Mencari Volume Bola dengan Integral


Kalau pada postingan yang lalu saya membahas tentang bagaimana menemukan luas lingkaran dengan pendekatan integral, kali ini saya akan mencoba memperluas lagi pembahasan kita. Masih berhubungan dengan lingkaran, akan tetapi kali ini lingkaran yang diputar mengelilingi sumbu $x$Perhatikan kembali gambar berikut

Jika setengah lingkaran diatas diputar mengelilingi sumbu $x$ maka akan berbentuk bola. Maka dengan mudah kita menghitung volumenya. Dengan menerapkan metode-metode yang sudah kita pelajari dalam kalkulus, maka kita dapat mengetahui bahwa volume benda putar dapat dicari dengan

$$V=\pi\int_{a}^{b}\left(f(x)\right)^{2}dx$$Mari kita coba integralkan \begin{eqnarray*} V & = & \pi\int_{-a}^{a}\left(f(x)\right)^{2}dx\\ & = & \pi\int_{-a}^{a}\left(\sqrt{a^{2}-x^{2}}\right)^{2}dx\\ & = & \pi\int_{-a}^{a}\left(a^{2}-x^{2}\right)dx\\ & = & \pi\left[a^{2}x-\frac{x^{3}}{3}\right]_{-a}^{a}\\ & = & \pi\left[\left(a^{2}(a)-\frac{a^{3}}{3}\right)-\left(a^{2}(-a)-\frac{(-a)^{3}}{3}\right)\right]\\ & = & \pi\left[\left(a^{3}-\frac{a^{3}}{3}\right)-\left((-a)^{3}+\frac{a^{3}}{3}\right)\right]\\ & = & \pi\left[\frac{2}{3}a^{3}+\frac{2}{3}a^{3}\right]\\ & = & \pi\frac{4}{3}a^{3} \end{eqnarray*} Kita sudah mendapatkan rumus Volume bole yaitu $V=\frac{4}{3}\pi a^{3}$