Teorema-Teorema Limit

Limit konstanta $k$ untuk $x$ mendekati $a$ ada dan nilainya sama dengan $k$, ditulis ${\displaystyle \lim_{x\rightarrow k} k=k}$. Secara grafik, hal tersebut dapat kita lihat pada gambar berikut:

Pandang fungsi $f(x) = k$ maka limit ${\displaystyle \lim_{x\rightarrow a} f(x)=\lim_{x\rightarrow a} k=k}$. Limit $x$ untuk $x$ mendekati $a$ pun dan nilainya sama dengan $a$ ditulis ${\displaystyle \lim_{x\rightarrow a} x=a}$. Untuk mengetahui adanya limit secara mudah, kita dapat menggunakan teorema berikut.

1. ${\displaystyle \lim_{x\rightarrow a} k=k}$


2. ${\displaystyle \lim_{x\rightarrow a} f(x)=f(a), \forall a \in \mathbb{R}}$


3. ${\displaystyle \lim_{x\rightarrow a} k f(x)=k.\lim_{x\rightarrow a}f(x)}$ untuk $k$ = Konstanta


4. ${\displaystyle \lim_{x\rightarrow a} [f(x) \pm g(x)]=\lim_{x\rightarrow a}f(x) \pm \lim_{x\rightarrow a}g(x)}$


5. ${\displaystyle \lim_{x\rightarrow a} [f(x) . g(x)]=\lim_{x\rightarrow a}f(x) . \lim_{x\rightarrow a}g(x)}$


6. ${\displaystyle \lim_{x\rightarrow a} \frac{f(x)}{g(x)}=\frac{\lim\limits_{x\rightarrow a}f(x)}{\lim\limits_{x\rightarrow a}g(x)}}$ untuk ${\displaystyle \lim_{x\rightarrow a}g(x) \neq 0}$


7. ${\displaystyle \lim_{x\rightarrow a} \left(f(x)\right)^n= \left(\lim_{x\rightarrow a} f(x)\right)^n}$


8. ${\displaystyle \lim_{x\rightarrow a} \sqrt[n]{f(x)}= \sqrt[n]{\lim_{x\rightarrow a} f(x)}}$, dengan ${\displaystyle \lim_{x\rightarrow a} f(x) > 0}$

Sekarang kita akan menggunakan teorema-teorema diatas untuk menjawab sebuah permasalahan yang biasa muncul. Misalnya sebagai berikut :

1.   Jika Diketahui $f(x)=x^2-2$ dan $g(x)=3x+2$. Hitunglah..!!
a.   ${\displaystyle \lim_{x \rightarrow 2} [f(x)-g(x)]}$

Jawaban :

\begin{align*} \lim_{x \rightarrow 2} [f(x)-g(x)] & = \lim_{x \rightarrow 2} f(x) - \lim_{x \rightarrow 2} g(x)\\ & = \lim_{x \rightarrow 2} (x^2-2) - \lim_{x \rightarrow 2} (3x+2)\\ & = (2^2-2)-(3(2)+2)\\ & = -6\\ \end{align*}

b.  ${\displaystyle \lim_{x \rightarrow 2} [f(x).g(x)]}$

Jawaban :
\begin{align*} \lim_{x \rightarrow 1} [f(x).g(x)] & = \lim_{x \rightarrow 1} f(x) . \lim_{x \rightarrow 1} g(x)\\ & = \lim_{x \rightarrow 1} (x^2-2) . \lim_{x \rightarrow 2} (3x+2)\\ & = (1^2-2).(3(1)+2)\\ & = -5\\ \end{align*}

2.  Dengan menggunakan Teorema limit, tentukan nilai limit dari ${\displaystyle \lim_{x \rightarrow 2} \frac{x^2-7}{2x+7}}$

Jawaban:
\begin{align*} \lim_{x \rightarrow 2} \frac{x^2-7}{2x+7} & = \frac{\lim\limits_{x \rightarrow 2}(x^2-7)}{\lim\limits_{x \rightarrow 2}(2x+7)}\\ & = \frac{\lim\limits_{x \rightarrow 2}x^2-\lim\limits_{x \rightarrow 2} 7}{\lim\limits_{x \rightarrow 2}2x+\lim\limits_{x \rightarrow 2}7}\\ & =\frac{7^2-7}{7^2+7}\\ & = \frac{47-7}{49+7}\\ & = \frac{42}{56}\\ & = \frac{3}{4}\end{align*}

3.  Jika diketahui ${\displaystyle \lim_{x\rightarrow3} \frac{ax^2-9a}{\sqrt{x^2+16}-5}=10}$, tentukan nilai $a$ ?

Jawaban:
\begin{align*} \lim_{x\rightarrow3} \frac{ax^2-9a}{\sqrt{x^2+16}-5} & = 10\\ \lim_{x\rightarrow3} \frac{ax^2-9a}{\sqrt{x^2+16}-5} . \frac{\sqrt{x^2+16}+5}{\sqrt{x^2+16}+5}& = 10\\ \lim_{x\rightarrow3} \frac{(ax^2-9a)\sqrt{x^2+16}+5}{(x^2+16)-25} & = 10\\ \lim_{x\rightarrow3} \frac{a(x^2-9)\sqrt{x^2+16}+5}{(x^2-9)} & = 10\\ \lim_{x\rightarrow3} (a\sqrt{x^2+16}+5) & = 10\\ (a\sqrt{3^2+16}+5) & = 10\\ (a\sqrt{9+16}+5) & = 10\\ (a\sqrt{25}+5) & = 10\\ 5a+5 & =10\\ 5a & = 10-5\\ 5a & = 5\\ a & = \frac{5}{5}\\ a & = 1 \end{align*}
Jadi, nilai $a=1$