Menentukan Rumus Luas Lingkaran Dengan Integral

Sekarang saya akan menurunkan rumus lingkaran tetapi dengan cara yang berbeda. Jika teman-teman saya menurunkan rumus lingkaran tersebut dengan pendekatan luas segitiga dan persegi panjang, disini saya akan menurunkannya dengan menggunakan integral. Hehehe. Penasaran kan gimana caranya. Baiklah kita langsung saja. Penurunannya kita mulai dengan luas setengah lingkaran.

Kita mulai dari menggambar grafik fungsi $\sqrt{a^{2}-x^{2}}$. Kemudian menentukan integral dari ${\displaystyle \int_{-a}^{a}\sqrt{a^{2}-x^{2}}}dx$. Kemudian hasilnya kita bandingkan dengan rumus luas setengah lingkaran ${\displaystyle L=\frac{1}{2}\pi r^{2}}$

Terlebih dahulu kita akan menggambar grafik fungsi ${\displaystyle \sqrt{a^{2}-x^{2}}}$.

Jika kita amati grafiknya maka grafik tersebut membentuk setengah lingkaran. Dengan menyelesaikan integral dari fungsinya maka kita akan mendapatkan rumus setengah lingkaran. Kita mulai saja. Terlebih dahulu kita hitung integral tak tentu, kemudian kita masukkan batas-batasnya. Misalkan

\begin{eqnarray*} x & = & a\sin(t)\\ dx & = & a\cos(t)dt\\ x^{2} & = & a^{2}\sin^{2}(t)\\ t & = & \arcsin\left(\frac{x}{a}\right) \end{eqnarray*}

\begin{eqnarray*}\int\sqrt{a^{2}-x^{2}}dx & = & \int\sqrt{a^{2}-a^{2}\sin^{2}(t)}a\cos(t)dt\\ & = & \int\sqrt{a^{2}\left(1-\sin^{2}(t)\right)}a\cos(t)dt\\ & = & \int\sqrt{a^{2}\left(\cos^{2}(t)\right)}a\cos(t)dt\\ & = & \int a\cos(t)a\cos(t)dt\\ & = & \int a^{2}\cos^{2}(t)dt\\ & = & a^{2}\int\cos^{2}(t)dt\\ & = & a^{2}\int\left(\frac{1+\cos(2t)}{2}\right)dt\\ & = & a^{2}\left(\frac{1}{2}\int dt+\frac{1}{2}\int\cos(2t)dt\right)\\ & = & a^{2}\left(\frac{1}{2}t+\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{2}\sin(2t)\right)+C\\ & = & a^{2}\left(\frac{1}{2}t+\frac{1}{4}\sin(2t)\right)+C\\ & = & a^{2}\left(\frac{1}{2}t+\frac{1}{4}\cdot2\sin(t)\cos(t)\right)+C\\ & = & a^{2}\left(\frac{1}{2}t+\frac{1}{2}\sin(t)\cos(t)\right)+C\\ \end{eqnarray*} Untuk menyelesaikan menentukan nilai $\sin(t)$ dan $\cos(t)$ terlebih dahulu lihatlah gambar berikut:

\begin{eqnarray*} \int\sqrt{a^{2}-x^{2}}dx & = & a^{2}\left(\frac{1}{2}t+\frac{1}{2}\sin(t)\cos(t)\right)+C\\ & = & a^{2}\left(\frac{1}{2}\arcsin\left(\frac{x}{a}\right)+\frac{1}{2}\left(\frac{x}{a}\right)\left(\frac{\sqrt{a^{2}-x^{2}}}{a}\right)\right)+C\\ & = & a^{2}\left(\frac{1}{2}\arcsin\left(\frac{x}{a}\right)+\frac{x}{2a^{2}}\left(\sqrt{a^{2}-x^{2}}\right)\right)+C\\ & = & \frac{a^{2}}{2}\arcsin\left(\frac{x}{a}\right)+\frac{x}{2}\left(\sqrt{a^{2}-x^{2}}\right)+C\\ \end{eqnarray*} Sehingga \begin{eqnarray*} \int_{-a}^{a}\sqrt{a^{2}-x^{2}}dx & = & \frac{a^{2}}{2}\arcsin\left(\frac{x}{a}\right)+\frac{x}{2}\left(\sqrt{a^{2}-x^{2}}\right)\bigg|_{-a}^{a}\\ & = & \left(\frac{a^{2}}{2}\arcsin\left(\frac{a}{a}\right)+\frac{a}{2}\left(\sqrt{a^{2}-a^{2}}\right)\right)\\ & - & \left(\frac{a^{2}}{2}\arcsin\left(\frac{-a}{a}\right)+\frac{a}{2}\left(\sqrt{a^{2}-(-a)^{2}}\right)\right)\\ & = & \left(\frac{a^{2}}{2}\arcsin\left(1\right)+0\right)-\left(\frac{a^{2}}{2}\arcsin\left(-1\right)+0\right)\\ & = & \left(\frac{a^{2}}{2}\cdot\frac{\pi}{2}\right)-\left(\frac{a^{2}}{2}\cdot\left(-\frac{\pi}{2}\right)\right)\\ & = & \frac{a^{2}}{2}\left(\frac{\pi}{2}+\frac{\pi}{2}\right)\\ & = & \frac{\pi}{2}a^{2} \end{eqnarray*} Setelah melalui perhitungan yang panjang, kita dapatkan $\displaystyle L=\frac{\pi}{2}a^2$. Jika $a=r$ maka menjadi $\displaystyle L=\frac{\pi}{2}r^2$

Karena integral yang kita hitung diatas hanya setengah lingkaran, maka untuk mendapatkan rumus luas  lingkaran penuh adalah $2 \times \frac{\pi}{2}r^2=\pi r^2$

Sehingga ditemukan rumus luas lingkaran yaitu

$\displaystyle L=\pi r^2$

Untuk mendapatkan artikelnya, silahkan download disini. Semoga bisa membantu.