Soal-Soal Tentang Polinomial

Baiklah Saat ini saya akan membuat postingan tentang polinomial. Berikut soal-soalnya

1. Jika $\sqrt{500x^{2}-498x+496}+\sqrt{500x^{2}-498x-400}=2023.$ Maka nilai dari $\sqrt{500x^{2}-498x+496}-\sqrt{500x^{2}-498x-400}$ adalah ....

Jawaban :
Misalkan:
$500x^{2}-498x+496=a$
$500x^{2}-498x-400=b$
sehingga kita dapatkan $a-b=(500x^{2}-498x+496)-(500x^{2}-498x-400)=896$ selain itu kita mempunyai $\sqrt{a}+\sqrt{b}=2023$
Sehingga
\begin{eqnarray*}
a-b & = & (\sqrt{a}+\sqrt{b})(\sqrt{a}-\sqrt{b})\\
896 & = & (2023)(\sqrt{a}-\sqrt{b})\\
\sqrt{a}-\sqrt{b} & = & \frac{896}{2023}
\end{eqnarray*}
2.  Diketahui $g(x)=x^{5}+x^{4}+x^{3}+x^{2}+x+1$. Berapakah sisa pembagian ketika polinomial $g(x^{12})$ dibagi oleh polinomial $g(x)$ ?

Penyelesaian :
\begin{eqnarray*}
x^{5}+x^{4}+x^{3}+x^{2}+x & = & -1\\
x^{6}+x^{5}+x^{4}+x^{3}+x^{2}+x & = & -1+x^{6}\\
x^{6}-1 & = & 0\\
x^{6} & = & 1
\end{eqnarray*}
Sehingga
\begin{eqnarray*}
g\left(x^{12}\right) & = & \left(x^{12}\right)^{5}+\left(x^{12}\right)^{4}+\left(x^{12}\right)^{3}+\left(x^{12}\right)^{2}+\left(x^{12}\right)+1\\
g\left(x^{12}\right) & = & x^{60}+x^{48}+x^{36}+x^{24}+x^{12}+1\\
& = & \left(x^{6}\right)^{10}+\left(x^{6}\right)^{8}+\left(x^{6}\right)^{6}+\left(x^{6}\right)^{4}+\left(x^{6}\right)^{2}+1\\
& = & 1^{10}+1^{8}+1^{6}+1^{4}+1^{2}+1\\
g\left(x^{12}\right) & = & 6
\end{eqnarray*}
3.  Diketahui jumlah dua bilangan adalah 30. Tentukan kedua bilangan tersebut jika jumlah kuadratnya adalah 458

Penyelesaian :
\begin{eqnarray*}
a+b & = & 30\Rightarrow a=30-b\\
a^{2}+b^{2} & = & 458\\
\left(30-b\right)^{2}+b^{2} & = & 458\\
900-60b+b^{2}+b^{2} & = & 458\\
2b^{2}-60b & = & -442\\
2b^{2}-60b+442 & = & 0\\
b^{2}-30b+221 & = & 0\\
(b-17)(b-13) & = & 0\\
b=17 & \text{atau} & b=13
\end{eqnarray*}
karena $a=30-b$.
Jika $b=17\Rightarrow a=30-17=13$
Jika $b=13\Rightarrow a=30-13=17$
Jadi kedua bilangan tersebut adalah $13$ dan $17$

Berlanjut ke postingan berikutnya...................