Pembahasan Soal Integral Tak Wajar


Setelah kita cukup mantap dengan ketiga teori integral tak wajar diatas kini saatnya kita mencoba soal-soal yang cukup menantang pada pokok bahasan integral tak wajar. Pada soal kali ini mungkin di rasa cukup sulit bagi mahasiswa tingkat awal. Padahal soal berikut pernah muncul di buku SMA kelas XII pokok bahasan integral. Mari kita lihat saja soalnya.


1.  Dengan menginterpretasikan setiap integral berikut ini sebagai suatu luas dan kemudian menghitung luas tersebut dengan sebuah integral $y$, hitunglah:

a.  $\displaystyle \int_0^1\sqrt{\frac{1-x}{x}}dx$
b.  $\displaystyle \int_{-1}^1\sqrt{\frac{1+x}{1-x}}dx$

Penyelesaian:

1. Pada integral jenis ini merupakan integral tak wajar jenis ketiga. Karena tidak terdefenisi pada $x=0$. Akan tetapi dari petunjuk soal kita dapat mengganti variabel $x$ menjadi variabel $y$ dengan cara sebagai berikut.
\begin{eqnarray*} y&=&\sqrt{\frac{1-x}{x}}\\ y^2&=&\frac{1-x}{x}\\ xy^2&=&1-x\\ xy^2+x&=&1\\ x(y^2+1)&=&1\\ x&=&\frac{1}{y^2+1} \end{eqnarray*} Tetapi sebelumnya kita mengganti batas-batasnya menjadi:
Untuk $x=0 \Rightarrow y \to \infty$
Untuk $x=1 \Rightarrow y=0$
Sehingga luasnya adalah
\begin{eqnarray*}
\int_0^\infty \frac{1}{y^2+1}dy&=&\lim_{b\to \infty}\int_0^b \frac{1}{y^2+1}dy\\
&=&\lim_{b\to \infty}\tan^{-1}(y)\bigg|_0^b\\
&=&\lim_{b\to \infty}\left(\tan^{-1}(b)-\tan^{-1}(0)\right)\\
&=&\frac{\pi}{2}
\end{eqnarray*}
Soal bagian b saya bahas pada postingan selanjutnya........

Gambar By Wikipedia.org