$\int \sec^3 x dx = \cdots $

$$ \int \sec^3 x dx = \cdots $$
$ \int \sec^{3}x\, dx\,=\int \sec^{2}x\, \sec\, x\, dx$

dengan menggunakan pengintegralan parsial di dapatkan :

$ u=\sec\, x$

$ du=\sec\, x\, \tan\, x\, dx$

$ dv=\sec^{2}x\, dx$

$ v=\tan\, x$

$ \int \sec^{3}x\, dx=\sec\, x\, \tan\, x-\int \tan\, x\,(\sec\, x\, \tan\, x)dx$

$ \int \sec^{3}x\, dx=\sec\, x\, \tan\, x-\int \tan^{2}x\, \sec\, x\, dx$

$ \int \sec^{3}x\, dx=\sec\, x\, \tan\, x-\int \tan^{2}x\, \sec\, x\, dx$

kita tahu bahwa $ \tan^{2}x=\sec^{2}x-1$

$ \int \sec^{3}x\, dx=\sec\, x\, \tan\, x-\int(\sec^{2}x-1)\sec\, x\, dx$

$ \int \sec^{3}x\, dx=\sec\, x\, \tan\, x-\int(\sec^{3}x-\sec\, x)\, dx$

$ \int \sec^{3}x\, dx=\sec\, x\, \tan\, x\,+\int \sec\, x\, dx\,-\int \sec^{3}x)\, dx$

karena $ \int \sec^{3}x\, dx$ muncul di sebelah kanan. maka kita bisa manipulasi menjadi :

$ \int \sec^{3}x\, dx+\int \sec^{2}x\, dx=\sec\, x\, \tan\, x\,+\int \sec\, x\, dx\,$

$ 2\int \sec^{2}x\, dx=\sec\, x\, \tan\, x\,+ln|\sec\, x+\tan\, x|\,$

sehingga diperoleh hasil integralnya adalah :

$ \int \sec^{2}x\, dx\,=\,\frac{1}{2}\left(\sec\, x\, \tan\, x\,+ln|\sec\, x+\tan\, x|\right)+C$