Materi Limit Fungsi Aljabar

Dalam kehidupan sehari-hari, seringkali Anda mendengar kata-kata hampir atau mendekati. Misalnya, Messi hampir mencetak gol, kecepatan motor itu mendekati 120 km/jam, dan sebagainya. Kata hampir atau mendekati dalam matematika disebut limit.

Konsep limit fungsi merupakan dasar untuk mempelajari kalkulus, meskipun kalkulus sendiri telah diperkenalkan oleh Sir Isaac Newton dan Leibniz pada pertengahan abad ke-17, sedangkan konsep limit fungsi baru dikenalkan oleh Agustian Louis Cauchy pada abad ke-18.

Konsep limit fungsi di suatu titik adalah melalui pendekatan intuitif, yaitu dimulai dengan menghitung nilai-nilai fungsi disekitar titik tersebut, terkecuali di titik itu sendiri. Sebagai contoh:
$$f(x)=\frac{x^2-9}{x-3}$$

Kita tahu bahwa jika kita substitusikan nilai $x = 3$, maka akan mendapatkan bentuk $\frac{0}{0}$ . Akan tetapi jika kita melakukan substitusi nilai $x$ selain $3$, kita akan mendapatkan hasilnya. Jadi, hal yang harus kita lakukan adalah mendekati fungsi tersebut.

Meskipun fungsi $f(x)$ tidak terdefinisi untuk $x = 3$, tetapi fungsi tersebut mendekati nilai $6$ pada saat $x$ mendekati $3$. Dengan demikian, dapat dikatakan bahwa nilai limit fungsi tersebut adalah $6$. Atau dengan menggunakan trik aljabar yaitu :
\begin{align*}
\lim_{x \rightarrow 3} \frac{x^2-9}{x-3} & = \lim_{x \rightarrow 3} \frac{(x-3)(x+3)}{x-3} \\
\lim_{x \rightarrow 3} \frac{x^2-9}{x-3} & = \lim_{x \rightarrow 3} x+3 \\
\lim_{x \rightarrow 3} \frac{x^2-9}{x-3} & = 6
\end{align*}

Secara umum, ${\displaystyle \lim_{x \rightarrow a} f(x)=L}$ mengandung arti bahwa jika $x$ mendekati atau menuju ke $a$, tetapi berlainan dengan $a$ maka $f(x)$ menuju ke $L$

  1. Fungsi dikatakan mempunyai limit jika nilai limit kiri dan limit kanannya sama.

  2. Untuk fungsi tunggal limit kiri dan kanan selalu sama sehingga tidak perlu kita cari limit kiri dan kanannya, tetapi untuk fungsi majemuk harus diperiksa limit kiri dan limit kananya.

Contoh :

Tentukan limit berikut !

  1.  ${\displaystyle \lim_{x\rightarrow 5} 5x-10}$

  2. ${\displaystyle \lim_{x\rightarrow 1} x^2-10x+5}$

Jawaban:

  1. ${\displaystyle \lim_{x\rightarrow 5} 5x-10}$ artinya jika $x$ mendekati $5$ maka $5x-10$ mendekati $(5(5)-10)=15$. Dengan demikian, ${\displaystyle \lim_{x\rightarrow 5} 5x-10}=15$

  2. ${\displaystyle \lim_{x\rightarrow 1} x^2-10x+5}$ artinya jika $x$ mendekati $1$, maka $x^2-10x+5$ mendekati $(12-10(1) + 5) = –4$. Dengan demikian, ${\displaystyle \lim_{x\rightarrow 1} x^2-10x+5}=-4$