Soal-Soal Tentang Polinomial (Lanjutan)

Melanjutkan postingan kemarin tentang polinomial pada halaman ini
4. Diketahui polinomial $x^{2}-2013x+k=0$. Kedua akarnya merupakan bilangan prima. Berapakah nilai dari $k$ ?

Penyelesaian:
$a+b=2013$ Karena akar-akarnya adalah bilangan prima, maka dengan mudah kita dapat menentukan nilai $a=2$ dan $b=2011$. Sehingga \begin{eqnarray*}
a\cdot b & = & k\\
2\cdot2011 & = & k\\
k & = & 4022
\end{eqnarray*} 5. Diberikan bilangan real $x,y,z$ yang memenuhi sistem persamaan
\begin{eqnarray*}
x+y+z & = & 6\\
x^{2}+y^{2}+z^{2} & = & 26\\
x^{3}+y^{3}+z^{3} & = & 90
\end{eqnarray*}Tentukan nilai dari $(x,y,z)$ !


Penyelesaian:
Sebelum menyelesaikan soal diatas terlebih dahulu kita perhatikan bahwa $$(a-x)(a-y)(a-z)=a^{3}-(x+y+z)a^{2}+(xy+yz+zx)a-xyz$$
Sekarang kita akan mencari koefisien dari $a$
\begin{eqnarray*}
x+y+z & = & 6\\
x^{2}+y^{2}+z^{2} & = & 26\\
x^{3}+y^{3}+z^{3} & = & 90
\end{eqnarray*}\begin{eqnarray*}
\left(x+y+z\right)^{2} & = & 6^{2}\\
x^{2}+y^{2}+z^{2}+2\left(xy+yz+xz\right) & = & 36\\
26+2\left(xy+yz+xz\right) & = & 36\\
2\left(xy+yz+xz\right) & = & 10\\
\left(xy+yz+xz\right) & = & 5
\end{eqnarray*}\begin{eqnarray*}
\left(x+y+z\right)\left(x^{2}+y^{2}+z^{2}\right) & = & 6\cdot26\\
x^{3}+y^{3}+z^{3}+xy^{2}+xz^{2}+x^{2}y+x^{2}z+yz^{2}+y^{2}z & = & 156\\
90+xy^{2}+xz^{2}+x^{2}y+x^{2}z+yz^{2}+y^{2}z & = & 156\\
xy^{2}+xz^{2}+x^{2}y+x^{2}z+yz^{2}+y^{2}z & = & 156-90\\
xy^{2}+xz^{2}+x^{2}y+x^{2}z+yz^{2}+y^{2}z & = & 66
\end{eqnarray*}\begin{eqnarray*}
\left(x+y+z\right)\left(xy+yz+xz\right) & = & 6\cdot5\\
\left(x^{2}y+xyz+x^{2}z+xy^{2}+y^{2}z+xyz+xyz+yz^{2}+xz^{2}\right) & = & 30\\
xy^{2}+xz^{2}+x^{2}y+x^{2}z+yz^{2}+y^{2}z+3xyz & = & 30\\
66+3xyz & = & 30\\
3xyz & = & 30-66\\
3xyz & = & -36\\
xyz & = & -12
\end{eqnarray*}Sehingga dapat kita bentuk polinomial yang baru yaitu\begin{eqnarray*}
a^{3}-6a^{2}+5a+12 & = & 0\\
\left(a+1\right)\left(a-3\right)\left(a-4\right) & = & 0\\
a=-1 & a=3 & a=4
\end{eqnarray*}Jadi nilai $x=-1,y=3,z=4$

Selesai Dech............. Selamat menikmati..