Pembuktian Fungsi Gamma

Masih Lanjutan postingan sebelumnya yah mengenai fungsi gamma yang sangat asyik untuk dibahas,,, Postingan sekarang udah mulai masuk kedalam yah yaitu tentang pembuktian fungsi Gamma.... berikut soal-soalnya :

Soal

Dengan menggunakan integral parsial, Buktikan bahwa $ \Gamma (n+1)=n \Gamma(n)$

Jawaban :

$ {\displaystyle \Gamma(n+1)=\intop_{0}^{\infty}e^{-x}x^{n}dx}$

$ {\displaystyle \intop_{0}^{\infty} e^{-x}x^{n} dx=\left[-e^{-x}x^{n}\right]_{0}^{\infty}+n\int_{0}^{\infty}e^{-x}x^{n-1}dx}$

$ {\displaystyle \intop_{0}^{\infty}e^{-x}x^{n}dx=0+n\int_{0}^{\infty}e^{-x}x^{n-1}dx}$

$ {\displaystyle \intop_{0}^{\infty}e^{-x}x^{n}dx=n\int_{0}^{\infty}e^{-x}x^{n-1}dx}$

$ {\displaystyle \Gamma(n+1)=n\Gamma(n)}$ ................. (Terbukti kan)

yang memberikan sifat rekusif dari fungsi gamma.

Oyah. dengan menggunakan fungsi Gamma, kita juga dapat mencari nilai $0!$. $0!$ jika kita cari dengan menggunakan fungsi Gamma akan mendapatkan hasil $1$. Tidak percaya ??? silahkan buktikan sendiri.... hohohohoho.. :)