 sebab 16 habis dibagi 4.

Bilangan bulat $n$ habis dibagi 5 jika dan hanya jika angka terakhirnya 0 atau 5

Bilangan bulat $n$ habis dibagi 6 jika dan hanya jika jumlah angka-angka pembangunnya habis dibagi 3 dan angka terakhirnya $a_0$ genap.

Bilangan 6531 dan 47502 kedua habis dibagi 3 sebab jumlah angka-angkanya habis dibagi 3. Selanjutnya, 47502 habis dibagi 6 tetapi 6531 tidak habis dibagi 6.

Syarat cukup $n$ habis dibagi 7 adalah $M$ habis dibagi 7, dimana $M$ bilangan lebih kecil yang diperoleh dengan cara membuang angka terkahir $N$ kemudian menguranginya dengan 2 kali angka terakhir tersebut.

$n$ habis dibagi 8 jika dan hanya jika bilangan yang dibentuk oleh tiga digit terakhirnya habis dibagi 8.

Bilangan bulat $n$ habis dibagi 9 jika dan hanya jika jumlah angka-angka pembangunnya habis dibagi 9.

Bilangan bulat $n$ habis dibagi 10 jika dan hanya jika angka terakhirnya 0

$n$ habis dibagi 11 bila hanya bila selisih antara jumlah angka pada urutan genap dan urutan ganjil habis dibagi 11.

Contoh.
Bilangan $23a23b$ habis dibagi 8 dan 9. Carilah bilangan yang dimaksud dan Tentukan nilai dari $a+b$

Jawab:

Sebelum kita mengerjakan soal diatas, terlebih dahulu kita mengingat kembali uji habis dibagi 8 dan uji habis dibagi 9

$n$ habis dibagi 8 jika dan hanya jika bilangan yang dibentuk oleh tiga digit terakhirnya habis dibagi 8

Bilangan bulat $n$ habis dibagi 9 jika dan hanya jika jumlah angka-angka pembangunnya habis dibagi 9.

$23a23b$ habis dibagi 8 jika $23b$ habis dibagi 8. Sehingga nilai $b$ yang memenuhi adalah 2 karena $232$ habis dibagi 8.

Selanjutnya karena $b=2$ maka $23a23b$ menjadi $23a232$. Perhatikan bahwa pada uji habis di bagi 9 dikatakan bahwa bilangan habis dibagi 9 jika dan hanya jika angka pembangunnya habis dibagi 9.$2+3+a+2+3+2$ harus habis di bagi 9, $12+a$ sehingga satu-satunya nilai $a=6$ sehingga nilai $a$ yang memenuhi adalah 6.

Bilangan yang dimaksud adalah $236232$ dan nilai $a+b=6+2=8$

Artikel Terkait

Next Article
« Prev Post
Previous Article
Next Post »