Kesamaan Suku Banyak

2:21:00 PM
Pada kesempatan kali ini, kita akan membahas tentang kesamaan suku banyak yang sangat penting aplikasinya dalam menyelesaikan permasalahan yang menyangkut suku banyak. Kesamaan suku banyak juga akan banyak di aplikasikan dalam materi kalkulus. Oleh karena itu, diharapkan kepada seluruh siswa dapat memahami materi ini dan mengaplikasikannya dalam pemecahan masalah.

Suku banyak $f\left(x\right)$ dikatakan memiliki kesamaan dengan suku banyak $g\left(x\right)$, jika kedua suku banyak tersebut memiliki nilai yang sama untuk semua variabel $x$ bilangan real. Kesamaan dua suku banyak $f\left(x\right)$ dan $g\left(x\right)$ itu dapat kita tulis sebagai
\[
f\left(x\right)\equiv g\left(x\right)
\]
Misalkan diketahui dua buah suku banyak $f\left(x\right)$ dan $g\left(x\right)$ yang dinyatakan dalam bentuk

\[
f\left(x\right)=a_{n}x^{n}+a_{n-1}x^{n-1}+a_{n-2}x^{n-2}+\cdots+a_{2}x^{2}+a_{1}x+a_{0}
\]
dan
\[
g\left(x\right)=b_{n}x^{n}+b_{n-1}x^{n-1}+b_{n-2}x^{n-2}+\cdots+b_{2}x^{2}+b_{1}x+b_{0}
\]
Jika $f\left(x\right)$ mempunyai kesamaan dengan $g\left(x\right)$, ditulis $f\left(x\right)\equiv g\left(x\right)$ maka berlaku hubungan

\[
a_{n}=b_{n},a_{n-1}=b_{n-1},\cdots,a_{2}=b_{2}\,\,\,\text{dan}\,\,\, a_{0}=b_{0}
\]
Dalam aplikasinya, sifak kesamaan dua buah suku banyak diatas digunakan untuk mencari nilai-nilai dalam suatu bentuk aljabar yang belum diketahui. Cara perhitungan tersebut disebut sebagai metode koefisien tak tentu. Untuk lebih jelasnya silahkan simak contoh berikut.

CONTOH
Tentukan nilai $a$ pada kesaman $x^{2}-3x+14\equiv\left(x-1\right)\left(x-2\right)+3a$

Jawab

Kita jabarkan persamaan pada ruas kanan menjadi
\begin{eqnarray*}
x^{2}-3x+14 & \equiv & x^{2}-3x+2+3a\\
x^{2}-3x+14 & \equiv & x^{2}-3x+\left(2+3a\right)
\end{eqnarray*}
Dengan menggunakan sifat pada kesamaan suku banyak kita dapatkan
\begin{eqnarray*}
2+3a & = & 14\\
a & = & 4
\end{eqnarray*}
Jadi nilai $a$ yang dimaksud adalah $a=4$ $\blacksquare$

CONTOH 2
Tentukan nilai $k,l$ dan $m$ yang memenuhi kesamaan
\[
\frac{k}{2-x}+\frac{l}{2+x}+\frac{m}{x}=\frac{5x^{2}+6x+8}{4x-x^{3}}
\]
JAWAB:
Dengan menggunakan trik aljabar didapatkan
\begin{eqnarray*}
\frac{k\left(2+x\right)x}{\left(2-x\right)\left(2+x\right)x}+\frac{l\left(2-x\right)x}{\left(2-x\right)\left(2+x\right)x}+\frac{m\left(2+x\right)\left(2-x\right)}{\left(2-x\right)\left(2+x\right)x} & = & \frac{5x^{2}+6x+8}{4x-x^{3}}\\
\frac{k\left(2+x\right)x+l\left(2-x\right)x+m\left(2+x\right)\left(2-x\right)}{\left(2-x\right)\left(2+x\right)x} & = & \frac{5x^{2}+6x+8}{4x-x^{3}}\\
k\left(2+x\right)x+l\left(2-x\right)x+m\left(2+x\right)\left(2-x\right) & = & 5x^{2}+6x+8\\
k\left(2x+x^{2}\right)+l\left(2x-x^{2}\right)+m\left(4-x^{2}\right) & = & 5x^{2}+6x+8\\
\left(k-l-m\right)x^{2}+2\left(k+l\right)x+4m & = & 5x^{2}+6x+8
\end{eqnarray*}
Sehingga kita dapatkan
\begin{eqnarray*}
k-l-m & = & 5\\
2\left(k+l\right) & = & 6\\
4m & = & 8
\end{eqnarray*}
Dengan manipulasi aljabar maka kita dapatkan $m=2$, $l=-2$ dan $k=5$

Jika anda sudah paham dengan materi diatas, silahkan kerjakan soal-soal latihan berikut ini

SOAL LATIHAN


  • Hitunglah nilai $p$ dan $q$ pada setiap kesamaan berikut

  1.  ${\displaystyle \frac{p}{x-2}+\frac{q}{x+2}\equiv\frac{4x}{x^{2}-4}}$

  2.  ${\displaystyle \frac{3x+4}{x^{2}-x-2}\equiv\frac{p}{x-2}+\frac{q}{x+1}}$

  • Tentukan nilai $a,b$ dan $c$ pada kesamaan berikut

\[
\frac{6x^{2}-7x-1}{x^{3}-2x^{2}-x+2}\equiv\frac{a}{x-2}+\frac{b}{x-1}+\frac{c}{x+1}
\]

Artikel Terkait

Next Article
« Prev Post
Previous Article
Next Post »