Integral bentuk $\int_0^{\infty}\frac{\sin^2(x)}{x^2}$

Coba nulis ulang neh, dah lama ga sempat nulis lagi di blog. Vakum neh kayaknya. Gimana mau naek Pagerank. Hehehehe :) Sekarang aku nyoba nulis integral tak wajar dari fungsi sinus. Begini neh soalnya :

Jika diketahui nilai dari ${\displaystyle \int_{0}^{\infty} \frac{\sin(x)}{x} dx =\frac{1}{2} \pi}$, maka carilah nilai dari integral $ {\displaystyle \int_{0}^{\infty} \frac{\sin^{2}(x)}{x^2} dx}$ !

Neh aku nyoba jawab. Jawabannya Versi saya bgini neh : Kita tulis Fungsinya menjadi lebih umum yaitu :

${\displaystyle F(a)=\int_{0}^{\infty} \frac{\sin^2(ax)}{x^2} dx}$ dengan $a\geq 0$. Kemudian kita turunkan fungsinya terhadap a sehingga menjadi:

${\displaystyle F'(a)=\int_{0}^{\infty} \frac{2 \sin(ax) \cos(ax) x}{x^2} dx}$
${\displaystyle F'(a)=\int_{0}^{\infty} \frac{\sin(2ax)}{x}dx}$

kemudian kita misalkan :

$y=2ax$
${\displaystyle dy=2adx}$
${\displaystyle dx=\frac{dy}{2a}}$

kita integralkan fungsi diatas, maka kita dapatkan ${\displaystyle x=\frac{y}{2a}}$. Sekarang mari kita lanjutkan memanipulasi fungsinya.

${\displaystyle F'(a)=\int_{0}^{\infty} \frac{\sin(y)}{\frac{y}{2a}} \frac{dy}{2a}}$

Sehingga kita dapatkan ${\displaystyle F'(a)=\int_{0}^{\infty} \frac{\sin(y)}{y} dy}$. Karena $ {\displaystyle F'(a)=\int_{0}^{\infty}\frac{\sin(y)}{y}dy=\frac{\pi}{2}}$ maka $ {\displaystyle \int F'(a)=\int\frac{\pi}{2}da}$. maka diperoleh:

$ {\displaystyle F(a)=\frac{\pi}{2}a+C}$

Untuk $ a=0$ maka $F(0)=C$ didapatkan $C=0$. Sehingga $ {\displaystyle F(a)=\frac{\pi}{2}a}$

Sekarang untuk $a\geq 0$ katakanlah $ a=1$ maka kita dapatkan ${\displaystyle F(a)=\frac{\pi}{2}}$.

Jadi, dapat kita simpulkan bahwa nilai dari ${\displaystyle \int_{0}^{\infty} \frac{\sin^{2}(x)}{x^2} dx=\frac{\pi}{2}}$.

Kita juga dapat mengganti nilai $a$ sesuai dengan keinginan kita. Misalkan kita mengganti nilai $a=2$, maka kita akan mendapatkan hasil $F(a)=\pi$. Tidak percaya ? silahkan anda buktikan pake maple. hehehehehe

Sekian dulu postingannya yah. Jika ada pertanyaan, silahkan kirim komentar dibawah.....