Pembahasan Integral Tak Wajar Selanjutnya



b.  Sama dengan soal pada no a, bahwa integral tersebut adalah integral tak wajar karena tidak terdefenisi di $x=1$. Akan tetapi dari petunjuk soal kita dapat mengganti variabel $x$ menjadi variabel $y$ dengan cara sebagai berikut.

\begin{eqnarray*}y&=&\sqrt{\frac{1+x}{1-x}}\\y^2&=&\frac{1+x}{1-x}\\y^2-xy^2&=&1+x\\y^2-1&=&xy^2+x\\y^2-1&=&x(y^2+1)\\x&=&\frac{y^2-1}{y^2+1}\end{eqnarray*}

Batas-batas pengintegralan menjadi

Untuk $x=-1 \Rightarrow y =0$

Untuk $x=1 \Rightarrow y \to \infty $

Luas yang dimaksudkan soal adalah luas disebelah kanan kurva $\sqrt{\frac{1+x}{1-x}}$ dan sebelah kiri kurva $x=1$. Perhatikan kurvanya berikut



Sehingga kita mendapatkan fungsinya menjadi
$x=1$ dan $\displaystyle x=\frac{y^2-1}{y^2+1}$
\begin{eqnarray*}
1-\frac{y^2-1}{y^2+1}&=&\frac{y^2+1}{y^2+1}-\frac{y^2-1}{y^2+1}\\
&=&\frac{2}{y^2+1}
\end{eqnarray*}Sehingga kita dapatkan daerah integralnya yaitu

\begin{eqnarray*}
\int_0^\infty \frac{2}{y^2+1}dy&=&\lim_{b\to \infty}\int_0^b \frac{2}{y^2+1}dy\\
&=&\lim_{b\to \infty}2\cdot \int_0^b \frac{1}{y^2+1}dy\\
&=&\lim_{b\to \infty} 2\cdot \tan^{-1}(y)\bigg|_0^b\\
&=&\lim_{b\to \infty} 2 \cdot \left(\tan^{-1}(b)-\tan^{-1}(0)\right)\\
&=&2 \left(\frac{\pi}{2}\right)\\
&=&\pi
\end{eqnarray*}

Selesailah tugas kita mengintegralkan. Memang kita dituntut untuk memiliki banyak pengetahuan tentang kalkulus. Sampai disini dulu pembahasan kita. Lain kali kita akan sambung lagi jika masih ada kesempatan.


Sumber:
1.  Purcell, Varberg, Rigdon. Kalkulus Jilid 2 Edisi $8^{th}$ (terjemahan Julian Gressando). Erlangga : Jakarta