Soal-Soal Tentang Polinomial (Lanjutan)
Melanjutkan postingan kemarin tentang polinomial pada halaman sebelumnya
Penyelesaian:
Selesai Dech............. Selamat menikmati..
4. Diketahui polinomial $x^{2}-2013x+k=0$. Kedua akarnya merupakan bilangan prima. Berapakah nilai dari $k$ ?
Penyelesaian:
$a+b=2013$ Karena akar-akarnya adalah bilangan prima, maka dengan mudah kita dapat menentukan nilai $a=2$ dan $b=2011$. Sehingga \begin{eqnarray*}
a\cdot b & = & k\\
2\cdot2011 & = & k\\
k & = & 4022
\end{eqnarray*}
5. Diberikan bilangan real $x,y,z$ yang memenuhi sistem persamaan
\begin{eqnarray*}
x+y+z & = & 6\\
x^{2}+y^{2}+z^{2} & = & 26\\
x^{3}+y^{3}+z^{3} & = & 90
\end{eqnarray*}Tentukan nilai dari $(x,y,z)$ !
a\cdot b & = & k\\
2\cdot2011 & = & k\\
k & = & 4022
\end{eqnarray*}
5. Diberikan bilangan real $x,y,z$ yang memenuhi sistem persamaan
\begin{eqnarray*}
x+y+z & = & 6\\
x^{2}+y^{2}+z^{2} & = & 26\\
x^{3}+y^{3}+z^{3} & = & 90
\end{eqnarray*}Tentukan nilai dari $(x,y,z)$ !
Penyelesaian:
Sebelum menyelesaikan soal diatas terlebih dahulu kita perhatikan bahwa $$(a-x)(a-y)(a-z)=a^{3}-(x+y+z)a^{2}+(xy+yz+zx)a-xyz$$
Sekarang kita akan mencari koefisien dari $a$
\begin{eqnarray*} x+y+z & = & 6\\ x^{2}+y^{2}+z^{2} & = & 26\\ x^{3}+y^{3}+z^{3} & = & 90 \end{eqnarray*}\begin{eqnarray*} \left(x+y+z\right)^{2} & = & 6^{2}\\ x^{2}+y^{2}+z^{2}+2\left(xy+yz+xz\right) & = & 36\\ 26+2\left(xy+yz+xz\right) & = & 36\\ 2\left(xy+yz+xz\right) & = & 10\\ \left(xy+yz+xz\right) & = & 5 \end{eqnarray*}\begin{eqnarray*} \left(x+y+z\right)\left(x^{2}+y^{2}+z^{2}\right) & = & 6\cdot26\\ x^{3}+y^{3}+z^{3}+xy^{2}+xz^{2}+x^{2}y+x^{2}z+yz^{2}+y^{2}z & = & 156\\ 90+xy^{2}+xz^{2}+x^{2}y+x^{2}z+yz^{2}+y^{2}z & = & 156\\ xy^{2}+xz^{2}+x^{2}y+x^{2}z+yz^{2}+y^{2}z & = & 156-90\\ xy^{2}+xz^{2}+x^{2}y+x^{2}z+yz^{2}+y^{2}z & = & 66 \end{eqnarray*}\begin{eqnarray*} \left(x+y+z\right)\left(xy+yz+xz\right) & = & 6\cdot5\\ \left(x^{2}y+xyz+x^{2}z+xy^{2}+y^{2}z+xyz+xyz+yz^{2}+xz^{2}\right) & = & 30\\ xy^{2}+xz^{2}+x^{2}y+x^{2}z+yz^{2}+y^{2}z+3xyz & = & 30\\ 66+3xyz & = & 30\\ 3xyz & = & 30-66\\ 3xyz & = & -36\\ xyz & = & -12 \end{eqnarray*} Sehingga dapat kita bentuk polinomial yang baru yaitu\begin{eqnarray*}
a^{3}-6a^{2}+5a+12 & = & 0\\
\left(a+1\right)\left(a-3\right)\left(a-4\right) & = & 0\\
a=-1 & a=3 & a=4
\end{eqnarray*}Jadi nilai $x=-1,y=3,z=4$
Sebelum menyelesaikan soal diatas terlebih dahulu kita perhatikan bahwa $$(a-x)(a-y)(a-z)=a^{3}-(x+y+z)a^{2}+(xy+yz+zx)a-xyz$$
Sekarang kita akan mencari koefisien dari $a$
\begin{eqnarray*} x+y+z & = & 6\\ x^{2}+y^{2}+z^{2} & = & 26\\ x^{3}+y^{3}+z^{3} & = & 90 \end{eqnarray*}\begin{eqnarray*} \left(x+y+z\right)^{2} & = & 6^{2}\\ x^{2}+y^{2}+z^{2}+2\left(xy+yz+xz\right) & = & 36\\ 26+2\left(xy+yz+xz\right) & = & 36\\ 2\left(xy+yz+xz\right) & = & 10\\ \left(xy+yz+xz\right) & = & 5 \end{eqnarray*}\begin{eqnarray*} \left(x+y+z\right)\left(x^{2}+y^{2}+z^{2}\right) & = & 6\cdot26\\ x^{3}+y^{3}+z^{3}+xy^{2}+xz^{2}+x^{2}y+x^{2}z+yz^{2}+y^{2}z & = & 156\\ 90+xy^{2}+xz^{2}+x^{2}y+x^{2}z+yz^{2}+y^{2}z & = & 156\\ xy^{2}+xz^{2}+x^{2}y+x^{2}z+yz^{2}+y^{2}z & = & 156-90\\ xy^{2}+xz^{2}+x^{2}y+x^{2}z+yz^{2}+y^{2}z & = & 66 \end{eqnarray*}\begin{eqnarray*} \left(x+y+z\right)\left(xy+yz+xz\right) & = & 6\cdot5\\ \left(x^{2}y+xyz+x^{2}z+xy^{2}+y^{2}z+xyz+xyz+yz^{2}+xz^{2}\right) & = & 30\\ xy^{2}+xz^{2}+x^{2}y+x^{2}z+yz^{2}+y^{2}z+3xyz & = & 30\\ 66+3xyz & = & 30\\ 3xyz & = & 30-66\\ 3xyz & = & -36\\ xyz & = & -12 \end{eqnarray*} Sehingga dapat kita bentuk polinomial yang baru yaitu\begin{eqnarray*}
a^{3}-6a^{2}+5a+12 & = & 0\\
\left(a+1\right)\left(a-3\right)\left(a-4\right) & = & 0\\
a=-1 & a=3 & a=4
\end{eqnarray*}Jadi nilai $x=-1,y=3,z=4$
Selesai Dech............. Selamat menikmati..
Posting Komentar untuk "Soal-Soal Tentang Polinomial (Lanjutan)"