Pembahasan SNMPTN Matematika IPA 2012 No 1-5

1.  Lingkaran $\left(x-6\right)^{2}+\left(y+1\right)^{2}=25$ menyinggung garis $y=4$ di titik$\cdots$
a.   $(-1,4)$
b.   $(1,4)$
c.   $(6,4)$
d.   $(-6,4)$
e.   $(5,4)$
Jawaban : (c)
Penyelesaian :
\begin{eqnarray*} \left(x-6\right)^{2}+\left(y+1\right)^{2}&=&25\\ \left(x-6\right)^{2}+\left(4+1\right)^{2}&=&25\\ \left(x-6\right)^{2}+\left(5\right)^{2}&=&25\\ \left(x-6\right)^{2}+\left(25\right)&=&25\\ \left(x-6\right)^2&=&0\\ x&=&6 \end{eqnarray*} Sehingga titik yang dimaksud adalah $(6,4)$

2.  Jika $2x^{3}-5x^{2}-kx+18$ dibagi $x-1$ mempunyai sisa $10$, maka nilai $k$ adalah $\ldots$
a.  $-15$
b.  $-5$
c.  $0$
d.  $2$
e.  $5$
Jawaban : (e)
Penyelesaian:
Dengan menerapkan Teorema Sisa kita dapatkan
\begin{eqnarray*}
f(x) & = & 2x^{3}-5x^{2}-kx+18\\
f(1) & = & 2(1)^{3}-5(1)^{2}-k(1)+18\\
10 & = & 2-5-k+18\\
10 & = & 15-k\\
k & = & 5
\end{eqnarray*}
3.  Luas daerah yang dibatasi oleh kurva $y=x^{2}$, $y=1$ dan $x=2$ adalah $\ldots$
a.  ${\displaystyle \int_{-1}^{2}\left(1-x^{2}\right)dx}$
b.  ${\displaystyle \int_{-1}^{2}\left(x^{2}-1\right)dx}$
c.  ${\displaystyle \int_{1}^{2}\left(x^{2}-1\right)dx}$
d.  ${\displaystyle \int_{-1}^{1}\left(1-x^{2}\right)dx}$
e.  ${\displaystyle \int_{0}^{2}\left(x^{2}-1\right)dx}$
Jawaban : (c)
Penyelesaian:
Perhatikan gambar berikut ini

Perhatikan bahwa luas daerah yang dimaksud adalah daerah yang diarsir diatas, sehingga kita dapat menyimpulkan bahwa luas daerah tersebut adalah $\int_1^2(x^2-1)dx$

4.  $\dfrac{\left(\cos(x)+\sin(x)\right)^{2}}{\left(\cos(x)-\sin(x)\right)^{2}}=\ldots$

a.  $\dfrac{1}{1-\cos(2x)}$
b.  $\dfrac{1}{1-\sin(2x)}$
c.  $\dfrac{1+\cos(2x)}{1-\cos(2x)}$
d.  $\dfrac{1+2\sin(x)}{1-2\sin(x)}$
e.  $\dfrac{1+\sin(2x)}{1-\sin(2x)}$
jawaban : (e).
Penyelesaian:
\begin{eqnarray*}
\dfrac{\left(\cos(x)+\sin(x)\right)^{2}}{\left(\cos(x)-\sin(x)\right)^{2}} & = & \dfrac{\cos^{2}(x)+2\sin(x)\cos(x)+\sin^{2}(x)}{\cos^{2}(x)-2\sin(x)\cos(x)+\sin^{2}(x)}\\
& = & \dfrac{\cos^{2}(x)+\sin^{2}(x)+2\sin(x)\cos(x)}{\cos^{2}(x)+\sin^{2}(x)-2\sin(x)\cos(x)}\\
& = & \dfrac{1+2\sin(x)\cos(x)}{1-2\sin(x)\cos(x)}\\
& = & \dfrac{1+\sin(2x)}{1-\sin(2x)}
\end{eqnarray*}

5.  Lingkaran $(x-3)^2+(y-4)^2=25$ memotong sumbu$-x$ di titik $A$ dan $B$. Jika $P$ adalah titik pusat lingkaran tersebut, maka $\cos \angle APB=\ldots$

a.  $\dfrac{7}{25}$
b.  $\dfrac{8}{25}$
c.  $\dfrac{12}{25}$
d.  $\dfrac{16}{25}$
e.  $\dfrac{18}{25}$
Jawaban : (a)
Penyelesaian:
Perhatikan Gambar Berikut !

Terlebih dahulu kita mencari panjang $AP=BP$.
\begin{eqnarray*}
AP & = & \sqrt{3^{2}+4^{2}}\\
& = & \sqrt{9+16}\\
& = & \sqrt{25}\\
& = & 5
\end{eqnarray*}

Berangkat dari aturan cosinus yaitu
$(AB)^{2}=(AP)^{2}+(BP)^{2}-2(AP)\cdot(BP)\cdot\cos\angle APB$ maka

\begin{eqnarray*}
(AB)^{2} & = & (AP)^{2}+(BP)^{2}-2(AP)\cdot(BP)\cdot\cos\angle APB\\
\cos\angle APB & = & \frac{(AP)^{2}+(BP)^{2}-(AB)^{2}}{2(AP)\cdot(BP)}\\
& = & \frac{5^{2}+5^{2}-6^{2}}{2\cdot5\cdot5}\\
& = & \frac{25+25-36}{50}\\
& = & \frac{50-36}{50}\\
& = & \frac{14}{50}\\
& = & \frac{7}{25}
\end{eqnarray*}

Sekian dulu yah. Untuk nomor selanjutnya akan kita bahas pada postingan selanjutnya....Alhamdulillah akhirnya sudah selesai saya buat dalam bentuk PDF.