Limit $f(x)$ untuk $x$ mendekati Tak Hingga ($\infty$)

Limit yang dimaksud adalah ${\displaystyle \lim_{x\rightarrow \infty} f(x)=f(\infty)}$. Sekarang bagaimanakah cara menyelesaikannya ?
Jika ${\displaystyle f(\infty)= \frac{\infty}{\infty}}$ maka $f(x)$ diubah dahulu dengan cara dibagi $x$ pangkat yang terbesar.

Contoh:

Carilah nilai limit dari ${\displaystyle \lim_{x\rightarrow \infty}\frac{2x^3+2x^2+4x}{x^3-2x^2+3x}}$

Penyelesaian:

Menyelesaikan Limit takhingga seperti pada soal ini cukup mudah yaitu dengan membagi dengan pangkat tertinggi. Perhatikan Cara penyelesaiannya sebagai berikut.

\begin{eqnarray*} \lim_{x\rightarrow \infty}\frac{2x^3+2x^2+4x}{x^3-2x^2+3x} & = \lim_{x\rightarrow \infty}\frac{{\displaystyle\frac{2x^3+2x^2+4x}{x^3}}}{{\displaystyle\frac{x^3-2x^2+3x}{x^3}}}\\& = \lim_{x\rightarrow \infty} \frac{2+{\displaystyle\frac{2}{x}}+{\displaystyle \frac{4}{x^2}}}{1-{\displaystyle \frac{2}{x}}+ {\displaystyle \frac{3}{x^2}}}\\& = \frac{2+0+0}{1+0+0}\\ & = 2\end{eqnarray*}

Jika $f(\infty)=\infty-\infty$ maka $f(x)$ dikalikan dengan faktor sekawan dahulu kemudian dibagi dengan $x$ pangkat yang terbesar.

Contoh :

Carilah nilai dari ${\displaystyle \lim_{x\rightarrow \infty} \sqrt{x^2+2x}-\sqrt{x^2-3x}}$

Jawaban :

\begin{align*} & = \lim_{x\rightarrow \infty} \sqrt{x^2+2x}-\sqrt{x^2-3x} \\ & = \lim_{x\rightarrow \infty} \sqrt{x^2+2x}-\sqrt{x^2-3x} \\ & = \lim_{x\rightarrow \infty} \sqrt{x^2+2x}-\sqrt{x^2-3x} \times \frac{\sqrt{x^2+2x}+\sqrt{x^2-3x}}{\sqrt{x^2+2x}+\sqrt{x^2-3x}}\\ & = \lim_{x\rightarrow \infty} \frac{(x^2+2x)-(x^2-3x)}{\sqrt{x^2+2x}+\sqrt{x^2-3x}}\\ & = \lim_{x\rightarrow \infty} \frac{5x}{\sqrt{x^2+2x}+\sqrt{x^2-3x}}\\ & = \lim_{x\rightarrow \infty} \frac{\frac{5x}{x}}{\sqrt{\frac{x^2+2x}{x^2}}+\sqrt{\frac{x^2-3x}{x^2}}}\\ & = \lim_{x\rightarrow \infty} \frac{5}{\sqrt{1+\frac{2}{x}}+\sqrt{1+\frac{3}{x}}}\\ & = \frac{5}{\sqrt{1+0}+\sqrt{1+0}}\\ & = \frac{5}{2} \end{align*}